专题 1.5 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦等腰三角形核心知识，从定义出发，系统梳理等边对等角、三线合一等性质，等角对等边判定方法，延伸至等边三角形及含30度角直角三角形、斜边上中线等特殊三角形性质，构建从基础到特殊的知识支架。 资料亮点在于基础与综合题型结合，例题及变式题融入折叠晾衣架、梯子等生活情境，培养几何直观与推理意识。同步检测分层设计，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的应用能力。

专题 1.5 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】等腰三角形定义 1 【题型 1】利用等腰三角形定义求值证明 2 【知识点二】等腰三角形的性质定理（1）——等边对等角 2 【题型 2】“等边对等角”求值证明 2 【知识点三】等腰三角形的性质定理（2）——三线合一 3 【题型 3】“三线合一”求值证明 4 【知识点四】等腰三角形的判定定理（2）——等角对等边 5 【题型 4】“等角对等边”求值证明 5 【知识点五】等边三角形性质与判定 6 【题型 5】利用等边三角形性质与判定求值证明 6 【知识点六】直角三角形性质性质 7 【题型 6】利用含30度的直角三角形性质求值证明 7 【题型 7】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求值证明 8 二.综合培优题型精析 9 【题型 8】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 10 【题型 9】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 10 三.同步检测 12 （一）选择题（共10题，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 16 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】等腰三角形定义 1、定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 2、等腰三角形相关概念：等腰三角形中，相等的边叫作腰，相等的角叫作底角 【题型 1】利用等腰三角形定义求值证明 【例题1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【变式1】（25-26六年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知，，，垂足分别为．与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【知识点二】等腰三角形的性质定理（1）——等边对等角 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”） 图示 几何语言 证明思路 在△ABC中， ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 过点A作ADBC，通过证明即可. 【题型 2】“等边对等角”求值证明 【例题2】（2026·福建三明·二模）如图，等腰中，，、分别是、的四等分点，连接、．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁大连·二模）如图，直线，直线与，分别相交于点G，H，以点G为圆心，的长为半径画弧，与直线相交于点P，连接．若，则的度数为_______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，点在边上，，，垂足分别为，，添加一个条件，使． 【知识点三】等腰三角形的性质定理（2）——三线合一 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 图示 几何语言 在等腰△ABC中，AB=AC， ∵ADBC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD； ∵∠BAD=∠CAD，∴ADBC，BD=CD； ∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC。 【题型 3】“三线合一”求值证明 【例题3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，为边的中点，，垂足为，与相等吗？为什么？ 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证： （1）； （2）． 【知识点四】等腰三角形的判定定理（2）——等角对等边 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 图示 几何语言 证明思路 在△ABC中， ∵∠B=∠C, ∴AB=AC. 过点A作ADBC，通过证明即可. 【题型 4】“等角对等边”求值证明 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【变式2】（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． （1）求证：． （2）若平分，，求线段的长度． 【知识点五】等边三角形性质与判定 定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 【题型 5】利用等边三角形性质与判定求值证明 【例题5】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． （1）试判定的形状，并说明你的理由； （2）若，求的周长． 【变式1】（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【知识点六】直角三角形性质性质 1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半. 2. 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【题型 6】利用含30度的直角三角形性质求值证明 【例题6】（26-27八年级·全国·暑假作业）在直角三角形中，，三等分，，求证：． 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，求的长． 【题型 7】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求值证明 【例题7】（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，为的中点． （1）实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：若是的中点，证明：． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．无法确定 【变式2】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 【变式3】（2026·湖南·二模）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度． 二.综合培优题型精析 【题型 8】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 【例题8】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在和中，，，与相交于点，过点作于点，求证：垂直平分． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【题型 9】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 【例题9】（2026·山西晋城·一模）如图1，三条互相平行的直线、、，作出一个等边三角形，满足三个顶点分别在三条平行线上．方法如下：在直线上取点，作直线，垂足为，以为边作等边三角形．作，与直线交于点，连接，在直线上取点，使得，连接，就可得到满足条件的等边三角形． （1）求证上述材料中作出的是等边三角形． （2）图2中，三条直线互相平行，进行尺规作图，作出一个等腰直角三角形，使其三个顶点分别在三条平行线上（不写作法．保留作图痕迹）． 【变式1】（23-24八年级下·全国·开学考试）等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【变式3】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点． 求证：是等边三角形； 【探究延伸】 （2）如图2，和为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①求的度数； ②试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，和为等腰直角三角形，且，点在同一直线上，于点，连接．则的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由） 三.同步检测 （一）选择题（共10题，合计32分） 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·二模）一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 9．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，且，则这个三角形是________三角形． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，，则是______三角形．    13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 15．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 17．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）已知，平分，点P在上，且，点A，点B分别是两边，上的点． （1）的最小值为______； （2）若时，与的数量关系为______． 18．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是________．（用含的代数式表示） （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的度数． 20．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，求的周长． 21．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，，过点作，点在射线上，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 22．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，，点在上，且满足． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若交于点，是的中点，连接，求证：． 23．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，是上的一点，且， （1）求证：． （2）若，则等于______． 24．（23-24八年级上·山西晋城·期中）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，D是射线BC上一点，点E在的右侧，线段． 且． 实践探究 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段与之间的数量关系：________． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （3） “钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】等腰三角形定义 1 【题型 1】利用等腰三角形定义求值证明 1 【知识点二】等腰三角形的性质定理（1）——等边对等角 3 【题型 2】“等边对等角”求值证明 4 【知识点三】等腰三角形的性质定理（2）——三线合一 6 【题型 3】“三线合一”求值证明 7 【知识点四】等腰三角形的判定定理（2）——等角对等边 9 【题型 4】“等角对等边”求值证明 10 【知识点五】等边三角形性质与判定 12 【题型 5】利用等边三角形性质与判定求值证明 13 【知识点六】直角三角形性质性质 16 【题型 6】利用含30度的直角三角形性质求值证明 16 【题型 7】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求值证明 19 二.综合培优题型精析 22 【题型 8】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 22 【题型 9】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 25 三.同步检测 29 （一）选择题（共10题，合计32分） 29 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 35 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 42 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】等腰三角形定义 1、定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 2、等腰三角形相关概念：等腰三角形中，相等的边叫作腰，相等的角叫作底角 【题型 1】利用等腰三角形定义求值证明 【例题1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． （1）求的取值范围． （2）若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 解：（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 【变式1】（25-26六年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知边长为腰长或已知边长为底边长，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不符合的情况即可得到结果. 解：分两种情况讨论： 若为腰长，则底边长为； ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 若为底边长，则腰长为； ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该等腰三角形底边长为. 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合条件的三角形周长即可 解：，且平方与绝对值均为非负数， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去； 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， 此时三角形的周长为 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知，，，垂足分别为．与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：如图， ，， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，先证明，得到即可证明是等腰三角形． 解：略 【知识点二】等腰三角形的性质定理（1）——等边对等角 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”） 图示 几何语言 证明思路 在△ABC中， ∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 过点A作ADBC，通过证明即可. 【题型 2】“等边对等角”求值证明 【例题2】（2026·福建三明·二模）如图，等腰中，，、分别是、的四等分点，连接、．求证：． 【答案】证明：、是、的四等分点， ，． ， ，． ， ∴， ． 【分析】由等腰三角形的性质并结合题意可得，，再利用证明即可得证． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图是折叠晾衣架的示意图，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2026·辽宁大连·二模）如图，直线，直线与，分别相交于点G，H，以点G为圆心，的长为半径画弧，与直线相交于点P，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得出，根据作图可得，最后利用邻补角的定义求解． 解：∵， ∴， 由尺规作图可知，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，点在边上，，，垂足分别为，，添加一个条件，使． 【答案】或 【分析】线段和分别在和中，根据已知可得，，进而寻找等量关系结合全等三角形的判定定理求解即可． 解：， ， ，， ， 添加， ， ； 或添加， ， ． 【知识点三】等腰三角形的性质定理（2）——三线合一 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）. 图示 几何语言 在等腰△ABC中，AB=AC， ∵ADBC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD； ∵∠BAD=∠CAD，∴ADBC，BD=CD； ∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，ADBC。 【题型 3】“三线合一”求值证明 【例题3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，为边的中点，，垂足为，与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由如下： ∵在中，，为边的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴． 【分析】由等腰三角形的性质可得平分，则，分别求出，，即可得证． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：，， ，即点到所在直线的距离是． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图，、分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质求出，再结合等腰三角形两底角相等求出，最后根据角平分线的定义算出的度数． 解：∵，是的中线， ∴根据等腰三角形三线合一，可得平分， ∴ ∴等腰中，底角 ∵是角平分线，平分， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：，是边的中点， ∴平分， ，， ； （2）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）先由等腰三角形的“三线合一”得平分，结合，，即可作答； （2）根据题意可证明直线是线段的垂直平分线，可得，再通过证明，即得． 解：（1）略 （2）略 【知识点四】等腰三角形的判定定理（2）——等角对等边 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 图示 几何语言 证明思路 在△ABC中， ∵∠B=∠C, ∴AB=AC. 过点A作ADBC，通过证明即可. 【题型 4】“等角对等边”求值证明 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 解：证明：略； 【变式1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【答案】9 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证得，从而得到，再结合求出，最后由求解． 解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接． （1）求证：． （2）若平分，，求线段的长度． 【答案】（1）证明见分析；（2）3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边， （1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出； （2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可． 解：（1）证明：∵E为中点， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由（1），得，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点五】等边三角形性质与判定 定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 【题型 5】利用等边三角形性质与判定求值证明 【例题5】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且，． （1）试判定的形状，并说明你的理由； （2）若，求的周长． 【答案】（1）是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ，， ，， 为等边三角形． （2）10 【分析】（1）证明，证明，，即可解决问题． （2）证明，同理可证；即可解决问题． 解：（1）略 （2）解：平分，， ，， ， ， 同理可证； 的周长． 【变式1】（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解． 解：∵，， ∴，， ∵与直线所夹的锐角为， ∴或； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 故答案为：3或． 【变式3】（26-27八年级·上海·暑假作业）等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】等边三角形， 理由：为等边三角形， ． 在与中， ， ． ，． ， ， 是等边三角形． 【分析】先证得，再证，从而得出是等边三角形． 解：略 【知识点六】直角三角形性质性质 1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边是斜边的一半. 2. 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【题型 6】利用含30度的直角三角形性质求值证明 【例题6】（26-27八年级·全国·暑假作业）在直角三角形中，，三等分，，求证：． 【答案】证明：，，三等分， ， ， ， ． 【分析】通过已知条件可以求得，则由直角三角形的两个锐角互余的性质得到，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是______． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 7】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半求值证明 【例题7】（2026·山西晋中·二模）如图，在中，，为的中点． （1）实践操作：利用尺规作于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：若是的中点，证明：． 【答案】（1）如图，即为所求作； （2）证明：，为的中点， ， 是的中点，， 点在的垂直平分线上， ， ． 【分析】（1）利用尺规作图作； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据线段垂直平分线定理可知点在的垂直平分线上，所以可得，从而可证． 解：（1）解：如下图所示， 以点为圆心画弧，交于点、， 分别以点、为圆心画弧，两弧交于点， 连接交于点，即为所求作； （2）略 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）小红将一个直角三角板放在一个直尺上，如图所示，点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5，则的长为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．无法确定 【答案】A 解：∵点，所对应的数字分别为1和9，为上一点，它对应的数字为5， ∴， ∴D为中点， ∵直角三角板， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据已知分别求出，，，找到规律即可解答． 解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时，则． 【变式3】（2026·湖南·二模）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由题意易得是直角三角形，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 解：（1）证明：为边上的高， 都是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：为边上的高， ， ， ， 是直角三角形， 为边上的中点，， ． 二.综合培优题型精析 【题型 8】利用等腰三角形性质与判定综合求值证明 【例题8】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知在和中，，，与相交于点，过点作于点，求证：垂直平分． 【答案】证明：在和中，，， ， ， ， 是等腰三角形， 又， ， 垂直平分． 【分析】根据证明，得出，根据等角对等边得出，根据三线合一得出，即可得证． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，垂足为D，点E是上一点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质得，，进而得，再求出，然后根据得出答案． 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【答案】（1）与平行，理由如下： ∵是的一条角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【分析】（1）利用角平分线的定义结合等边对等角求得，即可判断； （2）利用证明，即可得到，，据此计算即可求解． 解：（1）解：略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【题型 9】等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 【例题9】（2026·山西晋城·一模）如图1，三条互相平行的直线、、，作出一个等边三角形，满足三个顶点分别在三条平行线上．方法如下：在直线上取点，作直线，垂足为，以为边作等边三角形．作，与直线交于点，连接，在直线上取点，使得，连接，就可得到满足条件的等边三角形． （1）求证上述材料中作出的是等边三角形． （2）图2中，三条直线互相平行，进行尺规作图，作出一个等腰直角三角形，使其三个顶点分别在三条平行线上（不写作法．保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）先证明，利用全等三角形的性质即可求解； （2）先在直线上取一点，过点作直线的垂线，交直线于点，交直线于点，此时，再以为圆心，的长度为半径画弧交直线于点，所以，连接，再以为圆心，的长度为半径画弧交直线于点，连接，所以，所以，所以，因为，即，即为等腰直角三角形． 解：（1）证明：∵直线，， ∴， ∵等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：如图所示，等腰直角三角形即为所求． 【变式1】（23-24八年级下·全国·开学考试）等腰的顶角为，过底边上一点作底边的垂线交于，交的延长线于，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，综合利用了等腰三角形和直角三角形的性质．根据是等腰三角形，且，可得，，由，可得，推出，，结合对顶角相等即可求解． 解：根据题意画出示意图如图， 是等腰三角形，且， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可． 解：∵是等边三角形，是中线， ∴平分；；故①②正确； ∵， 又， ∴， ∴， ∴ ∴，故③④正确， 综上其中正确的是①②③④． 【变式3】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点． 求证：是等边三角形； 【探究延伸】 （2）如图2，和为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①求的度数； ②试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，和为等腰直角三角形，且，点在同一直线上，于点，连接．则的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1）见分析；（2）①；②，理由见分析；（3）； 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键． （1）根据为等边三角形得到，根据平行线的性质得出，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得出，，，得到，证明，得到，即可得到答案； ②根据全等三角形的性质，等边三角形的性质以及线段的和差即可得到答案； （3）由可证，得到，，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 解：（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：①和为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ； （3）和为等腰直角三角形，且， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 三.同步检测 （一）选择题（共10题，合计32分） 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若、，则线段的长为（　　） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，从而可得，，然后利用等角对等边可得，，即可解答． 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 5．（2026·河南周口·二模）一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 解：在中，，， ， ， ． 6．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得 ，进而得出 ，最后利用直角三角形两锐角互余及角的和差关系求解即可． 解：由作图可知： 垂直平分 ， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 9．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 10．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点H，连接．若，则的周长为（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据作图可知垂直平分，，结合垂直平分线的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质，可得，，然后计算的周长即可． 解：由作图可知，垂直平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴周长 ． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，且，则这个三角形是________三角形． 【答案】等边 【分析】根据等边对等角的性质，由可得，结合已知条件，可推出三个内角相等，进而即可得到三角形的形状． 解：在中，， ， 又， ． ∴是等边三角形． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，，则是______三角形．    【答案】等腰 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据等角对等边证明等腰三角形，先得出，结合平行线的性质得，进行角的等量代换，得出，即可作答． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则 ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 解：， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·河南濮阳·期中）已知，平分，点P在上，且，点A，点B分别是两边，上的点． （1）的最小值为______； （2）若时，与的数量关系为______． 【答案】 2 或（相等或互补） 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质． （1）根据垂线段最短和含30度的直角三角形的性质求解即可． （2）分情况画图讨论即可． 解：（1）如图，当时，最小， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）过点作， ∵平分， ∴，， 如图①，当时， ∴， ∴， ∴； 如图②，当时， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图③，当时， 同②可得； 如图④，当时， 同①可得； 综上，或， 故答案为：或． 18．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是________．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线定义，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可． 解：当在的内部时，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵（），， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵（），， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数是或． 故答案为：或． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知，，，为上一点，且到两点的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）先根据线段垂直平分数线性质和等腰三角形的性质得出的度数，再由直角三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． 解：（1）解：如图，点即为所求 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，掌握基本作图是解题的关键． 20．（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 21．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，，过点作，点在射线上，． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【分析】（1）利用平行线的性质可得，即可解答； （2）证明即可解答． 解：（1）略 （2）略 22．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，，点在上，且满足． （1）尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若交于点，是的中点，连接，求证：． 【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）以点A为圆心，以大于之间的距离为半径画弧，交于点H，K，再以点H，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，则是的垂直平分线，则，即； （2）由（1）知，再根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的性质得接下来根据三角形外角的性质得出，即可得出，最后根据等角对等边得出答案． 解：（1）解：如图所示，点G即为所求； （2）证明：由（1）知， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 23．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，是上的一点，且， （1）求证：． （2）若，则等于______． 【答案】（1）见分析；（2）4 【分析】（1）等角对等边，得到，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合含30度角直角三角形的性质，即可得出结果. 解：（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴． 24．（23-24八年级上·山西晋城·期中）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境 已知，在中，，D是射线BC上一点，点E在的右侧，线段． 且． 实践探究 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段与之间的数量关系：________． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用 （3） “钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）， 理由：∵，， ∴， 即， 在和中： ∴（）， ∴． （3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （2）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （3）本题分两种情况讨论，即当在之间时，和当在点右边时，根据每种情况求相等的角，再结合三角形全等得判定求解即可． 解：（1） 解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴． （2） 略 （3）或； 解：本题分两种情况， 情况一：当在之间时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ， 故． 情况二，当在点右边时，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $