3.4.2 圆周角（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 练习围绕圆周角定理，分基础应用、作图推理、综合解答三层，题量配比合理，梯度衔接自然，助力新授课知识巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一圆周角定理应用（求角度、线段）|以中考真题和模拟题为主，基础题量占比大，强化运算能力| |作图推理|定理与尺规作图结合|无刻度直尺作图，培养几何直观与空间观念| |综合解答|多知识点综合应用|解答题融合推理与计算，发展逻辑思维与应用意识|

3.4.2 圆周角（第2课时） 题型一：利用圆周角的推理求角度 1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·江苏徐州·三模）如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·四川成都·三模）如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 5．（2026·福建三明·二模）如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图，是的直径，在圆周上，连接，将弦沿直径对折，落点记为，连接延长交圆于、交于，连，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，从而得到，再结合以及圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵将弦沿直径对折，点落点记为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二：利用圆周角的推理求线段 1．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形三线合一得到，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 即． ， ，． ∵， ∴， ， ． 2．（2026·山东菏泽·二模）如图，是的直径，是的弦．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：， 是的直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 3．（2026·四川达州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，点P是的中点，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D．3.5 【答案】A 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·周测）如图．等腰直角内接于是上一点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】在上截取 ，利用圆周角定理证明，构造全等三角形，进而得到 为等腰直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：在上截取 ，连接， 与 都是 所对的圆周角， ∴， ∵是等腰直角三角形 ， ∴,， 在 和 中 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ， ∵， ∴， 在 中，， ∴， ∴（负值已舍）． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，是上两点，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，根据圆的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，再由勾股定理可得的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26九年级上·天津津南·阶段检测）如图，是的直径，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ． ， ． ． ． 在中，． 故选：C． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，连接，，根据可得，推出，由可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，根据圆周角定理找到和的关系是解题关键． 根据在同圆中，圆周角相等所对的弧相等，由，所以，再根据圆周角定理的推论得到，然后利用勾股定理计算出直径，从而得到的半径． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， 在中，， 的半径为 故选：B． 题型三：利用圆周角定理比较角度大小 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，AC，BC是的弦，P是外任意一点，连接AP，BP，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 由三角形外角的性质可得，根据同弧所对的圆周角相等得到，由此得到答案． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（2026·贵州黔南·一模）如图，是的外接圆，是圆外一点，连接，，则__________．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】设交于点，连接，由圆周角定理可得． 【详解】解：如图，设交于点，连接， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：圆周角定理推理与尺规作图（作图） 1．（2026年甘肃省临夏回族自治州广河县）初中学业水平考试标准检测试卷（六）数学）如图，是的直径． (1)用尺规作图的方法作出垂直平分半径的弦； (2)连接，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)解：如图，线段就是所求作的弦； (2)是等边三角形，证明如下： 连接， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∵垂直平分半径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵和同对， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）连接，根据垂径定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，得出，然后利用圆周角定理得出，即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）略． 2．（25-26九年级下·吉林松原·期中）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，经过A、B、C三个格点，只用无刻度直尺，在给定的网格按要求画图． (1)在图①中的圆上找一格点D，使得； (2)在图②中的圆上找一点E，使得平分； (3)在图③中的圆上找一点F，使得四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等进行作图即可； （2）先找到线段的中点，然后连接该中点和点，并延长，进而问题可求解； （3）根据直径所对圆周角为直角可进行作图． 【详解】（1）解：所作的点D，使得，如图①所示： （2）解：所作的点E，使得平分，如图②所示； （3）解：所作的点F，使得四边形是矩形，如图③所示． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)图①中，画出的圆心O． (2)图②中，在边上找到一点D，使得平分； 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： (2)解：如图，点D即为所求： 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D． 【详解】（1）图略. 理由：∵为 ∴为直径， ∵ ∴点O为圆心； （2）图略． 理由：∵， ∴， ∴， ∴平分． 4．（2026·江苏淮安·一模）仅用无刻度直尺完成下列画图： (1)如图①，与网格线交于点A、B，在劣弧上画点E，使得； (2)如图②，与网格线交于点A、B，点C是上的一点，在劣弧上画点F，使得； (3)如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C，在劣弧上画点G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，得到，过作交于点，得到，结合圆的特点可知，进而得到，即可使得； （2）由（1）同理推出，即垂直平分，连接交于点，连接并延长交于点，由于得到，进而即可推出； （3）连接，结合格点特点得到垂直平分线，可知圆的直径在该垂直平分线上，由圆的对称性可知关于垂直平分线的对称点为，则四边形为等腰梯形，则，即可推出． 解题的关键在于熟练掌握圆周角定理，等腰三角形性质，以及垂径定理． 【详解】（1）解：所画点E如图所示： （2）解：所画点F如图所示： （3）解：所画点G如图所示： 6．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的圆上找一点，使得； (2)在图②中的圆上找一点，使得平分； (3)在图③中的圆上找一点，使得平分． 【答案】(1) 解：如图所示， ∴点即为所求点的位置（点在优弧上均可以）； (2) 解：如图所示， (3) 解：如图所示， 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等即可作图； （2）取格点N，连接，并延长，交圆于点，由勾股定理得到，且，结合三线合一即可求解； （3）取格点，连接交于点M，连接并延长，交圆于点F，由矩形的性质得到点M为线段中点，且点O为线段的中点，则线段在线段的垂直平分线上，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∴，即， 又∵，即是等腰三角形， ∴是等腰三角形的中线，则，即， ∴点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， ∴， ∵是直径， ∴， ∴即为所求图形． 6．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中找到格点D（不与点A重合），使，连接、； (2)在图2中的边上找到一点E，使得平分； (3)在图3中的上找到一点E（不与点C重合），使得． 【答案】(1) 如图，点D即为所求（不唯一）： (2) 如图，点E即为所求： (3) 如图，点E即为所求： 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角找点D即可； （2）利用格线找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点E； （3）利用相似或全等在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型五：圆周角定理推理与尺规作图（选填） 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）【改编题·作图题】如图，已知内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交于E、F点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，再得出，利用为直径，得出，求出，即可求． 【详解】解：由作图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵圆心在上，即为直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，且圆心在上，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交，于，两点，再以为圆心，长为半径作弧，交于另一点，连接并延长交于，连接，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，所以，又是的直径，则有，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，再通过角度和差即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·湖北荆门·一模）如图，为半圆O的直径，点C为上一点，连接，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D，交于点E，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，由作法得：平分，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，尺规作角平分线，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，由作图可得，平分，求出，然后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】∵内接于是的直径， ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∵ ∴． 故选：C． 5．（2024·山西大同·二模）如图，是的直径，C是上一点，连接，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长，交于点P，连接．若．则的度数为______． 【答案】26 【分析】首先由直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余得到，然后由角平分线的概念得到，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】∵是的直径， ∴ ∵ ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∴． 故答案为：26． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，角平分线的尺规作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型六：圆周角定理推理解答题综合 1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明： 是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（2026·河南周口·二模）如图，是的直径，点C在上，于点E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角进行证明即可； （2）求出，，在中利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴，， ∵于点E， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∴ 4．（2026·山东济宁·二模）如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）先证明，然后由三角形内角和定理得到，再由互余关系得到，即可证明； （2）先证明，继而得到是线段的中垂线，．设，即可由勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， 又， ∴， ∴是线段的中垂线， ∵， ∴， 又， 设， 由，得， 解得， ∴． 5．（2026·安徽芜湖·三模）如图，是的外接圆，平分交于点D，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，D到弦的距离为1，求半径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，结合圆周角定理可证，求出，进而可求出的度数； （2）连接，，交于点H，先证明，设圆的半径为R，则，，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，，交于点H， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设圆的半径为R， ∵， ∴， ∵D到弦的距离为1， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴半径的长为． 6．（2026·安徽合肥·三模）如图，是直径，弦于点，过点作的垂线，交的延长线于点，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 由圆周角定理，， ， ． (2) 【分析】（1）要证两条线段相等，转化为证明它们所对的角相等，即证；结合垂径定理、圆周角性质、直角三角形互余的角推导角度等量关系； （2）设圆半径为，利用垂径定理求出长度，设，在列勾股方程，再结合、等腰三角形三线合一得到，建立线段长度等式联立求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，设的半径为．则， ，， ，， ， 在中， ， ， 解得（舍），， 的半径为． 7．（2026·安徽·三模）如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)的半径为 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形的性质可得，，，由圆周角定理可得，则，因此； （2）结合（1）的结论可得，，，，使用勾股定理计算出，进而求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴的半径为． 题型一：根据圆周角的推理判断结论 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 2．（2026·北京石景山·二模）已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可对A选项进行判断；根据圆周角等于圆心角的一半，即可对C选项进行判断；过点O作的垂线，根据垂径定理的相关性质即可对B选项进行判断，根据全等三角形得到与相等的，结合反证法即可对D选项进行判断. 【详解】解：由作法可知， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图，过点O作交圆于，交弧于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 如解图，连接，在和中， ， ∴ ， ∴, ， 假设， 结合垂径定理同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 此时，与题干矛盾， 所以假设不成立，故D选项错误，符合题意． 【点睛】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理、全等三角形． 3．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）已知直线l及直线l外一点P．如图，在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，尺规作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理． 根据作图步骤得到，结合圆周角定理，再逐一验证各选项结论是否成立． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点， ∴，故A正确，不符合题意； ， ， ，故B正确，不符合题意； 连接， 为半圆的直径， ∴ ，故D正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故C错误，符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，等腰内接于，直径是圆上一动点，连接，，，且交于点．下列结论：①DC平分；②；③当时，四边形ADBC的周长最大；④当，四边形ADBC的面积为．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理和三角形外角的性质可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，可判断③正确；如图1，连接并延长交于，根据垂径定理可得，则，利用面积和可得四边形的面积，可知④不正确． 【详解】解： 等腰内接于圆，是的直径， ， ， ， 平分，故正确； 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故正确； ， 当最大时，四边形的周长最大， 当时，四边形的周长最大，故正确； 如图1，连接并延长交于， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积，故不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及面积的变换与求法，此题综合性比较强，难度比较大，在解题时充分利用以上相关知识解决问题是关键． 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵点是的外心，， ∴． 2．（21-22九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，再由翻折的性质确定，，，得出，，确定，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 经过圆心， ， 由翻折得，，，， ， ∵， ∴， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质得，． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·山东德州·二模）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由量角器读出和的度数，计算出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， ． 5．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到点F在以为直径的半圆上运动，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为，则当点F与点重合时，线段最小，最小值为，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， 如图，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为， ∴当点F与点重合时，线段最小，最小值为， 在中，，， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值大于，故A选项符合题意． 6．（2026·宁夏石嘴山·一模）如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 7．（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 8．（2026·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B，C在网格线上，的外接圆交网格线于点D，且D为网格线中点，的外接圆圆心为O． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）上有一点P，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________． 【答案】 取格点，，连接，交于点，，连接交于点，连接并延长交于点，延长交网格线于点，连接交于点，点即为所求． 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算的长即可； （Ⅱ）根据垂径定理及圆的对称性，作点A关于圆心O的对称点H，则为直径，再作点D关于的对称点P，则，利用网格特性找到点H和点P即可． 【详解】解：∵每个小正方形边长为1，D为网格线中点， ∴由勾股定理： （Ⅱ）如图，取格点E，F，连接交于点M，N，连接交于点O，连接并延长交于点H，延长交网格线于点Q，连接交于点P，点P即为所求． 9．（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又 四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，则可得出四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）根据得出B、C、E在以A为圆心，为半径的圆上，则，根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：， B、C、E在以A为圆心，为半径的圆上， ， 又， 在中， 四边形是菱形， 四边形的面积． 10．（2026·安徽安庆·三模）如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 11．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示，是半圆O的直径，垂直于点D，，与交于点E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是半圆O的直径， ， ． 又， ， ， ， (2) ， ． 由（1）得， ， ∴． 【分析】（1）根据题意得，．，，再由各角之间的等量代换即可证明； （2）利用圆周角定理得，再由等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.4.2圆周角（第2课时) 利用圆周角的推理求角度 利用圆周角的推理求线段 利用圆周角定理比较角度大小 ①基础达标题 圆周角定理推理与尺规作图（作图） 圆周角定理推理与尺规作图（选填） 圆周角定理推理解答题综合 。圆周角 ②能力提升题 根据圆周角的推理判断结论 3拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：利用圆周角的推理求角度 1.(2026甘肃天水.中考真题)如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P.若 ∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=() B A.95° B.100° c.105 D.110° 2.(2026江苏徐州三模)如图，在⊙O中，弦AB,CD交于点E,连接AD,BC.若∠A=50°， ∠AED=100°，则∠B=() 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.40° c.50° D.60 3.(2026四川泸州.中考真题)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,AD,BD,BC, 若∠ACD=40°，∠AEC=65°，则∠CBD=() D 0 A.45° B.55° C.60° D.65° 4.(2026四川成都三模)如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，若∠C=25°，则∠ABD的度 数为() B A.25 B.50° C.65° D.75° 5.(2026福建三明.二模)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上异于A、B的两点，且BC=BD,若 ∠ACD-号∠BOD,则∠A的度数为() D 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.22.5° B.25 C.30° D.45° 6.(2026甘肃平凉模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，C在圆周上，连接AC,将弦AC沿直径AB对 折，落点记为D,连接CO延长交圆于E、交AD于F,连DE,若DE=DF,则∠ACO的度数为() A D B A.28° B.32° C.36° D.40° 题型二：利用圆周角的推理求线段 1.(2026河南商丘一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC>90°，以边AB为直径作⊙O, ⊙O交边BC于点D,延长CA交⊙O于点E,连接DE.若BC=6,则DE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.(2026山东菏泽.二模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦.若∠DCB=45°，AB=2,则 AD的长为() D B A.1 B.2 c.V2 D.2V2 3.(2026四川达州模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径，点P是AB的中点，连接 AP,若∠BAP=30°，BC=8,则AC的长为() 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 P A.4 B.3 c.3V3 D.3.5 4.(25-26九年级上辽宁沈阳周测)如图.等腰直角△ABC内接于⊙O,∠BAC=90°，D是AB上一点， 连接DA、DB、DC,若BD=2,CD=4,则AD的长为() D B O A.2 B.3 c昌 D.2 5.(25-26九年级上，安徽合肥期末)如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上两点，若 ∠BCD=30°，AB=4,则AD的长为() O A.1 B.2 c.3 D.23 6.(25-26九年级上，天津津南阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，若AC=2,∠D=60°，则BC的长 为() B A.4 B.2V2 c.23 D.3V3 7.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，半径为2的⊙O的弦AD=BC,且AD⊥BC于点E,连接 4/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB、AC,则AB的长为() D A.2V2 B.23 C.2 D.2 8.(25-26九年级上浙江温州期中)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB,AD=4,AC=8, 则⊙O的半径为() B A.2 B.25 C.4 D.4V5 题型三：利用圆周角定理比较角度大小 1.(2025九年级全国专题练习)如图，AC,BC是⊙O的弦，P是⊙O外任意一点，连接AP,BP,则 P ∠C(填“>”“<”或“=”)， 0 B 2.(2026贵州黔南一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是圆外一点，连接BD,CD,则∠BAC -∠BDC:(用“”，“<”或“=”填空) 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型四：圆周角定理推理与尺规作图（作图） 1.（2026年甘肃省临夏回族自治州广河县)初中学业水平考试标准检测试卷（六）数学)如图，AB是 ⊙O的直径. B (1)用尺规作图的方法作出垂直平分半径OA的弦CD； (2)连接BC，BD,试判断△BCD的形状，并证明你的结论。 2.（25-26九年级下·吉林松原期中)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点，⊙O经过A、B、C三个格点，只用无刻度直尺，在给定的网格按要求画图 图① 图② 图③ (1)在图①中的圆上找一格点D,使得∠ADC=∠ABC: (2)在图②中的圆上找一点E,使得OE平分BC: (3)在图③中的圆上找一点F,使得四边形AFBC是矩形. 3.(2026吉林长春模拟预测)由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点.△ABC的 顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法， 保留作图痕迹) 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)图①中，画出⊙O的圆心0 (2)图②中，在BC边上找到一点D,使得AD平分∠BAC: 4.(2026江苏准安一模)仅用无刻度直尺完成下列画图： B 图① 图② 图③ (1)如图①，⊙O与网格线交于点A、B,在劣弧AB上画点E,使得AE=BE: (2)如图②，⊙O与网格线交于点A、B,点C是⊙O上的一点，在劣弧AC上画点F,使得AF=BC: (3)如图③，经过格点A、B的圆与网格线交于点C,在劣弧BC上画点G,使得AG=BC 6.(2026吉林长春模拟预测)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点. ⊙O经过A,B,C三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图。 B B B 图① 图② 图③ (1)在图①中的圆上找一点D,使得∠ADC=∠ABC: (2)在图②中的圆上找一点E,使得OE平分AC: (3)在图③中的圆上找一点F,使得CF平分∠ACB 6.(2026九年级下.吉林长春.专题练习)如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做 格点.△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作 图（不写作法，保留作图痕迹）· 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (1)在图1中找到格点D(不与点A重合)，使∠BDC=∠BAC,连接BD、CD: (2)在图2中的BC边上找到一点E,使得AE平分∠BAC: 3)在图3中的⊙O上找到一点E(不与点C重合)，使得AE=AC. 题型五：圆周角定理推理与尺规作图（选填） 1.(2026湖北省直辖县级单位模拟预测)【改编题作图题】如图，已知△ABC内接于⊙O,且圆心O 在AC上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交AB、AC于E、F点，再以F为圆心，FE长为半径 作弧，交⊙A于另一点G,连接AG并延长交⊙O于D,连接BD,若∠CBD=50°，则∠D的度数为 () A.50° B.40° C.30° D.20° 2.(2026湖北襄阳一模)如图，内接于⊙O,且圆心O在AC上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分 别交AB,AC于E,F两点，再以F为圆心，EF长为半径作弧，交⊙A于另一点G,连接AG并延长交 ⊙O于D,连接BD,若∠D=35°，则∠CBD的度数为() B A.35° B.45° C.55° D.65° 8/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026湖北荆门一模)如图，AB为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC,BC,按以下步骤 操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交AB于点M,交BC于点N:②分别以点M,N为圆心， 大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P,③作射线BP交⊙O于点D,交AC于点B,若 ∠CAB=34°，则∠ACD的度数是() E M A.34° B.17o C.56° D.28° 4.(2025黑龙江哈尔滨三模)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，以点C为圆心，任意长为 半径画弧分别交AC、BC于点F、点G,再分别以点F、点G为圆心，大于FG长为半径画弧，两弧在圆 的内部相交于点D,射线CD交⊙O于点E,连接AE,则∠BAE的度数为() E A.30° B.36 C.45° D.50° 5.(2024山西大同二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC,BC,以点A为圆心， 任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点D,B,分别以点D,E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两 弧交于点F,连接AF并延长，交⊙O于点P,连接CP.若∠ABC=38°.则∠BCP的度数为°. B D 9/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六：圆周角定理推理解答题综合 1.(25-26九年级上·辽宁盘锦期中)如图，在⊙O中，C是弧AB的中点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB 于点E. (1)求证：CD=CE: (2)若D、E分别是OA、OB的中点，连接AC、BC,判断四边形ACBO的形状，并说明理由. 2.(2025黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在OO中，直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°， ∠APD=66° ◇ D (1)求∠B的大小： (2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长， 3.(2026河南周口二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点E,交⊙O于点 D,连接CD、AD B (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)若AB=10,AC=8,求CD的长， 10/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026山东济宁.二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在 BD的延长线上，且DF=DC,连接AF、CF D (1)求证：∠BAC=2∠DAC: (2)若AF=10,BC=4V5,求线段AE的长 5.(2026·安徽芜湖三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交⊙O于点D,CE平分 ∠ACB交AD于点E. D (1)若∠DCE=70°，求∠ABC的度数： (2)若DE=3,D到弦BC的距离为1，求⊙O半径的长. 6.(2026安徽合肥.三模)如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E,过点C作DB的垂线，交AB的延 长线于点G,垂足为点F,连接AC, B (1)求证：AC=CG: (2)若OG=9,CD=8V3,求⊙O的半径， 7.(2026安徽三模)如图，在△ABC中，AC=BC,以AC为直径作⊙O交AB于点D,延长BC交 ⊙O于点E,连接DE 11/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：DE=AD: (2)已知DE=8,AD-CD=2,求⊙O的半径. B 能力提升题 题型一：根据圆周角的推理判断结论 1.(2026吉林长春模拟预测)如图，已知锐角∠AOB,按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C,以 点O为圆心，OC长为半径作PQ,交射线OB于点D,连接CD:②分别以点C,D为圆心，CD长为半径 作弧，交PQ于点M,N;③连MN,OM.则下列结论错误的是() P、M Q A.∠COM=ㄥCOD B.若OM=MN,则∠AOB=30 c.MN‖CD D.MN<3CD 2.(2026北京石景山二模)已知锐角∠AOB.如图， (1)在射线0A上取一点C,以点0为圆心，OC长为半径作N 年MN'交射线OB于点D,连接CD: C2)分别以点CD为圆心，CD长为半径作弧，交MN于点P:Q连接CP: (3)连接OP,PQ,分别交OD,OC于点E,F. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是() 12/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M -B N A.∠COD=∠COP B.PQ‖CD C∠CPQ=3<PoD D.PQ=3EF 3.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔.专题练习)已知直线1及直线1外一点P.如图，在直线1上取一点O, 以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线I于A,B两点：连接PA,以点B为圆心，AP长为半径画弧， 交半圆于点Q;作直线PQ,连接BP.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是() A.AP=BQ B.PQ AB C.∠ABP=∠PBQ D.∠BQP=90°+∠ABP 4.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O,直径AB=22,D是圆上 一动点，连接AD,CD,BD,且CD交AB于点G.下列结论：①DC平分∠ADB;② ∠DAC=∠AGC;③当DB=2时，四边形ADBC的周长最大；④当AD=CD,四边形ADBC的面积为 8V3.其中正确的是() A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④ 13/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(25-26九年级上，云南昭通期末)如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连接B0,C0,则 ∠BOC的度数是() A.70° B.80° C.90° D.100° 2.(21-22九年级下.浙江丽水开学考试)如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转 至△EDC,使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则 ∠DCE的度数是() A E D to A.24° B.27° C.30° D.33 3.(2026湖南衡阳·模拟预测)如图，BC为直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为() 0 B D A.35 B.45 C.55° D.65° 4.(2026山东德州·二模)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧 分别交于点A,B,C,D,连接BD,则∠BDA的度数为() 14/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 0900 120 50 014 A.120 B.13° c.12.5° D.14o 5.(2026安徽芜湖三模)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=6,AD=4, AD<BC,点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，且∠ADF=∠BAE,则线段BF的长不可能为 () E A.2V3 B.2V5 C.5 D.6 6.（2026宁夏石嘴山一模)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D,E分别在边 AC,AB上，若DA=EB,则∠DOE的度数是度. D 7.(2026江苏南通二模)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲 为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，⊙O的直径为25寸，矩形ABCD内接于 ⊙O,若AB=7寸，则BC=寸. D B 8.（2026天津.二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B,C在网格线上， 15/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ABC的外接圆交网格线于点D,且D为网格线中点，△ABC的外接圆圆心为O. (I)AD的长为 (Ⅱ)⊙O上有一点P,连接DP,满足DP=AD,请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P, 并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 9.(25-26九年级上，云南昭通·期末)如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，且 AE=AB=AC=3,连接DE、CE. E A D (1)求证：四边形ACDE为菱形. (2)若AD=3,求四边形ACDE的面积. 10.(2026安徽安庆三模)如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上的两点，OCBD,OC交AD于点 E. D B (1)求证：∠AOC=∠COD: (2)若AD=16,CE=4,求⊙O的半径 11.(25-26九年级上山东烟台阶段检测)如图所示，BC是半圆O的直径，AD垂直BC于点D, BA=AF,BF与AD交于点E. 16/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求证：∠BAD=∠ACB: (2)求证：AE=BE. 17/17