专题16 全等三角形中的八类重要模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题16 全等三角形中的八类重要模型 本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①∵和均是等边三角形，∴， ∴，即，∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形，∴， ，∴， ∴，∴，故②正确，符合题意； ③由①得，∴，由②得， 又，∴，∴，故③正确，符合题意； ④由③得，∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得，∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意；故选：A． 2．（24-25·陕西西安·七年级校考期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 【答案】A 【详解】解：过点P作于点E，∵，∴， ∵，∴，∴，即， ∵，和分别平分和，∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：A．    3.（24-25八年级上·山东·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 4．（24·25·江苏·九年级期中）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°， 又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM， 则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=.故选：B． 5（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 6．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】，，，， ，，， 在和中，，∴，，， ，，，，，故答案为：． 7．（2025·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．    【答案】4 【详解】解：延长交于，如图所示：    平分，垂直于，，， 在和中，，)，， ，∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 8．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变； ④四边形的面积不变；其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：作于，于，如图所示： ，， ，，， 平分，于，于，， 在和中，，∴，， 在和中，，，，， ，为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵，∴，∴，故②正确； ∵，，定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的，的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④．故答案为：①②④． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形，∴，， ∵点M是斜边的中点，∴，， ∴，，，∴， 在和中，∵，， ∴，∴，∴重叠部分四边形的面积．故答案为： 10．（24-25·成都市·七年级期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 【答案】2.4 【详解】如解图，延长到点，使， ∵为边的中线，∴∵， ∴∴，，∵∴∴ ∵，∴∴．故答案为：2.4． 11．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 【答案】证明见解析 【详解】解法一：解：延长、相交于点， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； 解法二：解：取的中点E，连接、， ∵，∴，∴， ∵，∴A，B，C，D四点共圆，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在与中，，∴，∴，∴． 12.（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析(2)，详见解析(3)，详见解析 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时，, ,∴在与中，，, ,,，， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时，,, ∴在与中，，, ,,，， ，故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3，平分， 在与中，，，， 又∵，∴， ∴，∴， ，，故答案为：． 13.（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，∴，， ∴， ∵，∴， 在和中， ，∴， ∴， ∵，∴，故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下：如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ，∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，，∴， ∴， ∵，∴，∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中， ，∴，∴， ∵， ∴， ∴，∴ 的周长为，故答案为：． 14.（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)不成立， 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，即，， 在和中，，，， ，． （2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，， 在和中，，，， ，即． 15.（2024·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)；证明见解析(2)；证明见解析 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ，，， ，在四边形中，，， ，∴，，，，， ，是等腰直角三角形，， ，∴； （2）；理由：如图，过点作交于点， ，，， ，，， ，，，，，， ，是等腰直角三角形，，，∴； 16．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ； (2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积； (3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：； （2）连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴； （3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，∵，∴； ②当时，∴，∴； ③当时，； 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或． 17．（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【答案】(1)①是；；②或(2)详见解析(3)或 【详解】（1）解：①∵在四边形中，，， ∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴四边形是“奋进四边形”，且是“奋进线”； ②当时，∵，∴此时不是等腰直角三角形， 同理可得当时，不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，∴是等腰直角三角形， ∵∴，当时，则； 当时，；综上所述，的长为或； （2）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∵，，， ∵，，； （3）解：同理可证明不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，∴是等腰直角三角形， 当时，如图1，作，取，连接， 同理可证明，，，是等腰直角三角形， ，，，， ∴由勾股定理得，， 当时，如图，同理可得，综上：或． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1）问题发现：如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点A、D、E在同一条直线上，若，，求的长； （2）解决问题：如图2，和均为等腰三角形，，求直线和的夹角．（请用含的式子表示） 【答案】（1）13；（2）直线和的夹角为 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形，， ，，，， ，． 在和中，，， ，，， ，，，； （2）如图，延长交于点G， 和均为等腰三角形，，， ，，． 在和中，，，， ，， ， ，即直线和的夹角为． 19．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）实践探究题 【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，三点共线，求证：； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为______（直接写答案）． 【答案】(1)，证明见解析(2)详见解析(3)2 【详解】（1）解：，理由如下， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：∵，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，即，， ∴都是等腰直角三角形，∴， 又，，三点共线，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：根据题意，， 同理，，∴， ∴的周长为， 又∵都是等腰直角三角形，∴， ∴的值越小，则的值越小，由此的周长最小， 根据点到直线，垂线段最短，如图所述，过点作于点， ∴当点重合，即时，的值最小，则的值最小， ∴的周长最小，此时，故答案为：． 20.（2024七年级下·广东·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ；(2)当等于多少时，，请说明理由． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，∴； （2）解：当时，，理由如下：，， 又，，， 在和中，，． 21.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【详解】解：（1）∵， ∴，且，∴， 在和中，，∴； （2）成立，证明如下：∵， ∴，且，∴， 在和中，，∴，， ∴，，∴． （3）同（2）可证，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，，∵，∴． ∵，∴与的面积之和为8． 22.（24-25八年级上·河北张家口·期末）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）20． 【详解】（1）证明：∵，，∴． ∵，∴．∵，∴． 在和中，∴， ∴，，∴． （2）解：结论成立． 证明如下：∵，∴，∴． 在和中，∴， ∴，，∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得，∴，． ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，∴． 在和中，∴，∴，， ∴，∴为等边三角形． ∵的周长为60，∴D．由（2）可知，． 23.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 【答案】（1）； （2）；（3）河流另一边森林公园的面积为． 【详解】解：（）∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （）如图，过作于，过作交延长线于，∴， ∵面积为，且的长为，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴河流另一边森林公园的面积为． 24.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】(1)①，②(2)见解析(3) 【详解】（1）解： 中，，， 直线经过点，且于，于， ，， 在和中，，， ，，，故答案为：；； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，，， 在和中，，， ，，； （3）解：，理由如下： 中，，直线经过点，且于，于， ，，， 在和中，，， ，，；、、之间的关系为． 25.（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1 【详解】（1）证明：如图②，∵，，，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴； （2）证明：如图③，∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴； （3）解：∵，∴，∴，由（2）同理可得：， ∴，∴，故答案为∶1． 26．（24·25下·浙江·九年级期中）如周，在正方形中，，分别是和上的点，与相交于点，若，证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，． ∵，∴， ∵，∴． ∴．∴． 27.（24-25八年级上·黑龙江·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题： 如图①，是的中线，若，，求的取值范围． “善思小组”通过探究发现，延长至点E，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ； A．     B．     C．     D． (2)求得的取值范围是 ； A．    B．    C．    D． 解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中． 根据上面解题方法的启发，请你解答问题．(3)如图②，在中，，点D，E在上，点E是的中点，交于点F，．求证：平分． 【答案】(1)D(2)C(3)见解析 【详解】（1）解：如图①中，延长到点E，使，连接， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，故答案为：D； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：C； （3）证明：如图②，延长至点G，使得，连接． ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． 28.（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 【答案】（1）（2）详见解析（3），证明见解析 【详解】解：（1）延长到E，使得；连接，∵点为的中点，∴， 又，∴，∴，∴， ∵，∴，即，故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图2：则， 由题意得：，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴∵，∴，∴，∴； （3）结论：． 理由：延长到G使，连接． 在和中，，∴， ∴，∴，∴，又∵，∴， ∵，∴垂直平分，∴， 在中，，∴． 29.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ．(2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题；(3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）； （2）证明，方法一：∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴； 方法二：证明，如下：∵，∴，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． （3），证明，如下：在在截取，使得，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴． 30.（24-25湖北·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图． 平分，．在和中，， ，，． ，．．，． 方法2：延长到点，使得，连接，如图．平分，． 在和中，，．，． ，．，，． （2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）． 延长到点，使，连接，如图2所示． 由（1）可知，．为等边三角形．，． ，．． ，为等边三角形．，． ，，即． 在和中，，．， ，． （3），，之间的数量关系为：． （或者：，） 解：连接，过点作于，如图3所示． ，．． 在和中，，，，． 在和中，，．， ，． 31．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点，∴， ∵以为边作等边，∴，， ∴，∴， 当点O在上时，，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴垂直平分，∴，∴；故答案为： （2），理由如下：如图，在上截取，连接， ∵点O是线段垂直平分线l上的一个动点，∴，， 又∵，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴． 32.（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中， ， 在和中， ，，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 33．（24-25·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，，； 方法：延长到，使，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，，，； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下：如图，在上截取，连接， 由知，， ，，， 为等边三角形， ，， ，为等边三角形，，， ，，，． 方法：理由：延长到，使，连接， 由知，，是等边三角形， ，， ，，， ，为等边三角形，，， ，，即， 在和中，，，， ，； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，，， 在和中，，，，， 在和中，，，， ，， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 全等三角形中的八类重要模型 本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　） A．5个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25·陕西西安·七年级校考期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（   ）    A．15 B．20 C．30 D．80 3.（24-25八年级上·山东·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 4．（24·25·江苏·九年级期中）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 5（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）小强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 6．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 7．（2025·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．    8．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变； ④四边形的面积不变；其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 10．（24-25·成都市·七年级期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 11．（2024·江苏·九年级专题练习）如图，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延长线于点D，试说明：． 12.（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 13.（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题． 【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以． 【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 14.（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 15.（2024·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 16．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；(2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；(3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 17．（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1）问题发现：如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点A、D、E在同一条直线上，若，，求的长； （2）解决问题：如图2，和均为等腰三角形，，求直线和的夹角．（请用含的式子表示） 19．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）实践探究题 【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，在中，，，点为斜边上的一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； (2)【探究应用】如图2，点为等腰直角三角形内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，三点共线，求证：； (3)【拓展提升】如图3，若等腰直角三角形的直角边长为，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．点在运动过程中，当的周长最小时，的长为______（直接写答案）． 20.（2024七年级下·广东·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于． (1)当时， ， ；(2)当等于多少时，，请说明理由． 21.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 22.（24-25八年级上·河北张家口·期末）【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 23.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，、、三点在一条直线上，，，则的长度为_______． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】我市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，求河流另一边森林公园的面积． 24.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 25.（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：如图1，在直角三角形中，，于点，可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图2，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)归纳证明：如图3，点、在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图4，在中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为3，则与的面积之和为__________． 26．（24·25下·浙江·九年级期中）如周，在正方形中，，分别是和上的点，与相交于点，若，证明：． 27.（24-25八年级上·黑龙江·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题： 如图①，是的中线，若，，求的取值范围． “善思小组”通过探究发现，延长至点E，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是 ； A．     B．     C．     D． (2)求得的取值范围是 ； A．    B．    C．    D． 解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中． 根据上面解题方法的启发，请你解答问题．(3)如图②，在中，，点D，E在上，点E是的中点，交于点F，．求证：平分． 28.（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 29.（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，平分，．探究之间的数量关系；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图，在上截取，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图，延长到点，使得，连接，得到等腰三角形，进而解决问题． (1)试猜想之间的数量关系 ．(2)根据阅读材料，任选一种方法证明，根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题；(3)如图4，四边形中，是上一点，，探究之间的数量关系，并证明． 30.（24-25湖北·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 31．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）截长补短法在初中数学中有着重要的作用，它主要是用来证线段的和差问题．截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段．证剩下的那一段等于另外一段较短的线段．已知点O是线段垂直平分线l上的一个动点，以为边作等边，点C在直线的上方且在直线l的右侧，连接交直线l于点D，连接． (1)如图1，点O在线段上，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系：______； (2)若点O在线段的上方，连接，且满足．如图2，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 32.（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 33．（24-25·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $