3.4.1 圆周角（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦圆周角第1课时，分层设计从概念识别到综合应用，梯度清晰，助力知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|圆周角概念识别与辨析|通过图形辨析题（如题型一）巩固抽象概念，结合反例选项强化理解| |技能应用|圆周角定理计算与证明|中考真题情境（如题型三）训练角度计算，基础证明题（如题型四）培养推理意识| |综合拓展|直径性质综合与最值探究|隐圆问题（如题型八）提升几何直观，综合解答题（如题型七）深化知识联系|

3.4.1 圆周角（第1课时） 题型一：正确的识别圆周角 1．（25-26九年级下·河北张家口·开学考试）判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）图中是圆周角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型二：圆周角概念辨析 1．（25-26九年级上·河北·期末）下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北·期末）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列叙述正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质，圆周角定理的推论，解答关键是熟练掌握相关性质或定理． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意； C、相等的弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个命题中不正确的是（    ） A．直径是弦 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等 C．顶点在圆周上的角是圆周角 D．半径相等的两个半圆是等弧 【答案】C 【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确； C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误； D、半径相等的两个半圆是等弧，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识． 题型三：利用圆周角定理求角度 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 5．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，，是上一点，则______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可． 【详解】∵， ∴优弧所对应的圆心角为， 根据圆周角定理得： ∴优弧所对应的圆周角为 ． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 7．（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 题型四：利用圆周角定理进行证明 1．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， ， ， ． (2)的半径为 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合几何已知条件可证明，再根据圆周角定理证明即可； （2）设与相交于点E，根据三角形中位线定理可求得，再设的半径为r，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设与相交于点E， 由（1）知， ，， ， ， 设的半径为r，则， ， 在中，， 在中，， ， ， 解得，（负值舍去）， 的半径为． 2．（2026·安徽淮南·三模）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：， ， ， ，是半径， ， ∴为的中点； (2)半径为5 【分析】（1）由得到，进而有，根据垂径定理得到，因此，即可得证； （2）连接．设的半径为r，即，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理在Rt中构造方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 设的半径为r，即， ， ， 在Rt中，， ，解得， 的半径为5． 题型五：根据直径所对圆周角为90°求角度 1．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 2．（2026·重庆·二模）如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 【详解】解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 3．（2026·福建福州·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的直径得出，根据直角三角形两锐角互余得出，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径，点，在上， ∴， ∵， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 4．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 5．（2026·山西吕梁·二模）如图，是的直径，内接于，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用圆周角定理得出，利用直径所对圆周角等于90度得出直角，最后利用直角三角形的两锐角互余求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 6．（2026·江苏无锡·二模）如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后利用直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ． 7．（2026·福建南平·二模）如图，的内接四边形的对角线经过圆心O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为的直径，得出，根据已知可得，进而根据 同弧所对的圆周角相等，即可求解。 【详解】∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵与所对的弧均为， ∴． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，D是半圆上任意一点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角等于，得到，进而得到，再根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， 是半圆O的直径， ， ， ， ， ． 9．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B，C在上，，连接并延长，交于点， 连接，若，则的大小为 ______． 【答案】/58度 【分析】由平行线的性质得，利用圆心角等于同弧所对圆周角的2倍，求出，由圆周角定理得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，为的直径，点，，是上的三点．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴ ∵ ∴ 题型六：根据直径所对圆周角为90°证明 1．（2026·安徽芜湖·三模）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D恰落在上，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由旋转可得，即可得的度数，且可得，再由直径所对的圆周角为，可得，由此可得的度数，再求出的度数，由此可证． （2）设，根据，得出，则，即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 将弦绕点顺时针旋转得到， ，且， ，． 是的直径， ． ， ． ， 即． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 2．（2026·广西柳州·二模）如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，过点，的与，分别相交于，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧、弦和圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握弧、弦和圆心角的关系是解答的关键． 连接，，，，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到，则，进而可得，根据等弧对等弦可求解． 【详解】证明：∵， ∴，即， 连接，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，． (1)求证：； (2)若的半径为5，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，连接并延长，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为，等边对等角，解决本题的关键是作辅助线构造直角． 连接，由旋转可得，即可得的度数，且可得，再由直径所对的圆周角为，可得，由此可得的度数，由此可得的度数，由此可证． 【详解】证明：连接，如图， ∵将弦绕点顺时针旋转得到， ∴，且， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 6．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． (2) 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键； （1）由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，由垂径定理即可证明； （2）由三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， 所以点是的中点， 因为点是的中点， 所以是的中位线， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 7．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理平行线判定定理． 连接，根据是的直径，可得，再由D是弧的中点，可得，即可求． 【详解】证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵D是弧的中点，为半径， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若 ，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，熟记定理内容是解题关键． （1）由题意得；根据，推出，结合垂径定理即可求证； （2）设半径为，则，,根据，即可求解； 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴； ∵， ∴，即， ∴E为的中点； （2）解：设半径为，则，, ∵ ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为； 9．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)． 【分析】（1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【详解】（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 10．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，掌握圆周角定理是解题的关键． 由同圆或等圆中相等的弦所对的弧相等，可得，再证明，问题得证． 【详解】证明：是的直径，， ． ， ． ， ， ， ． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1) 证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 题型七：圆周角定理解答题综合 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)求的度数； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴．          ∵， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴．           ∵， ∴．           ∴．         ∴． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，是的一条弦，，连接、、． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等得，由直径所对圆周角为得，通过三角形内角和可求出的度数； （2）连接，则半径，由圆周角定理得，则是等边三角形，，从而可得的半径． 本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即的半径为4． 3．（2026·山东济南·一模）如图，是的直径，、两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由是的直径，得到，由，再利用直角三角形的性质即可求出的度数； （2）连接，根据圆周角定理得到，结合，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为5． 4．（25-26九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型一：直径所对的圆周角为90°最值（隐圆） 1．（2026·山东聊城·二模）如图，点是内一动点，且，，，连接，分别取、的中点、，连接，若，则线段长度的最小值________． 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】解：连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 2．（2026·贵州遵义·二模）如图，正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，于点G，交于点F，连接．当取得最小值时，的长度为_________． 【答案】 【分析】根据得是不会随着点的运动改变的，所以点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，因此当O、G、C在同一条直线上时，即可求出的最小值，进而证明，即可求解． 【详解】解： 如图，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∴G点的轨迹是以中点O为圆心，为半径的圆弧，记与圆弧的交点为， ∴当O、G、C在同一条直线上时，取最小值（图中的）， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 如图所示，连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即当取得最小值时，的长度为． 3．（25-26九年级下·四川资阳·学业考试模拟）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，全等三角形的判定和性质，能够找到动点的轨迹是解题的关键． 根据题意可证得，则，从而可以确定在以的直径的圆上运动，取的中点，连接，则当 共线时，的值最小，据此可求得，进一步即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在以的直径的圆上运动， 如图，以的直径画，连接，与圆交于点，延长交于，连接并延长，交于点， 当共线时，长度最小，此时即为所求， ，， ∴， 又∵的半径为3， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，矩形中，，，点P为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为________． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质可得，结合已知条件推出，从而确定点在以为直径的圆上，连接交圆于点，此时最小，利用勾股定理求出的长，进而求解即可． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上， 如图，设的中点为，连接， 则， 在中，由勾股定理得， ， ， 当，，三点共线时，最小， 的最小值为． 1．（2026·云南·中考真题）如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 2．（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】连接，证明是边的中线，结合解答即可． 【详解】解：连接， ， ， ，， ∴是边的中线， ． 3．（2026·江苏连云港·二模）如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，作于，于，利用圆周角定理和角平分线性质证明，进而证得，求出和的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，作于，于， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，． 4．（2026·湖北恩施·二模）如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线交于B，C两点，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合半径相等证明为等边三角形，求出的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图可知直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 为等边三角形， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， . 5．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（     ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由垂径定理推出，由圆周角定理推出，，得到，即可证明． 【详解】解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即选项D正确； 若平分，则，由已知条件无法证明，故选项A错误； 根据垂径定理可得，不能证明，故选项B错误； 由已知条件无法证明，故选项C错误； 6．（2026·广西南宁·二模）如图，的直径，为中点，点在上，，点是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先作点关于的对称点，连接，连接交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，连接交于点，此时有最小值，最小值为的长，如图所示： ∴， ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 7．（2026·湖南怀化·三模）如图，已知是的直径，，则的度数是______． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理可得，，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵是的直径， ∴， 则． 8．（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 9．（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______ 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为2， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴． 10．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】(1)如图，图中点即为所求的圆心， ， (2)如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形，即可得，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到． 【详解】（1）解：根据作图可知，，，是的直径， ∴在中，， 故答案为：； （2）略． 11．（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2026·安徽六安·模拟预测）如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $