24.3 正多边形和圆（分层作业）数学人教版九年级上册

24.3 正多边形和圆 题型一 求正多边形的中心角 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）边长为3的正六边形的一个中心角是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：正六边形的一个中心角是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，正方形内接于，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角等知识点，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角公式即可直接得出答案． 【详解】解：正方形内接于， 既是圆的圆心又是正方形的中心， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可． 【详解】解：正六边形的中心角为：． 故答案为：． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据是正八边形即可求出． 【详解】解：∵是正八边形， ∴， 故答案为：45． 题型二 已知正多边形的中心角求边数 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故答案为：10． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是 【答案】4 【分析】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为4， 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·山东·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 4．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型三 正多边形和圆的应用 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 2．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，过点作于点，由圆的周长可得，由正六边形的性质可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解； （）由（）可得是等边三角形，得到，可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，则， ∵的周长等于， ∴半径， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即圆心到的距离为； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图（1），的三个顶点在上，，，F是的中点．先分别画出，的中点G，H，再画的内接正五边形； (2)如图（2），正五边形五个顶点在上，过点A画的切线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1） 连接并延长交于点，连接，与交于点， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，依次连接，正五边形即为所求； （2）如图，延长交于，连接交于，连接并延长交于，过作直线，直线即为所求； 【详解】（1）解：如图即为所求．    理由如下：∵， ∴，， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴过的交点的线段为的中线， ∴为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴为， ∴的度数为， ∴， ∴， ∴五边形为的内角正五边形． （2）解：如图，延长交于，连接交于，连接并延长交于，过作直线，直线即为所求； 理由：由圆和正五边形的对称性可知，为的中点， ∵正五边形每个内角为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，切线的判定，三角形的重心，全等三角形的性质和判定，多边形内角和，三角形内角和，圆周角定理等知识点，熟练应用垂径定理及切线的判定是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【答案】[给出问题]见解析；[深入思考] ； [拓展应用] 【分析】[给出问题] 证明，即可得到； [深入思考]过点作交于点，取圆心，连接，，证明，进而根据全等三角形的性质，勾股定理，即可求解． [拓展应用]以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，根据圆周角定理可得在上，进而通过勾股定理求出的长度，从而得出矩形的面积． 【详解】[给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考] ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 4．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3 正多边形和圆 题型一 求正多边形的中心角 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）边长为3的正六边形的一个中心角是 ． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）如图，正方形内接于，则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是 ． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，点O是正八边形的中心，连接、，则 ． 题型二 已知正多边形的中心角求边数 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是 3．（24-25九年级上·山东·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ． 4．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    题型三 正多边形和圆的应用 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 2．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图，的周长等于，正六边形内接于． (1)求圆心到的距离． (2)求正六边形的面积． 3．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图（1），的三个顶点在上，，，F是的中点．先分别画出，的中点G，H，再画的内接正五边形； (2)如图（2），正五边形五个顶点在上，过点A画的切线． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    4．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$