2.6 正多边形与圆（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.6 正多边形与圆 题型一 与正多边形有关的角度计算 1．（2024·丹阳市·期中）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（　　） A．18° B．30° C．36° D．54° 【详解】解：如图，连接OC，OB， ∵五边形OABCD的正五边形， ∴AB＝BC＝CD， ∴， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC（180°﹣60°）＝60°， ∵点C作⊙O的切线EF， ∴∠OCF＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°． 故选：B． 2．（2025·高邮市·二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　） A．16° B．18° C．20° D．36° 【详解】解：如图，连接OA、OB，则OA＝OB， ∴∠OBA＝∠A， ∵AB是⊙O内接正十边形的一条边， ∴∠AOB360°＝36°， ∵∠OBA+∠A+∠AOB＝180°， ∴2∠OBA+36°＝180°， ∴∠OBA＝72°， ∵直线l经过点B且与⊙O相切， ∴l⊥OB， ∴∠OBC＝90°， ∴∠1＝90°﹣∠OBA＝18°． 故选：B． 3．（2025·江宁区·模拟）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（　　） A．16° B．17° C．18° D．19° 【详解】解：如图，连接AC，AD， ∴∠CAD＝2∠CGD，， ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴， ∵在等腰△ABC中，AB＝BC， ∴， 同理：∠EAD＝36°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°， ∴． 故选：C． 4．（2025·泰兴市·三模）如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则的度数为　　． 【详解】解：如图，连接OA、OE， ∵⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E， ∴∠OAH＝∠OEF＝90°， ∵六边形AHGFEO的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∠H＝∠G＝∠F＝（8﹣2）×180÷8＝135°， ∴∠AOE＝720°﹣90°×2﹣135°×3＝135°， ∴的度数为135°． 故答案为：135°． 题型二 根据正多边形的中心角的度数求边长 1．（2025·南京·模拟）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【详解】解：如图，连接OA，OB， ∵若∠ACB＝18°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝36°，即36°， ∴n＝10， 经检验，n＝10是原方程的解， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：D． 2．（2025·溧阳市·一模）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADC＝2∠DAC＝30°，该正多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，作该正多边形的外接圆，圆心为点O，连接OC、OD， ∵∠DAC∠DOC，且2∠DAC＝30°， ∴∠DOC＝2∠DAC＝30°， ∴30n＝360，解得：n＝12． 故选：D． 3．（2025·铜山区·一模）如图，若干个全等的正五边形围绕⊙O紧密排列一周．图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与⊙O的交点分别记作A1，A2，⋯An，顺次连接A1A2，A2A3，⋯A1An，所得图形是（　　） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 【详解】解：∵正五边形的每一个内角的度数为108°， ∴∠O＝360°﹣108°×3＝36°，即正多边形A1A2A3⋯An﹣1An的中心角为36°， ∴这个正多边形的边数为360°÷36°＝10， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：C． 4．（2025·如东县·月考）如果正n边形的一个中心角与其一个内角的度数之比为1：3，则n＝　　． 【详解】解：由题意可得：， 即3×360＝（n﹣2）•180，解得：n＝8． 故答案为：8． 题型三 与正多边形有关的线段长度计算 1．（2025·阜宁县·一模）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若BC＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．2 C． D． 【详解】解：如图，连接BD， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，BC＝4， ∴CD＝BC＝4，∠C＝90°， 在直角三角形BCD中，由勾股定理可得：， ∵∠C＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴⊙O的半径为． 故选：A． 2．（2025·淮安区·一模）如图，有一正八边形ABCDEFGH，分别连接AD，EH，BG，CF，其中BG交EH于点P，则PG：FG＝（　　） A．1：1 B．2：3 C． D． 【详解】解：∵多边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AHG＝∠HGF＝135°，HE⊥BC，HP⊥AH，BG⊥EH， 设正八边形ABCDEFGH的边长为a，则HG＝FG＝a， ∴∠PHG＝∠PGH＝45°， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·工业园区·月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（　　） A． B．3 C．6 D． 【详解】解：如图，连接OB、OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径OB＝OC3， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3． 故选：B． 4．（2024·睢宁县·期中）如图，正六角形螺帽的边长a为1cm，则扳手的开口b的长为（　　） A． B．2cm C． D．1cm 【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于点C， ∵正六边形的每一个内角为120°， ∴∠CAB＝30°， ∴BCABcm，ACBCcm， ∴b＝2AC（cm）． 故选：A． 题型四 与正多边形有关的面积计算 1．（2024·句容市·期中）如图，在一个边长为m的正六边形纸板中截去一个边长为m的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【详解】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OB、OA， ∴OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵正六边形的边长为m， ∴△AOB是边长为m的等边三角形， ∴， ∴余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为5：1． 故选：C． 2．（2024·泗阳县·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G， ∵等边三角形的边长是2， ∴高为， ∴等边三角形的面积为， ∵正六边形由6个等边三角形组成， ∴正六边形的面积为． 故选：C． 3．（2024·邗江区·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A．3 B．12 C．4π D．12π 【详解】解：如图，过A作AC⊥OB于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为30°， ∵OA＝2， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×1＝12． 故选：B． 4．（2025·浦口区·模拟）如图，⊙O是正八边形ABCDEFG的外接圆，则下列结论： ①AEDF； ②的度数为90°； ③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【详解】解：如图，连接OD，OF， ∵∠DOE＝∠EOF＝360°÷8＝45°， ∴∠DOF＝90°， ∴弧DF的度数为90°，故②正确； ∵∠DOF＝90°，OD＝OF， ∴2OD2＝DF2， ∴ODDF， ∵AE＝2OD， ∴AEDF，故①正确； ∵S四边形ODEFDF•OE， ∴S正八边形ABCDEFGH＝4S四边形ODEF＝2DF•OE， ∵OEAE， ∴S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF，故③正确． 故选：D． 题型一 正多边形与圆的有关计算综合——小题 1．（2024·建湖县·期中）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF、BF，若，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 【详解】解：如图，连接OH，过点H作HM⊥AF，垂足为M，过点G作GN⊥AF，垂足为N， 则MN＝HG， ∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O， ∴∠FOH90°， ∴∠HAM∠FOH＝45°， 同理可得：∠GFN＝45°， 设正八边形ABCDEFGH的边长为x，即AB＝AH＝FG＝x， 在Rt△AHM中，∠HAM＝45°， ∴AMAHx， 同理可得：FNx， ∴AF＝AM+MN+FN＝（1）x， 在△ABF中，∠AFB22.5°，∠ABF3＝67.5°， ∴∠BAF＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°， ∴S△ABFAB•AF，即x•（1）x＝4，解得：x2＝16﹣8， 在Rt△ABF中，BF2＝AB2+AF2＝x2+[（1）x]2＝32， ∴BF4， ∴⊙O的半径为2． 故选：C． 2．（2025·秦淮区·二模）如图，正六边形EFGHIJ的顶点E，F，H，I在正方形ABCD的边上，则正方形ABCD与正六边形EFGHIJ的边长的比值是　　． 【详解】解：如图，连接BD，由对称性可知：BD过点G、点J，过点F作FM⊥BD于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FBM＝45°， ∵六边形EFGHIJ是正六边形， ∴∠FGM＝60°， 设GM＝a，则FG＝2GM＝2a，FMa， ∴FBFMa， 在Rt△AEF中，∠AFE＝180°﹣45°﹣90°＝45°，EF＝FG＝2a， ∴AFEFa， ∴AB＝AF+FB＝（）a， ∴正方形ABCD与正六边形EFGHIJ的边长的比值是． 故答案为：． 3．（2025·涟水县·模拟）如图，在正五边形ABCDE中，点F在边CD上（不与端点重合），点G在边DE上，DG＝CF，连接AF、BG交于点H，则∠AHB＝　　°． 【详解】解：如图，连接AC，AD，BE， 在正五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，每个内角的度数为， ∴， ∴∠BEG＝∠AED﹣∠AEB＝108°﹣36°＝72°， 同理可得：∠BAC＝∠BCA＝36°，∠ACD＝72°， ∠EAD＝∠EDA＝30°，∠ADC＝72°， ∴AC＝AD，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°， ∴∠CAF+∠DAF＝∠CAD＝36°， ∵CD＝DE，CF＝DG， ∴CD﹣CF＝DE﹣DG，即FD＝GE， 又AD＝BE，∠ADF＝∠BEG， ∴△ADF≌△BEG（SAS）， ∴∠EBG＝∠DAF， ∴∠EBG+∠EBA+∠BCA+∠CAF＝∠EBA+∠BCA+（∠CAF+∠DAF）＝36°+36°+36°＝108°， ∵∠EBG+∠EBA＝∠HBA，∠CAB+∠CAF＝∠HAB， ∴∠HBA+∠HAB＝108°， ∴∠AHB＝180°﹣（∠HAB+∠HBA）＝72°． 故答案为：72． 题型二 正多边形与圆的有关计算综合——大题 1．（2024·东台市·月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM． （1）求证：BM＝CM； （2）连接OB、OM，求∠BOM的度数． 【详解】（1）证明：∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB＝DC， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴BM＝CM； （2）解：如图，连接OB、OM、OC， ∵∠BOC360°＝90°， ∴∠BOM+∠COM＝360°﹣∠BOC＝270°， ∵BM＝CM， ∴∠BOM＝∠COM， ∴2∠BOM＝270°， ∴∠BOM＝135°， ∴∠BOM的度数是135°． 2．（2024·广陵区·期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG． （1）相邻两个方位 间所夹的圆心角的度数为　　； （2）求AG的长； （3）求ME的长． 【详解】解：（1）由题意可知：八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为45°， 故答案为：45°； （2）∵AE为⊙O的直径， ∴∠AGE＝90°， ∵， ∴AG＝EG， ∴∠GAE＝∠AEG＝45°， ∴； （3）∵ME为⊙O的切线， ∴∠AEM＝90°， 由（2）知：∠GAE＝45°， ∴ME＝AE＝20． 3．（2024·丹阳市·期中）学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动： （1）如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小． （2）如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数． 【详解】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝∠B108°， 由题意可知：AM所在的直线是正五边形的对称轴， ∴∠BAM＝∠EAM∠BAE＝54°， 由翻折的性质可知：∠BAF＝∠B′AF∠BAM＝27°， ∴∠AFB＝180°﹣108°﹣27°＝45°； （2）由题意可知：所得到的正多边形的一个内角的度数为360°﹣108°﹣108°﹣24°＝120°， ∴这个正多边形的外角为180°﹣120°＝60°， ∴这个正多边形的边数为6，即这个正多边形是正六边形． 题型三 正多边形与圆有关的最值问题 1．（2025·新沂市·二模）如图，正方形ABCD与正六边形的边长相等，先将正方形ABCD与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形ABCD的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为　　． 【详解】解：边长为2的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动， 如图，点A的运动轨迹是图中弧线， 延长AE交弧线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离． 由勾股定理得：EH＝EA22， 由题意可得：正六边形的内角为120°， 在△AEF中，AF＝EF＝1，∠AFE＝120°， ∴AE＝2×AF×＝2， ∴AH＝AE+EH＝22， ∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离为22． 故答案为：22． 2．（2024·秦淮区·期末）如图，点O是边长为6的正六边形ABCDEF和边长为a的正方形MNPQ的中心，将正方形MNPQ绕点O旋转一周．若在旋转过程中，正方形MNPQ始终在正六边形ABCDEF的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则a的取值范围是　　． 【详解】解：如图，当正方形MNPQ的一个顶点Q在EF的中点时，正方形MNPQ的边长最大， 连接OE，OF，OQ，OP，则OQ⊥EF， ∵六边形ABCDEF是正六边形，中心为O， ∴∠EOF60°，OE＝OF， ∴△EOF是正三角形， ∴OE＝OF＝EF＝6，QE＝QF＝3， 在RtEOG中，EQ＝3，OE＝6， ∴OQ3， 在Rt△POQ中，PQOQ＝3， ∴正方形MNPQ的边长最大为3， ∴a的取值范围是0＜a＜3． 3．（2025·徐州·一模）如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　　． 【详解】解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K， ∵AF⊥BE， ∴∠AFB＝90°， ∵AK＝BK， ∴KF＝AK＝BK， ∵正方形ABCD的外接圆的半径为， ∴AB＝BC2， ∴KF＝AK＝KB＝1， ∵∠CBK＝90°， ∴CK， ∵CF≥CK﹣KF， ∴CF1， ∴CF的最小值为1． 故答案为：1． 1．（2024·梁溪区·期中）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，依题意列方程得　　； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【详解】解：任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x， 由题意可得：13（1+x）2＝15.6， 故答案为：13（1+x）2＝15.6； 任务2：设裁掉正方形的边长为m（cm）， 由题意可得：（75﹣2m）×（80﹣2m）＝3300， 解得：（不合题意，舍去）， 答：此时纸盒的高为10cm； 任务3：如图，设底面正六边形为ABCDEF，连接AC、FD、BE，AC和BE交于点G，FD和BE交于点H，BE所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为a（cm），纸盒的高为b（cm）， ∵正六边形的每条边相等，每个内角都为120°， ∴△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°， 由正六边形的性质可得：BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AGB＝90°， ∴直角三角形ABG中，， 同理可得：在直角三角形FHE中，， ∵， ∴， ∵左侧小三角形顶点B的角度＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°， ∴左侧小三角形为边长b的等边三角形， 根据图形的上下对称可得：MN与长方形纸板的左右两边垂直， ∴BM为等边三角形的高， ∴， 同理可得：， ∵四边形AGHF为矩形， ∴GH＝AF＝a， ∵MN＝MB+BG+GH+HE+EN＝80， ∴， 联立①②式可得b＝150﹣80， 答：纸盒的高为（150﹣80）cm． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 正多边形与圆 题型一 与正多边形有关的角度计算 1．（2024·丹阳市·期中）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（　　） A．18° B．30° C．36° D．54° 2．（2025·高邮市·二模）如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　） A．16° B．18° C．20° D．36° 3．（2025·江宁区·模拟）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（　　） A．16° B．17° C．18° D．19° 4．（2025·泰兴市·三模）如图，⊙O与正八边形ABCDEFGH相切于点A，E，则的度数为　　． 题型二 根据正多边形的中心角的度数求边长 1．（2025·南京·模拟）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝18°，则该正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2025·溧阳市·一模）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠ADC＝2∠DAC＝30°，该正多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（2025·铜山区·一模）如图，若干个全等的正五边形围绕⊙O紧密排列一周．图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与⊙O的交点分别记作A1，A2，⋯An，顺次连接A1A2，A2A3，⋯A1An，所得图形是（　　） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 4．（2025·如东县·月考）如果正n边形的一个中心角与其一个内角的度数之比为1：3，则n＝　　． 题型三 与正多边形有关的线段长度计算 1．（2025·阜宁县·一模）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若BC＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．2 C． D． 2．（2025·淮安区·一模）如图，有一正八边形ABCDEFGH，分别连接AD，EH，BG，CF，其中BG交EH于点P，则PG：FG＝（　　） A．1：1 B．2：3 C． D． 3．（2024·工业园区·月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是（　　） A． B．3 C．6 D． 4．（2024·睢宁县·期中）如图，正六角形螺帽的边长a为1cm，则扳手的开口b的长为（　　） A． B．2cm C． D．1cm 题型四 与正多边形有关的面积计算 1．（2024·句容市·期中）如图，在一个边长为m的正六边形纸板中截去一个边长为m的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（　　） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 2．（2024·泗阳县·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·邗江区·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A．3 B．12 C．4π D．12π 4．（2025·浦口区·模拟）如图，⊙O是正八边形ABCDEFG的外接圆，则下列结论： ①AEDF； ②的度数为90°； ③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型一 正多边形与圆的有关计算综合——小题 1．（2024·建湖县·期中）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF、BF，若，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C． D．2 2．（2025·秦淮区·二模）如图，正六边形EFGHIJ的顶点E，F，H，I在正方形ABCD的边上，则正方形ABCD与正六边形EFGHIJ的边长的比值是　　． 3．（2025·涟水县·模拟）如图，在正五边形ABCDE中，点F在边CD上（不与端点重合），点G在边DE上，DG＝CF，连接AF、BG交于点H，则∠AHB＝　　°． 题型二 正多边形与圆的有关计算综合——大题 1．（2024·东台市·月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM． （1）求证：BM＝CM； （2）连接OB、OM，求∠BOM的度数． 2．（2024·广陵区·期中）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作⊙O的切线与AG的延长线交于点M，连接EG． （1）相邻两个方位 间所夹的圆心角的度数为　　； （2）求AG的长； （3）求ME的长． 3．（2024·丹阳市·期中）学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动： （1）如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小． （2）如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数． 题型三 正多边形与圆有关的最值问题 1．（2025·新沂市·二模）如图，正方形ABCD与正六边形的边长相等，先将正方形ABCD与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形ABCD的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为　　． 2．（2024·秦淮区·期末）如图，点O是边长为6的正六边形ABCDEF和边长为a的正方形MNPQ的中心，将正方形MNPQ绕点O旋转一周．若在旋转过程中，正方形MNPQ始终在正六边形ABCDEF的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则a的取值范围是　　． 3．（2025·徐州·一模）如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　　． 1．（2024·梁溪区·期中）脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，依题意列方程得　　； 任务2：现有长80cm，宽75cm的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为3300cm2的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$