专题17 特殊三角形及勾股定理中的十二类模型（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题17.特殊三角形及勾股定理中的十二类模型 本专题包含特殊三角形及勾股定理中的十二类重要模型，主要有：维维尼亚模型、帽子模型（长短手模型）、等边截等长模型（定角模型）、角平分线第二定理模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、奔驰模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（    ） A．4 B． C．15 D．8 【答案】D 【详解】解：连接，如图，,     ,,故选：D． 2.（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，，周长， 此时周长最小，∵周长的最小值等于8，即 ，，，是等边三角形， ，由对称的性质得：， ，故选：A． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∵平分，∴，∴， ∴，∴，故①正确，③错误； ∵M为的中点，∴，故②正确； ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，故④正确； ∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴，故⑤正确．综上所述，①②④⑤正确，共4个．故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．给出以下三个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形：（3）S四边形CEDF．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，，∵D是的中点，∴， 根据“三线合一”可知，，， ∴，，∴， 在和中，∴， ∴，，故（1）正确； ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，故（2）正确；∵，∴， ∵∴，故（3）正确；即：（1），（2），（3）均正确，故选：A． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题和勾股定理知，，，故A项错误，不符合题意； ，，解得，故B项正确，符合题意； 有，故C项错误，不符合题意； ，，表示直角三角形的两直角边， ，，故D项错误，不符合题意；故选：B． 6．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　）    A．48 B．36 C．24 D．25 【答案】C 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形是正方形，∴，∴，， ， ∴， ∴，∴．故选：C． 7.（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上点F处，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：由折叠，得，∴， 在矩形中，，，∴， ∵，∴，解得，故选C． 8.（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得，由翻折的性质得， 设，则，在直角三角形中，， 即，解得，∴，∴．故选：C． 9.（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴，∴； 当沿着正面和上底面爬行时，如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴，∴； ∵，∴要爬行的最短路程的值为．故选：． 10.（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，，∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离，则， 过点作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， 故，故， 故，∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为．故选：C 11.（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵是等边三角形，∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，即， ∵，∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意；③∵是等边三角形，∴ ∵，，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意；综上：正确的有①②③，故选：D． 12.（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：四边形为正方形，，， ，，， ，，故①正确； ，，， ， ，，故②正确； 过点作的延长线于点，如图所示， ，，， ，，， ，， ，，，故③错误； ，，，， ，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C． 12．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，， 垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，， ∵是等边三角形，∴， ∵，，，， ∴ ，故答案为：． 13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，，，， 在和中，，，，， ∵点D在的垂直平分线上，． 在和中，，， ，． ，，．故答案为：． 14.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作关于的对称点，∴， ∵是是的平分线，∴在上，，∴， 当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，，∴， ∵，∴，故答案为：． 15.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 16．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 【答案】2 【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″, 由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R, △PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, 所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2. 17．（2024八年级·重庆·培优）如图，在等边中，边长为12厘米，点D为边上一点，于点E，交于点G，交的延长线于点F，若，则的长度为 厘米．      【答案】6 【详解】解：过点作， ∵等边，边长为12厘米，∴，厘米 ∵，∴，，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， 又，，∴，∴， ∴厘米；故答案为：6． 18.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：为中点，，由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，，，解得：，故答案为：． 19.（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．() 【答案】 【详解】解：沿展开，则点落在点位置，其中为底面周长的一半（如图）： ∵底面半径为，∴底面周长，∴， ∵在中，，，∴，故答案为：． 20.（24-25八年级下·山东聊城·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形，∴，，∴，故答案为：26 ． 21.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 【答案】3.2 【详解】解：是等边三角形 如图，将绕点顺时针旋转，点为点的对应点，连接 点为点旋转后的对应点；由旋转的性质得：， 是等边三角形 则在中故答案为：3.2 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】（3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 【详解】解：（1）连接，如图②所示， ，，，， ，，； （2）连接，如图③所示， ，，，， ，； （3）如图④，过点E作于Q，由长方形的性质可得，与平行， ，， ，，由折叠的性质得， ，，∵，．的值为4． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．(1)若，则的度数是______；(2)连接，若，的周长是14． ①求的周长；②若是直线上一个动点，则的最小值是______． 【答案】(1)(2)①22；②8. 【详解】（1）解：，，，则． 是的垂直平分线，∴在中，．故答案为：． （2）解：①，的周长是，． 是的垂直平分线，，则． ，的周长是． ②根据题意，点关于直线的对称点是点，与交于点，因此当点在点处时，有最小值，的最小值是．故答案为：8. 24.（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积______；(3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． (4)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，故答案为：； （3）解：如图所示，取格点E、F、G、H，连接交于点O，点O即为所求； 易证明分别垂直平分线，则； （4）解：如图所示，连接交直线l于点P，点P即为所求． 25．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：；(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析(2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：过点作交于，， 是等边三角形，，，，， ，，， ，，，； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于，，，， 又，，，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形，，，， ，， 为等边三角形； 26．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①见解析；②(3)的值不发生改变，等于4 【详解】（1）解：； ；点的坐标为，点的坐标为； （2）①证明：点的坐标为，点的坐标为，， ，，，，， 在和中，，； ②解：，，点的坐标为； （3）解：的值不发生改变，等于4，理由如下：如图，连接， 为的中点，，， ，，，， 在与中，，， ． 27．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点． 图1                 图2                 图3 (1)如图1，当，且时，求的长度；(2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）解：∵，，∴，， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴即，解得； （2）证明∶连接，如图．∵，， ∴，，，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴； （3）解：由（）知，∵D是中点，∴， ∴当时，线段最短，∵，，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 28．（24-25八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；(2)①3，②结论；(3) 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则由勾股定理，得，∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，，∴， ∵，∴，∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则，，， ∵，，∴， ∴；∴满足的有3个，故答案为：3； ②结论； ，； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，，∴故答案为： 29．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意得，，，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴（AAS）， ∴，，∴； （2）同（1）可证，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴的面积为； （3）过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E， ∵的面积为20，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， 同（1）可证，∴，∴的面积为． 30．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为(2)(3)点P的坐标为或 【详解】（1）∵，，∴ ∵将沿折叠，点C落在点处∴，， ∴设，则 ∴在中，∴解得 ∴∴∴点P的坐标为； （2）∵∴ ∵沿将折叠得，∴∴∴ 设，则∴在中， ∴解得∴∴的面积； （3）如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，∴∴四边形是长方形∴ 当时，∴，由折叠得， ∴∴∴设，则 ∴在中，∴ 解得∴ ∴∴点P的坐标为； 当时，∴，由折叠得， ∴∴∴设，则 ∴在中，∴解得∴ ∴∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 31．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】（1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： ;又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】（2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【详解】解：（1）补全图形如图所示： 又 与的数量关系为，故答案为：，，； （2）由（1）可得：，∵．∴，解得：； （3）在上截取，∵平分，∴， ∵，，，∴，∴， 设，∴，∴，∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，由（1）可得：，∴，解得：． 32．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 已知AD是的内角平分线．求证：． [初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； [类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明； [应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________． 【答案】[初步探究]见解析；[类比研究]见解析；[应用拓展] 【详解】[初步探究]证明：，， 是的角平分线 ， [类比研究]过点C作，交于点E， 证明：，， 是的角平分线 ， [应用拓展]在中，，，，， 由折叠性质可知：，， 由探究可知：， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.特殊三角形及勾股定理中的十二类模型 本专题包含特殊三角形及勾股定理中的十二类重要模型，主要有：维维尼亚模型、帽子模型（长短手模型）、等边截等长模型（定角模型）、角平分线第二定理模型、等直内接等直模型、等直+高分模型、奔驰模型、中点模型、翻折模型、赵爽弦图模型、勾股树模型、空间最短路径模型、将军饮马模型等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为24，则的值为（    ） A．4 B． C．15 D．8 2.（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．给出以下三个结论：（1）；（2）是等腰直角三角形：（3）S四边形CEDF．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用，表示直角三角形的两直角边，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　）    A．48 B．36 C．24 D．25 7.（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上点F处，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8.（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 9.（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（    ） A． B． C． D． 10.（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 11.（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12.（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，点P在等边三角形的内部，，，， 垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 14.（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 15.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 16．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________． 17．（2024八年级·重庆·培优）如图，在等边中，边长为12厘米，点D为边上一点，于点E，交于点G，交的延长线于点F，若，则的长度为 厘米．      18.（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 19.（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为6，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点吃食物，则小虫爬行的最短路线的长度是 ．() 20.（24-25八年级下·山东聊城·期中）将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，，，则蚂蚁在纸片表面从点处到达点处需要走的最短路程是 ． 21.（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．，，则的长为 ． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题：如图1，在中，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为D、E，过点C作，垂足为F．求证：． （1）小毅的证明思路是：如图②，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．请完成证明;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： （2）【变式探究】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，求证：； 【结论运用】（3）如图4，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点P作，，垂足分别为G、H，若，则的值为 ． 23．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．(1)若，则的度数是______；(2)连接，若，的周长是14． ①求的周长；②若是直线上一个动点，则的最小值是______． 24.（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积______；(3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． (4)在直线l上找一点P，使的值最小． 25．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：；(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 26．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图所示，直线交轴于点，交轴于点满足．(1)求点、的坐标；(2)如图1，若的坐标为，且于点交于点．①求证：．②试求点的坐标．(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 27．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知中，，，直角的顶点为斜边上的一个动点，直角的两边分别交线段、于、两点． 图1                 图2                 图3 (1)如图1，当，且时，求的长度；(2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将直角绕点旋转，点是的中点，连接，过一点作，垂足为，交于；当线段最短时，求三角形的面积． 28．（24-25八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 29．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 30．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】（1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： ;又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】（2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 32．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 已知AD是的内角平分线．求证：． [初步探究]小慧的证明思路是：如图，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； [类比研究]小慧类比上面的研究思路继续学习，如图，已知是的一个内角相邻的外角平分线，又会得到类似的一个什么结论呢？请你写出这个结论，并予以证明； [应用拓展]如图，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则的长为____________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $