3.5 圆内接四边形（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以圆内接四边形性质为核心，分层设计基础认知、技能应用、综合拓展三阶练习，通过选择、证明、解答题递进，强化几何直观与推理意识，适配新授课从概念到应用的巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一性质应用|选择题聚焦角度计算，直接考查对角互补等核心性质| |技能应用|性质与作图/证明结合|尺规作图题融合角平分线，证明题训练逻辑推理| |综合拓展|多知识点综合与分类讨论|解答题含直径计算、分类讨论及最值问题，提升综合应用能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.5圆内接四边形 已知圆内接四边形求角度 圆内接四边形与尺规作图 ①基础达标题 利用圆的内接四边形进行基础证明 求四边形外接圆的直径 圆内接四边形解答题综合 。圆内接四边形 圆内接四边形中需分情况讨论 ②能力提升题 圆内接四边形中最值问题 日拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：已知圆内接四边形求角度 1.(25-26九年级下浙江丽水开学考试)如图，AB是半圆的直径，∠ABC=50°，则∠ADC等于 () A.130° B.100° C.25° D.50° 2.(2026山西长治三模)如图，△ABC内接于⊙O,D是AC上一点，且OD⊥AC于点E.若 ∠ADE=50°，则∠B的度数为() 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.85° B.80° C.75° D.70° 3.(2026重庆三模)如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠BOD=120°，则∠C的度数是() D A.60° B.110° C.120° D.100 4.(2026江苏南京.二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=110°，则BD的度数为 () D 0 A.55° B.70 c.110° D.140° 5.(2026贵州黔东南·三模)如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数为 () A.55° B.60° C.65° D.70 6.(26-27九年级江苏暑假作业)如图，在⊙O中，AB‖CD,∠BCD=100°，E为⊙O上的任意一 点，A,B,C,D是⊙O上的四个点，则∠AEC的角度为() 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0 A.110° B.70° C.80° D.100 7.(2026江苏苏州三模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A,B,C,与CD相交于 点E,连接AE.若∠B=75°，则∠DAE的度数为() A E A.25 B.30° C.35 D.40° 题型二：圆内接四边形与尺规作图 1. (2026湖北黄石三模)如图，点A,B,C在⊙O上，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA, BC于M,N两点，再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交 ⊙O于点D,连接AD,CD.若∠ADC=104°，则∠ABD的度数为() A.36° B.38° C.40° D.42° 2.（2026:湖北三模)如图，AB是O0的弦，分别以点A,B为圆心，大于号AB的长为半径画弧，两弧 在⊙O的内部交于点C,外部交于点D,画射线DC交OO于E,连接AE,点F是劣弧AB上一点，连接 3/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AF,BF.若∠AED=35°，则∠AFB的度数是() B E A.110° B.120° c.140° D.160° 3.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图，点A,B,D在⊙O上，以点A为圆心，任意长为半径画弧分 别交AB,AD于点M,N,再分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧交于点P,作射线AP交 ⊙O于点C,连接BC,CD并延长CD至E,若AB=AC,且∠CAD=40°，则∠ADE=() B P D E A.70° B.65° C.60° D.55° 题型三：利用圆的内接四边形进行基础证明 1.(25-26九年级上浙江绍兴期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连结AC,BD,且DB=DC,延 长BA至点E.求证：AD平分∠EAC. E D B 2.(25-26九年级上·江苏南通·期中)已知：⊙O是平行四边形ABCD的外接圆.求证：四边形ABCD是 矩形. 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 B 3.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠ADE是四边形 ABCD的一个外角，且AD平分∠BDE.求证：AB=AC. 4.(25-26九年级上四川南充期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠AOD=150°，∠B=105°. 比较AC,AD的大小，并说明理由. D 5.(25-26九年级上四川南充期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AEBC与CD的延长线交于 E,∠BAC=∠DAE.求证：AC=CE. 6.(25-26九年级上·北京海淀期中)如图，△ABC中，CA=CB,以BC为直径的半圆与AB交于点D, 与AC交于点E. 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：点D为AB的中点： (2)求证：AD=DE. 题型四：求四边形外接圆的直径 1.(25-26九年级上四川泸州期末)如图，四边形ADBC的四个顶点均在⊙O上，AB=AC,若D是 AB的中点，且DE=2,AC=8,则⊙O的半径为() A D A.3 B.4 c.5 D.6 2.(25-26九年级上·新疆鸟鲁木齐-阶段检测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径，连接AC、 若2ADC=150,点0到AC的距离为2/3：则。0的半径长为() A.2 B.6 C.4 D.8 3.(25-26九年级上海南省直辖县级单位期末)正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是() A.2 B.4 c.V2 D.2V2 6/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·河北唐山阶段检测)已知关于x的一元二次方程x-5x+5=0的两个根分别是矩形 的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 5.(25-26九年级上浙江阶段检测)如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF,EF⊥FC, 并且AE=3,EF=4,FC=5,求正方形ABCD的外接圆半径. D 题型五：圆内接四边形解答题综合 1.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点G在边DC的延长线 上 G 0 (1)求证：∠BAD=∠GCB: (2)若∠DBA=80°，∠CDA=50°，求∠CAD的度数. 2.(25-26九年级上·吉林辽源阶段检测)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点 E、F. (1)若∠E=∠F,求证：∠ADC=∠ABC; (2)若∠E=∠F=40°，求∠A的度数， 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025宁夏中卫.二模)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至 点E,延长BA至点F,连结EF,使∠AFE=∠ADC E (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：EF‖BC: 4.(25-26九年级上·河南周口期末)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分 ∠ABC,∠BAC=∠ADB B D (1)求证：BD为圆的直径： (2)过点C作CF‖AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=3,求此圆半径的长. 5.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，在△ABC中，AB=AC,过点A,C的⊙O与BC,AB分别 交于点D,E,连接DE (1)求证DB=DE: (2)延长ED,AC相交于点P,若∠P=33°，则∠A的度数为_·. B 能力提升题 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型一：圆内接四边形中需分情况讨论 1.(2026辽宁抚顺模拟预测)在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，点C在⊙O上（不与点A, B重合)，则∠ACB的度数为() A.50° B.80° C.50°或130 D.40°或140 2.(2026河南周口.二模)已知△ABC内接于⊙O,⊙O的半径为2，BC的长为22，则∠A的度数为 () A.450 B.60° C.60°或120° D.45°或135° 3.(2026青海西宁.一模)⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，顶角∠A为40，D是⊙O上一点，则 ∠ADB的度数为 4.(2026黑龙江哈尔滨.一模)△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC,若∠BOC=100°，则 ∠BAC的度数为 5.(25-26九年级上辽宁沈阳周测)已知⊙O的半径为R,弦AB的长为R,则圆周角∠ACB等于· 6.(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨开学考试)在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点0为AB的中 点，将OA绕着点O旋转，得到线段OD(点D不与点C、点B重合)，连接BD、CD,则∠BDC为 度 题型二：圆内接四边形中最值问题 1. (2026湖北孝感.一模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠ABC=120°，点E、F分别是线段AB、 AD上的动点（不与端点重合），且AE=DF,连接DE、BF交于点G,则(1)∠BGD的度数为 (2)四边形BCDG面积的最大值为 D E B 2.(2026江苏无锡·模拟预测)在正方形ABCD中，M在AD边上，N在BM上，以MN为边作等边三角 形MNP,使点P落在CD边上，点S是NP的中点，则8的最小值为二 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级下浙江杭州阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=63,点P在矩形内 运动，且始终满足∠APB=150°，则DP的最小值为 4.(25-26九年级上江苏南京期末)如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC=6,过点D 作DE⊥AC于点E,DF⊥BC交边AB于点F,当过D,E,F三点的圆面积最小时，则CE= B D 5.(25-26九年级上湖北黄石阶段检测)如图，在一个边长为3的等边三角形ABC中，D,E分别为边 BC,AC上的两个动点，BD=CE,连接AD,BE交于点F,则 B D (1)∠AFB= (2)连接CF,CF的最小值为 拓展培优题 1.(2026山西阳泉三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AD,连接BD.若∠C=100°，则 ∠ABD的度数为() 10/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 4 0 D A.55o B.50° C.45° D.40 2.(2026福建福州模拟预测)小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量∠B的度数，他让点B落在 量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A,C.若点A,C对应的刻度分别为54°、 136°，则∠B的度数为() A」 soso 1o122 C 。5小 A.130° B.139° c.140° D.141° 3.（2026福建莆田·模拟预测)如图，A,B,C是⊙O上的点，且∠ABC=130°.现给出下列度数的圆 周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是() B A.50° B.40° C.100° D.130° 4.(2026湖北武汉二模)如图，⊙O过口ABCD的顶点A,D,C,且圆心O在BC边上，若 AB=BO=1,则⊙O的半径是() A B A. 5-1 5 V5+1 2 B. 2 C. D.5-1 2 11/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026安徽阜阳.二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA,OB,OC,AC,下列 不能判断四边形ABCO是菱形的是() A.点B是AC的中点，∠D=60° B.OA‖BC,AB‖OC C.∠AOB=∠D,∠OAC=∠BACD.∠AOB=∠D,点B是AC的中点 6.（25-26九年级下浙江杭州开学考试)如图所示，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A,C,D,与 BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=68°，则∠EAC的度数为 B 7.(2026黑龙江哈尔滨一模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O直径，点E为半径 OB上一点，连接CE并延长交⊙O于点F,连接BF,若∠F=25°，则∠ADC的度数为. D B 8.(2026陕西.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,DE是⊙O的直径，连接BE.若⊙O的半径为 2,∠BCD=135°，则BE的长为， D 9.(2026广东深圳.一模)如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若∠ACB=144°，则n= 12/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 10.(2026山东济南模拟预测)如图，AB为⊙O的直径，点C、点E在⊙O上，∠ABC=50°，射线 AE与射线BC交于点D.若点E为AD的中点，求∠EAC的度数. D 11.(2026安徽宿州.二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,CE⊥AD于E,AC平分∠BAD,延长 CE交⊙O于F,BF分别交AC,AD于G,H. H (1)求证：AB=AH: (2)若∠BCD=140°，求∠AHF的度数. 12.(2026江苏南京.二模)如图，在口ABCD中，过A,B,C三点的⊙O交AD于点E. (1)求证CE=CD: 2若点E为AC中点，AB=4:BC=6:求⊙O的半径. 13/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(2026安徽阜阳二模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,G为AD上一点，延长 AG,CD交于点F,连接CG和DG. D B (1)若BE=1,CD=6,求⊙O的半径： (2)求证：∠AGC=∠DGF. 14/14 3.5 圆内接四边形 题型一：已知圆内接四边形求角度 1．（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 2．（2026·山西长治·三模）如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 3．（2026·重庆·三模）如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 4．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 5．（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 6．（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 7．（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 题型二：圆内接四边形与尺规作图 1．（2026·湖北黄石·三模）如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得平分，由圆内接四边形的性质得，进而得出． 【详解】解：由作图可知，平分， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∴． 2．（2026·湖北·三模）如图，是的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，外部交于点D，画射线交于E，连接，点F是劣弧上一点，连接，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，构造圆内接四边形，可得对角互补，即可得出结果. 【详解】解：连接 ， ∵，垂直平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接，并延长至，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据作图得出平分，从而得出，根据圆周角定理得出，根据，求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据补角的性质得出． 【详解】解：连接，，，如图所示： 根据作图可知：平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，尺规作角平分线，补角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型三：利用圆的内接四边形进行基础证明 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得出，再根据，圆周角定理证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形内接于， ． 又， ． ， ， ， ， ，即平分． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知：是平行四边形的外接圆．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据是平行四边形的外接圆得到，则，根据矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：在平行四边形中， ， ∵是平行四边形的外接圆． ∴， ， 平行四边形是矩形． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键． 利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答． 【详解】证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质、圆周角定理及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键，先求出及，证明即可证明结论． 【详解】解：，理由如下： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·四川南充·期末）如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 【答案】 证明：∵是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴． ， ， ， ， 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的性质，等角对等边；根据圆内接四边形可得，进而可得根据可得，则，根据等角对等边，即可得证． 【详解】略 6．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连结，如图： 为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴点D为AB的中点． (2) 方法一：证明：∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 方法二：证明：连结，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质： （1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论； （2）方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论； 方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论； 熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 题型四：求四边形外接圆的直径 1．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根， ∴设矩形的长和宽分别为a、b，则， ∴矩形的对角线长， ∴这个矩形的外接圆的直径是， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 题型五：圆内接四边形解答题综合 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·吉林辽源·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查圆的内接四边形，三角形的内角和及外角定理，对顶角相等，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质． （1）根据对顶角与三角形的外角定理即可求解； （2）根据圆内接四边形得到，再根据三角形的内角和及外角定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ； （2）∵四边形是的内接四边形，， ∴， ． ，且， ∴, ， ∵， ． 3．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：； 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答． 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，求此圆半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)圆的半径长是6 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，即可得出是直径； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，过点A，C的与，分别交于点D，E，连接． (1)求证； (2)延长，相交于点P，若，则的度数为 °． 【答案】(1) 证明：， ， 又四边形为的内接四边形， ， ， , , ． (2)38 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟记圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，求出即可； （2）根据对顶角相等及三角形内角和定理得出，结合等腰三角形性质及邻补角定义得出，则，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）如图， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：38． 题型一：圆内接四边形中需分情况讨论 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）在中，弦所对的圆心角，点在上（不与点，重合），则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，当点在优弧上时， ∵， ∴； 如图，当点在劣弧上时，在优弧上取一点，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 综上所述，的度数为或． 2．（2026·河南周口·二模）已知内接于，的半径为2，的长为，则的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先连接，，推导得到圆心角的度数，再根据点A在优弧和劣弧上两种情况计算的度数即可． 【详解】解：连接， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， 分两种情况讨论： 当点在优弧上时，； 当点在劣弧上时，如图中的点， 根据圆内接四边形对角互补，此时； ∴的度数为或． 3．（2026·青海西宁·一模）是等腰三角形ABC的外接圆，顶角为是上一点，则的度数为_____． 【答案】70或110 【分析】本题需根据点在上的不同位置分类讨论，结合等腰三角形的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质求解． 【详解】是等腰三角形，顶角， ， 分两种情况讨论： 1. 当点在优弧上时，如下图： 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，与都对弧， ； 2. 当点在劣弧上时，如下图： 四边形是的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补， ． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）是的内接三角形，连接，若，则的度数为___． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当为锐角三角形时，利用圆周角定理求解；当为钝角三角形时，利用圆内接四边形的性质即可计算出结果． 【详解】解：当为锐角三角形时， ； 当为钝角三角形时，如图中， ； 综上，的度数为或． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·周测）已知的半径为，弦的长为，则圆周角等于_____． 【答案】或 【分析】如图，连接、，由题意得，即可得到为等边三角形，即，在弦所对的优弧上任取一点，劣弧上任取一点，根据圆周角定理即可得到，再根据圆的内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，即可求出的度数，再分点在优弧或劣弧上进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示：   ， 是等边三角形， ， ①在优弧上任取一点，连接，， 则， ②在劣弧上任取一点，连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， 当点在优弧上，则，当点在劣弧上时，． 6．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 【答案】60或120 【分析】先根据直角三角形性质得出，结合旋转性质得，判断B、C、D共圆，再分两种情况，利用圆周角定理及圆内接四边形性质即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 点O为的中点， ． 由旋转的性质可知， 因此，即点B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上． ①当点D在优弧上时， 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，与都是弧所对的圆周角， 故． ②当点D在劣弧上时， 根据圆内接四边形的对角互补，， 则． 综上，为60或120度． 题型二：圆内接四边形中最值问题 1．（2026·湖北孝感·一模）如图，在菱形中，，，点、分别是线段、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则（1）的度数为______________． （2）四边形面积的最大值为______________． 【答案】 /120度 【分析】由，得到四点共圆，过点作于点，过点作于点，连接，则，根据，得到当四点共线时，最大，此时为直径，，求出，最后根据计算即可． 【详解】解：连接， 四边形是菱形，， ，，， ，， 和都是等边三角形， ，， ∵，，， ∴， ， ∵， ∴； ∵， ∴四点共圆， 过点作于点，过点作于点，连接，则， ∴， ∴当四点共线时，最大， ∵是等边三角形，， ∴过四个点的圆的圆心在上， ∴当四点共线时，为直径， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）在正方形中，在边上，在上，以为边作等边三角形，使点落在边上．点是的中点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】设正方形的边长，连接，证明四点共圆，得出，根据含度角的直角三角形的性质以及垂线段最短，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长，如图，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴，，则， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴在射线上运动， ∴当时，最小， ∴ 因为，故的最小值为 3．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在矩形中，， ，点P在矩形内运动，且始终满足，则的最小值为____． 【答案】 【分析】如图：以过A、B、P作，在上取一点F，连接，即，根据圆的内接四边形的性质、圆周角定理可得是等边三角形，如图：连接交劣弧于点，连接，则，分析得到当点P与点重合时，最小，再求解即可． 【详解】解：如图：以过A、B、P作，在上取一点F，连接，即， ∴四边形是的内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 如图：连接交劣弧于点，连接，则， ∵， ∴，即， ∴当点P与点重合时，最小， 如图：过点O分别作交的延长线于点E，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即的最小值为． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则______． 【答案】 【分析】设为经过三点，设与交于点，连接，设， 则，进而得出，勾股定理求得，根据二次函数的性质，即可求解． 所对的弦是直径，二次函数的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在一个边长为3的等边三角形中，，分别为边，上的两个动点，，连接，交于点，则 （1）___________； （2）连接，的最小值为___________． 【答案】 120 【分析】（1）先证明，推出，再由三角形外角的性质得，，最后通过等量代换可得； （2）作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点H，连接，，连接交于N，连接，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，进而证明，再证，推出，设半径，则，解求出，根据，可得点F在线段上，即与点N重合时，有最小值． 【详解】解：（1） 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：120； （2）如图所示，作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点H，连接，，连接交于N，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设半径，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∴当点F在线段上，即与点N重合时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质等等，求出是解题的关键． 1．（2026·山西阳泉·三模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·福建福州·模拟预测）小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，A，B，C是上的点，且．现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作直径，连接、，在弧上取一点E，连接、，    ∵A、B、C是上的点，且， ， ∵四边形内接于， ， ， ∵为的直径， ， ， ∴仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有，，和． 4．（2026·湖北武汉·二模）如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，设的半径为，分别根据勾股定理求得，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设的半径为， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，即， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的半径是． 5．（2026·安徽阜阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 【答案】D 【分析】A选项由已知可证明和是等边三角形，则，即可得出结论；B选项先由两组对边平行得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；C选项可证明四边形的对角线互相垂直平分，即可得出结论；D选项两个条件得出的结论是一样的，不能证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故B选项不符合题意； C、∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形是菱形， 故D选项符合题意． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点为半径上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先理解题意，再连接，根据圆周角定理得，，故，然后运用圆内接四边形，对角互补进行列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 则， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即． 8．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质，圆周角定理，得到为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，的半径为2， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 9．（2026·广东深圳·一模）如图，是内接正边形的一条边，若，则_________． 【答案】 【分析】在优弧上取一点，连接、，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据正边形的中心角公式求出的值． 【详解】解：如图，在优弧上取一点，连接、、、．四边形是的内接四边形， ∴． ∵，． ∴． ∵是内接正边形的一条边， ∴． ∴． 解得． 10．（2026·山东济南·模拟预测）如图，为的直径，点C、点在上，，射线与射线交于点D．若点为的中点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形斜边中线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，利用直角三角形斜边中线的性质得到，利用圆内接四边形的性质得到，进而求出，结合三角形外角的定义得到，从而求出的度数． 【详解】解：为的直径， ， ， 在中，，E为中点， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 是的外角， ， 又， ， ， ， ． 11．（2026·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于，于E，平分，延长交于F，分别交，于G，H． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，证明，即可得到结论． （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据补角的定义即可得到答案． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ， 和是所对的圆周角，和是所对的圆周角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ． 12．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 13．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和． (1)若，，求的半径； (2)求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理构造方程求解即可； （2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：∵是的直径，弦于点E，， ∴， 如图：连接，设圆的半径为r，则， ∴，即，解得：， ∴的半径为5． （2）证明：如图：连接， ，是的直径， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $