3.6 正多边形 课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学正多边形同步练，通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，实现从概念理解到规律探究的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|内角外角计算、内接正多边形基本性质|如单选题1内角求边数，直接应用概念，夯实基础| |中档|正多边形与圆综合计算、对称性应用|如填空题14正五边形圆周角，结合圆周角定理，提升综合运算能力| |提升|规律探究与动态问题|如解答题20正多边形动态角度规律，培养推理意识与创新思维|

3.6 正多边形 课时练习 一、单选题 1.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（    ） A. 10                                           B. 9                                           C. 8                                           D. 6 2.⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（   ） A. 2                                 B. 2                                  C.                                  D. 2 3.如图，四边形 是⊙ 的内接正方形，点 是劣弧 上任意一点（与点 不重合），则 的度数为（   ） A. 30°                                    B. 45°                                    C. 60°                                    D. 无法确定 4.将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n ， 则下列结论中一定正确的是（     ） A. ∠1=∠2+36°                   B. ∠1=∠2+72°                   C. ∠1+∠2=90°                   D. 2∠1+∠2=180° 5.如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　） A.                                      B.                                      C.                                      D.  6.一个圆的内接正六边形的边长为 2，则该圆的内接正方形的边长为（　　） A.                                       B. 2                                       C. 2                                       D. 4 7.如图，已知直线 是正五边形 的对称轴，且直线 过点 则 的度数为(       ) A.                                    B.                                    C.                                    D. 不确定 8.如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，∠ABG＝46°，则∠FAE的度数是（　　） A. 26°．                                   B. 44°．                                   C. 46°．                                   D. 72° 9.如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（   ） A. 30°                                       B. 40°                                       C. 45°                                       D. 50° 10.用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 的值为（   ） A. 1                                          B.                                           C.                                           D.  二、填空题 11.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=________． 12.边长为4的正六边形内接于 ，则 的半径是________． 13.正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=________． 14.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=________°. 15.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________. 16.如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是________. 三、解答题 17.一个正多边形的一个外角的度数等于它的一个内角度数的 ，求这个正多边形的边数 18.如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法） （1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ； （2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 . 19.如图，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题： …… （1）将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… 的度数 ________ ________ ________ ________ …… ________ （2）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由. （3）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由. 20.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动 （1）求图10－1中∠APN的度数； （2）图10－2中，∠APN的度数是________，图10－3中∠BPN的度数是________。 （3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 答案解析部分 一、单选题 1. C 考点：正多边形和圆 解：∵正多边形的一个内角是135°， ∴该正多边形的一个外角为45°， ∵多边形的外角之和为360°， ∴边数= =8， ∴这个正多边形的边数是8． 故答案为：C． 分析：根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数． 2. A 考点：正多边形和圆 解：如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长， ∵∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴AB=OA=2， 故答案为：A. 分析：如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题. 3. B 考点：圆周角定理，正多边形和圆 解：连接OB,OC， ∵ 四边形 是⊙ 的内接正方形 ， ∴∠BOC==90°， ∴∠BPC=∠BOC=45°； 故答案为:  B. 分析：根据正多边形的性质得出正方形ABCD的中心角∠BOC==90°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BPC的度数。 4. A 考点：平行线的性质，正多边形和圆 解：∵∠1+180°-∠3+108°+108°=360°，∠4+∠5=108°，∴∠3=∠1+36°， 过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n， ∴∠2=∠5，∠3+∠4=180°， ∴∠3-∠2=72°， ∴∠1=∠2+36°. 故答案为：A. 分析：利用四边形内角和及正五边形的性质，可得∠4+∠5=108°，∠3=∠1+36°，过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，可得∠2=∠5，∠3+∠4=180°，据此可得∠1=∠2+36°. 5. C 考点：正多边形和圆 解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G， ∵⊙O的周长等于4πcm， ∴⊙O的半径为： ＝2cm， ∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴OA＝OB＝AB＝2cm， ∵OG⊥AB， ∴AG＝BG＝ AB＝1 cm， ∴OG＝ cm， ∴S△AOB＝ AB•OG＝ ×2× ＝ cm2 ， ∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2. 故答案为：C. 分析：根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答. 6. B 考点：正多边形和圆 解：∵圆内接正六边形的边长是2， ∴圆的半径为2. 那么直径为4. 圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于4. ∴圆的内接正方形的边长是2 . 故答案为：B. 分析：圆内接正六边形的边长是2，即圆的半径是2，则圆的内接正方形的对角线长是4，进而就可求解. 7. C 考点：正多边形和圆，轴对称的性质 解： ∵正五边形ABCDE的每个内角为108°， ∴∠BCD=108°， ∵CB=CD， ∴∠BDC=36°， ∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠FCD=36°， ∴∠1=36°+36°=72°， 故答案为：C. 分析：先根据∠BCD=108°，CB=CD，得出∠BDC=36°，再根据直线m是正五边形ABCDE的对称轴，可得∠FCD=36°，进而得到∠1的度数． 8. A 考点：平行线的性质，正多边形和圆 解：∵图中是正五边形． ∴∠EAB＝108°． ∵太阳光线互相平行，∠ABG＝46°， ∴∠FAE＝180°﹣∠ABG﹣∠EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°． 故答案为：A． 分析：先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 9. C 考点：正多边形和圆 解：连接AC、GE、EC，如图所示： 则四边形ACEG为正方形， ∴∠EAG＝45°， 故答案为：C 分析：根据正八边形的性质可求出各内角以及判断出各边相等，从而可判断出四边形ACEG为正方形，故可求出∠EAG。 10. C 考点：多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺） 解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： + + =360，两边都除以180得：1﹣ +1﹣ +1﹣ =2，两边都除以2得： + + = . 故答案为：C. 分析：根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案. 二、填空题 11. 12 考点：多边形内角与外角 解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°， 故正六边形的内角为180°-60°=120°， 又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍， ∴正n边形的外角为30°， ∴正n边形的边数为：360°÷30°=12． 故答案为：12． 分析：先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解． 12. 4 考点：正多边形和圆 解：∵正六边形的中心角为：360°÷6=60 °， ∴ 正六边形的外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形， ∵边长为4的正六边形内接于⊙M ∴ ⊙M 半径为4. 故答案为：4. 分析：根据正六边形外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，由此即可求得答案. 13. 12 考点：正多边形和圆 解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°， ∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12． 故答案为：12． 分析：根据正多边形的性质，由已知正n边形的边长与半径的夹角为75°， 就可求出这个多边形的一个内角的度数为150°，再根据=150°，解方程求出n的值。 14. 36 考点：正多边形和圆 解：如图连接OC、OD， 根据正五边形的性质可得∠COD=360÷5=72°，则∠CAD= ∠COD=36°. 故填36. 分析：连接OC、OD，根据正多边形的性质和圆周角定理即可求解. 15. 48° 考点：正多边形和圆 解：连接OA， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB= =72°， ∵△AMN是正三角形， ∴∠AOM= =120°， ∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°， 故答案为48°． 分析：连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可． 16. 6 ﹣π 考点：正多边形和圆 解：如图 连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C， ∵正六边形， ∴∠AOB=∠ABO=60°， △AOB是等边三角形， ∴AB=OB=2，AC=BC=1 ∴ ∴6个月牙形的面积之和=3π-（22π-6× ×2× ）=6 -π， 故答案为：6 -π. 分析：连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于点C，利用正六边形的性质，易证△AOB是等边三角形，就可求出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理求出OC的长；然后根据6个月牙形的面积=半径为1的三个圆的面积-（半径为2的圆的面积-正六边形的面积），列式计算可求解。 三、解答题 17. 根据题意可知，三角形外角的度数的和为360°， ∴正多边形的内角和=360°×3=1080° ∴由正多边形的内角和公式，180°（n-2）=1080° ∴n=8 考点：多边形内角与外角 分析：根据多边形外角的性质计算得到多边形的内角和，根据多边形的内角和的计算公式计算得到正多边形的边即可。 18. （1）解：设AO的延长线与圆交于点D， 根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 即为所求． （2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45° ∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°， ∴OP的延长线与圆的交点即为点C 同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接， 如图②，正八边形 即为所求． 考点：正方形的性质，正多边形和圆，正多边形的性质 分析：（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点． 19. （1）；；；； （2）存在一个正 边形，使其中的 理由是：根据题意得： ，解得： ， 即当多边形是正九边形，能使其中的 ； （3）不存在，理由如下： 假设存在正 边形使得 ，得 ， 解得： ，与 是正整数矛盾， 所以不存在正 边形使得 . 考点：多边形内角与外角，正多边形和圆 解：(1)填表如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 …… n 的度数 …… ， ， ， ， ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来). 分析：（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= ，求出n的值是否为正整数即可. 20. （1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动， ∴劣弧BM=劣弧CN ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠APN=∠BPM， ∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。 （2）90° ；108° （3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。 考点：正多边形和圆 解析：（2）在图②中，∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴弧BM=弧CN， ∴∠BAM=∠CBN. 又∵∠APN=∠ABN+∠BAM， ∴∠APN=∠ABN+∠CBN，即∠APN=∠ABC。 ∵ABCD是正四边形， ∴∠ABC=90°， ∴∠APN=90°. 同理可得：在图③中，∠BPN=108°； 故答案为：90°，108° 分析：（1）根据△ABC为等边三角形，可知∠ABC=60°，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAM=∠CBN；再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数。 （2）根据（1）的方法可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠BPN的度数和∠ABC的度数相等。 （3）结合（1）（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $