3.6 正多边形（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦正多边形核心概念，以中心角为起点，通过基础计算、技能应用到综合拓展的三层设计，实现从单一知识点到跨知识综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|中心角概念及简单计算|以正八边形、正六边形为情境，设置直接求中心角、旋转角等基础题，强化概念理解| |技能应用|中心角与线段、边长、边心距关联计算|结合外接圆半径、周长等条件，设计正多边形边长、边心距的推导题，提升运算能力| |综合拓展|正多边形与圆的综合证明及作图|通过尺规作内接正多边形、多图形综合计算（如正六边形与正方形组合），发展空间观念与模型意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.6正多边形 正多边形的中心角 利用中心角求线段长度 已知正多边形的中心角求边长 ①基础达标题 正多边形中边心距的相关计算 尺规作图-正多边形 正多边形解答题综合 。正多边形 正多边形的中心角求面积 ②能力提升题 正多边形与圆的综合 3拓展培优题 高分冲刺题型 A 基础达标题 题型一：正多边形的中心角 1.(25-26八年级下.甘肃张掖阶段检测)如图，多边形ABCDEFGH是正八边形，点M是DE延长线上 一点，连接AE,则∠AEM的度数为 -M 2.(2026陕西咸阳·二模)如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OD、OF,则∠DOF的度 数为 0 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026上海闵行.三模)已知正多边形一个内角的度数是150°，那么该正多边形中心角的度数是 4.（2026重庆北碚模拟预测)若一个正多边形的内角和比它的外角和多900°，则这个正多边形的中心角 度数为 5.(2026陕西汉中.一模)如图，将正八边形绕着它的中心O旋转m0<m<360后，能够与原来的图形 完全重合，则m的值可以是。.（写出一个符合题意的数即可） ●O 6.(2026陕西汉中.一模)苯（分子式为C6H)环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图 1).如图2，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，则其中心角的度数为 D 图1 图2 7.（25-26七年级下·江苏苏州期末)拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉 亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O 按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为 G B 2/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二：利用中心角求线段长度 1.(2026江苏盐城三模)如图，将两个全等的边长为4的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为01、 02,连接01O2,则0102的长为 02 2.(2026陕西西安.三模)如图，在正六边形ABCDEF中，连接CF,若CF=12,则该正六边形的周长 为 3.（25-26九年级上.北京门头沟期末)如图，正六边形ABCDEF的周长为18，则它的外接圆的半径为 B 4.(25-26九年级上.福建福州阶段检测)正六边形ABCDEF内接于⊙O,若⊙O的半径为6，则正六边 形ABCDEF的边长为 5.(25-26九年级上北京丰台期末)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形、则地基的周 长为 m. 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26九年级上.福建厦门阶段检测)如图，正六边形ABCDEF,对角线AE、BF交于点G,EF=2, 则正六边形ABCDEF外接圆的半径为 B 题型三：已知正多边形的中心角求边长 1.(2526七年级下.山西长治期末)大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍 摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动36°才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的 边数为 2.(2026广东河源.二模)若一个正多边形中心角的度数为40°，则这个正多边形的边数是 3.(25-26九年级上·陕西渭南·期中)如图，AB是⊙O的内接正多边形的一条边，连接OA、OB, ∠AOB=45°，则这个正多边形的边数为 B 4.(25-26九年级上江苏宿迁期中)如图，AB,AC分别为⊙O的内接正三角形、正四边形的一边， BC是圆内接正n边形的一边AC>BC,则n的值为 B A 5.(25-26九年级上·江苏扬州期中)如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O是正多 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边形的中心，若∠ADB=15°，则这个正多边形的边数为 6.（25-26九年级上陕西延安期末)如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，点C是⊙O上一点，连接 AC,BC,∠C=36°，则n的值为 7.(25-26九年级下·吉林长春.阶段检测)正多边形的一部分如图所示，点O为正多边形中心，若 ∠BAC=20°，则该正多边形的边数为 O。 8.(2025陕西西安三模)如图，正六边形与正方形有重合的中心O,若∠B0C是正边形的一个中心 角，则n的值为 9.(2025陕西咸阳模拟预测)如图，AB是⊙O的内接正六边形的一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O 的内接正八边形的一边.则BC是⊙O的内接正 边形的一边. 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型四：正多边形中边心距的相关计算 1.(25-26九年级上山东烟台期末)半径为1的圆内接正六角形的边心距为· 2.（2026陕西西安模拟预测)一个正多边形的一个外角与它的一个内角度数之比为1：2，若该正多边形 的外接圆半径为2，则这个正多边形的边心距为 3.(2026福建厦门模拟预测)如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心为O,则该正六边形的边心距 为 D 4.(25-26九年级上·重庆潼南期末)如图，半径为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O,则该正六边形的 边心距OM为 B 5.(25-26九年级上.宁夏吴忠期末)如图，已知⊙O的半径等于6cm,则圆内接正六边形ABCDEF的边 心距OM的长等于 cm. 6/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型五：尺规作图-正多边形 1.(25-26八年级下陕西商洛期末)如图，已知直线a‖b,点A是直线a上一点，利用尺规作图法作正方 形ABCD,使得点B、C在直线b上，点D在点A右侧.（不写作法，保留作图痕迹） A 2.(25-26九年级下·全国课后作业)试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形. 3.(2026江苏徐州一模)按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） 图① 图② (1)在图①中作正方形ABCD,且顶点都在圆上. (2)在图②中将圆的面积6等分】 4.(25-26九年级上广东潮州期末)如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形. 图1 图2 (1)请在图2中利用尺规作出正六边形ABCDEF(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求地基的面积（答案保留根号）· 5.(25-26九年级上江苏宿迁阶段检测)如图，⊙O的半径为4. 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 (1)求作它的内接正方形ABCD: (2)求正方形ABCD的边长， 6.(25-26九年级上吉林长春.期末)作图并填空： 0 (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知⊙O的内接正六边形：（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必 须用黑色字迹的签字笔描黑) (2)若已知⊙O的半径为2，则这个内接正六边形的面积为 7.(25-26九年级上江苏徐州期中)尺规作图： 图1 图2 (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形ABC,使其是⊙O的内接三角形. (要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹.) 题型六：正多边形解答题综合 1.(2025四川广安.一模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,连接AD、FD 8/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若P是CD上的动点，连接BP、FP,求∠BPF的度数： (2)若△ADF的面积为23，求⊙O的面积.（结果保留π） 2.(25-26九年级上河南安阳阶段检测)如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，四边形 EFGH是正方形，连接OE,OF,OG. D (1)求∠OGF的度数： (2)取劣弧CD的中点K,连接FK,在图中找出和FK等长的线段，并说明理由 3.(25-26九年级上山西朔州阶段检测)如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为AD上的一点，连接 BM,CM. B C (1)若BM=CM,求证：M为AD的中点. (2)若正方形的面积为4，请直接写出⊙O的半径. 4.（25-26九年级上河南安阳期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,p为DE上一点，连接 AP,FP. 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● (1)求∠APF的度数： 2当点p为DE的中点时，PE是⊙0的内接正n边形的一边，求n的值. 5.(25-26九年级上浙江单元复习)如图，⊙O的半径为R,六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边 形EFGH是正方形. (1)求∠OGF的度数： (2)求正六边形与正方形的面积比. B 能力提升题 题型一：正多边形的中心角求面积 1.（2026黑龙江绥化中考真题)如图，有一个亭子，它的地基是边长为4的正六边形，则这个正六边 形地基的面积是 m(计算结果保留根号)· 2.(25-26九年级上河北唐山期末)苯（分子式为C6H6)的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随 10/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所 示，点O为正六边形ABCDEF的中心.若CD=1,则正六边形的面积为 图1 图2 3.(25-26九年级上四川南充阶段检测)如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，己 知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是 4.(25-26九年级上·江西南昌阶段检测)窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一，窗的类型很多，图1 是一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的边心距为3dm, 则这个正六边形ABCDEF的面积为dm2. B 图1 图2 5.(2025陕西西安三模)如图，由边长相等的4个正三角形和3个正六边形无空隙、不重叠地拼在一起， 组成一个大六边形ABCDEF,若每个正三角形的面积为1，则大六边形ABCDEF的面积为· E 6.(2025陕西渭南三模)如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB,若OA=2,则该 11/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正八边形的面积为· (结果保留根号) B 题型二：正多边形与圆的综合 1.（2026山西长治三模)如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNQP的顶点恰 好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC与BD相交于点O,正八边 形的另外四个顶点H,I,J,K分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI分别交PM和QN于点E,F,则 EF的值为 A D M B 2.(2026山东日照.二模)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O,四边形EFGH是正方形， 则正方形EFGH的面积为：连接OF、OG,∠OGF的度数为， G E 3.(2026浙江绍兴.二模)如图，在⊙O中，弦AB,AC分别是⊙O的内接正三角形和内接正方形的一 条边，连接BC,BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是 12/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 4.（2026广西梧州一模)广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等 图案.如图，在OO的内接正八边形ABCDEFGH中，分别连接BG和DG.若DG=2+2V2,则AB长 为一 A 5.(25-26九年级下.河北邯郸期中)如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形 ABCD,将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边BC重合，则正方形ABCD与正 方形ABCD重叠部分的面积为 拓展培优题 1.(25-26九年级上·云南昭通·期末)若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为() A.2π B.4π c./3π D.3π 2.(2026四川内江，中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为BC上的一点（点P不与点C重 合)，则∠CPD的度数为() 13/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.36° B.45° C.60° D.72 3.(2026-北京顺义：二模)如图，CD是AB上两点，BD=CD:∠A=40.若BD:CD是正n边形的 两条邻边，则n的值为() B A.8 B.9 C.10 D.11 4.(2026·云南昭通·模拟预测)在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美 好的祝愿.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若正六边形ABCDEF的周长为18cm,则⊙O的半径 为() D A.1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 5.(2026江苏连云港.二模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是CD上的任意一点，则 ∠APB的大小是() E 0 B A.30 B.45° C.60° D.75° 14/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026河南三门峡.一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点 0重合，AB‖x轴，交y轴于点G.将△OBG绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结 束时，点B的对应点的坐标为() A.R3,-1 B.-1,-3 c.-3,1 D.1,3 7.（2026山东济宁.二模)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆 的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙O的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计 ⊙O的面积，可求得的估计值是() B A.3 B.3V3 c.3.14 D.3.142 8.(2026江苏南京三模)在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正n边形，则n可以是 (写出一个)· 9.(2526七年级下，河南南阳期末)如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕 着它的中心O旋转n(0<n<360)后，能够与原来的图形完全重合，则n的值可以是 。(写出2个符 合题意的数值即可)· 10.(2026吉林长春模拟预测)如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留 15/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 11.(25-26六年级下·上海浦东新·期中)从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，己知圆的周长是 25.12cm,那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中π取3.14） 12.(25-26九年级上江西期末)如图所示，已知点P为正六边形ABCDEF的边AF的中点，连接BP, 仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹 D 图1 图2 (1)在图1中画出边CD的中点Q: (2)在图2中将△ABP绕点B顺时针旋转60° 13.(2025九年级·全国.专题练习)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，对角线AC,BD相交于点P. D (1)求∠APB的度数. (2)求证：AC=AB+BP 14.(25-26九年级上全国课后作业)碳60，是一种非金属单质，化学式为C60,是一种由60个碳原子构 成的分子，形似足球，又名足球烯.如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体， 16/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为 (2)若足球烯中正六边形的边长为α，求该正六边形的边心距. 17/17 3.6 正多边形 题型一：正多边形的中心角 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 3．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 4．（2026·重庆北碚·模拟预测）若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理，多边形外角和性质以及正多边形中心角的计算，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意设正多边形的边数为，利用内角和与外角和的关系列方程求出边数，再计算正多边形的中心角度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 5．（2026·陕西汉中·一模）如图，将正八边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】45，90，135，180，225，270，315 【分析】正八边形可以被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成八部分，， ∴该图形绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ， 可以为或90或135或180或225或270或315． 6．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________． 【答案】 【分析】根据正多边形各边所对中心角相等且等于除以边数即可解答． 【详解】解：∵点O为正六边形的中心， ∴六边形各边所对中心角相等， ∴其中心角的度数为． 7．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 题型二：利用中心角求线段长度 1．（2026·江苏盐城·三模）如图，将两个全等的边长为的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】连接、、、，根据正六边形的性质可知和是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、， 根据正六边形的性质可知，和是等边三角形， ， 是的垂直平分线， ，， ， 同理可得：， ． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在正六边形中，连接，若，则该正六边形的周长为________． 【答案】36 【分析】设中点为O，连接，根据正多边形的性质得到，根据中心角的定义求出，则是等边三角形，求出的值，即可求出正六边形的周长． 【详解】解：设中点为O，连接， ∴， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为． 3．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，正六边形的周长为18，则它的外接圆的半径为____________． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 先根据正六边形的性质求得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接， ∵正六边形 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长为18， ∴，即它的外接圆的半径为3． 故答案为3． 4．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题关键．连接，则，再求出正六边形的中心角，然后根据等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 连接， ∵的半径为6， ∴， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为6， 故答案为：6． 5．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为__________m． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图， ∵，, ∴，即正六边形的边长为， ∴地基的周长为， 故答案为：. 6．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，正六边形，对角线、交于点，，则正六边形外接圆的半径为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形和圆的综合是解题的关键．设正六边形外接圆的圆心为点，连接，，由点是正六边形外接圆的圆心可得，，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为点， 如图，连接，， 点是正六边形外接圆的圆心， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：． 题型三：已知正多边形的中心角求边长 1．（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 2．（2026·广东河源·二模）若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】9 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，设正多边形的外接圆为，连接，，所以，则这个正多边形为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ∵， ∴， ∴这个正多边形为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是内接正n边形的一条边，点C是上一点，连接，，则n的值为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正多的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 7．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 8．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正___________边形的一边． 【答案】二十四 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，连接，先求得、的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：连接， ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正二十四边形的一边， 故答案为：二十四． 题型四：正多边形中边心距的相关计算 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）半径为1的圆内接正六角形的边心距为______． 【答案】/ 【分析】连接、，作，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，利用垂径定理及勾股定理即可求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，作， ∵六边形是圆内接正六边形， ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，垂径定理，勾股定理．解题中熟记正六边形的性质得到是解题的关键，由此即可证得是等边三角形，利用勾股定理解决问题． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的一个外角与它的一个内角度数之比为，若该正多边形的外接圆半径为2，则这个正多边形的边心距为________． 【答案】 【分析】设该正多边形的一个外角为，则它的一个内角为，根据正多边形相邻内角与外角的数量关系，再利用多边形外角和定理求出正多边形的边数为，然后画出图形，结合外接圆半径，利用等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理即可计算边心距． 【详解】解：设该正多边形的一个外角为，则它的一个内角为， 由邻补角的定义可得：， 解得， 因为任意多边形的外角和为，所以该正多边形的边数为：， ∴该多边形为正六边形， 如图，连接，，过作于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边心距为． 3．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 4．（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．连接、，过点作，证出是等边三角形，结合等边三角形的性质和勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图所示，连接、，过点作．如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，已知的半径等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．连接，，可得是等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出． 【详解】解：连接，， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， 由题意可知，则垂直平分， ，， ， 故答案为：． 题型五：尺规作图--正多边形 1．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 2．（25-26九年级下·全国·课后作业）试用尺规作图，作出圆的内接正十二边形． 【答案】如图，十二边形即为所求． 【分析】在上任取一点，连接，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，再分别作，，，，，的垂直平分线交于，，，，，，连接，，，，，，，，，，，，十二边形即为所求． 【详解】略 3．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）解：正六边形如图所示， （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 平方米． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1) 解：如图，正六边形即为所求： (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）尺规作图： (1)如图1，作已知圆的一条直径； (2)如图2，作等边三角形，使其是的内接三角形． （要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，等边三角形的判定与性质，度角对的弦是直径，垂径定理，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握对应知识点是解题的关键． （1）法一：在圆中作弦，作弦的垂直平分线交圆于点C和点D，连接即可； 法二：在圆中作弦，过点F作弦的垂线交圆于点G，连接即可； （2）法一：在中作直径，作半径的垂直平分线交圆于点B和点C，连接，即可； 法二：在中作直径，以D为圆心，为半径作交于点B和点C，连接，即可． 【详解】（1）解：直径如图所示； （2）解：如图所示，即为所求． 题型六：正多边形解答题综合 1．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形内接于，连接、． (1)若P是上的动点，连接、，求的度数； (2)若的面积为，求的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 2．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 4．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 5．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴， ， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 题型一：正多边形的中心角求面积 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，正六边形的面积为，再运用勾股定理算出，最后把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形的性质，正八边形面积的求法是解题关键． 先将正八边形延长每一边构成一个大正方形，然后用大正方形的面积减去四个等腰直角三角形的面积；再用正八边形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形面积是2， ∴其边长为：， 如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形， ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ， ∴正八边形的面积为： ， ∴非阴影部分面积是． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一，窗的类型很多，图1是一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理、含30度的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过正六边形的中心作于点，连接、，根据正六边形的性质可得，，再利用含30度的直角三角形的性质得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，利用三角形的面积公式求出，即可求出正六边形的面积． 【详解】解：如图，过正六边形的中心作于点，连接、， 则，，， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·三模）如图，由边长相等的4个正三角形和3个正六边形无空隙、不重叠地拼在一起，组成一个大六边形，若每个正三角形的面积为1，则大六边形的面积为______． 【答案】22 【分析】本题考查了正六边形的中心角，等边三角形的判定和性质，根据题意，可以得到小正六边形可以分成6个正三角形，进而得到大六边形可以分成22个正三角形，即可求解. 【详解】解：如图： 由图可知：， ∴为正三角形， ∴小正六边形可以分成6个全等的正三角形， ∵边长相等的4个正三角形和3个正六边形无空隙、不重叠地拼在一起， ∴小正六边形中的正三角形和原图形中的正三角形全等， ∴大六边形可以分成：个正三角形， ∵每个正三角形的面积为1， ∴大六边形的面积为：22； 故答案为：22． 6．（2025·陕西渭南·三模）如图，点是正八边形的中心，连接、，若，则该正八边形的面积为______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，先求出，作于点H，构造等腰直角，求出，进而可依次求出和该正八边形的面积． 【详解】解：如图，作于点H， 该多边形为正八边形，， ，， 又 ， 是等腰直角三角形， ， ， 该正八边形的面积， 故答案为：． 题型二：正多边形与圆的综合 1．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 2．（2026·山东日照·二模）如图，正六边形内接于半径为的，四边形是正方形，则正方形的面积为______；连接、，的度数为______． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质得出的度数，，从而得到是等边三角形，根据等边三角形的性质结合正方形的性质即可求得正方形的面积；证明，由等边对等角结合三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：正六边形内接于半径为的， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是正方形， 正方形的面积为，，， ， ， ， ． 3．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 4．（2026·广西梧州·一模）广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在的内接正八边形中，分别连接和．若，则长为______． 【答案】2 【分析】设为，通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系，可以用的代数式表示，，然后列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则， 八边形是的内接正八边形， ， ， 同理得， 在中，，设， ， 同理， ， ， ， 解得， ． 5．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为___________． 【答案】/ 【分析】先计算出正八边形的内角，再利用旋转的性质得，延长过点D，然后利用正方形与正方形重叠部分的面积进行计算． 【详解】解：正八边形的一个内角为：， 正方形绕点B顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合， ∴，， ∴， ∴延长过点D，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴正方形与正方形重叠部分的面积为： ． 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 2．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 3．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 4．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 5．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 6．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重合，轴，交y轴于点 G．将绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定为等边三角形，确定点B的坐标为，确定变化是每4次旋转为一个循环，结合，求解即可； 【详解】解：如图，连接，可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴点B的坐标为， 第1次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点B的对应点在第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点B的对应点在第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点B的对应点在第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， …… 每4次旋转为一个循环，则， ∴与对应，坐标为． 7．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 8．（2026·江苏南京·三模）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 9．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角，再根据旋转的性质，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵这是正五边形卡通贴纸 ∴， ∴ 则将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，则大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设含的直角三角形中所对直角边长为，则另一个直角边，， ∴，且， ∴是等边三角形，则， 同理，， 是等边三角形，， ∴， ∴大正六边形的半径和小正六边形的半径的比为 ． 11．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 【答案】正方形的面积比圆的面积多约27.4% 【分析】先求出圆的半径，再求圆的面积，再根据正方形的边长即为圆的直径，求出正方形的边长，最后用正方形的面积与圆的面积之差比上圆面积，即可得出答案． 【详解】解：设圆的周长为c，半径为r，正方形边长为a， ， ， 最大的圆，直径与正方形的边长相等， ， ， ． 答案：正方形的面积比圆的面积多约27.4%． 12．（25-26九年级上·江西·期末）如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 13．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）运用圆周角定理，可求出和的度数，再运用三角形内角和即可求得的度数； （2）根据度数分别证明，，即可得证． 【详解】（1）解：是正五边形的外接圆， 根据圆周角定理可知，， ． （2）证明：由（1）可知，， ． 根据圆周角定理可知，， ， ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的关系，解题关键是灵活运用圆周角定理． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． （1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数. （2）为等边三角形，，得，故，即边心距为. 【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为， ∴五边形一个外角是， ∴五边形一个内角是. 故答案为：. （2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作． ， 是等边三角形， ． ． 在中，由勾股定理，得， 故该正六边形的边心距为． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $