3.2.1 圆心角（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本练习通过“基础识别—概念辨析—技能应用—综合拓展—培优提升”五级分层设计，构建圆心角从直观认知到逻辑推理的完整巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础识别|圆心角图形特征|5道选择题聚焦顶点与圆心位置关系，强化几何直观| |概念辨析|圆心角与弧、弦关系|4道辨析题整合易错点（如等弧定义），培养推理意识| |技能应用|圆弧度数计算|7道计算题结合三角形、圆的性质，提升空间观念| |综合拓展|弧与弦相等证明|8道证明题融合直径、中点等条件，发展逻辑推理能力| |培优提升|动态与综合问题|15道综合题含折叠、运动情境，激发创新意识|

命学科网·上好课 3.2.1 。圆心角 题型一：圆心角的简单识别 1.图中∠AOB是圆心角的是() 2.下列图形中的角是圆心角的是( www.zxxk.com 上好每一堂课 圆心角（第1课时) 圆心角的简单识别 圆心角有关概念辨析 求圆弧的度数 ①基础达标题 利用圆心角相等求证弧相等 由圆心角相等证明弦相等 圆心角中解答题综合 ②能力提升题 圆心角综合培优 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 0 3.(2526九年级上贵州贵阳期末)如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是() 2y0 A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 4.下列图形中的角是圆心角的是() A B A B A B B D 5.下图中的∠ACB是圆心角的是() B. 2/15 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二：圆心角有关概念辨析 1.（24-25九年级上·江苏盐城期中)下列说法中，正确的是() A.在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B.优弧一定比劣弧长； C.弧长相等的弧则所对的圆心角相等：D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等. 2.(25-26九年级上·江苏宿迁期中)下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等： ④长度相等的弧称为等弧· 正确的个数共有() A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列说法正确的是() A.圆的周长都相等 B.圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C.顶点在圆上的角叫做圆心角 D.由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 4.（2526九年级上江苏苏州期中)下列说法中，不正确的是() A.圆心角的角度与它所对的弧的度数相等B.同圆中，所有半径都相等 C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形D.长度相同的弧是等弧 题型三：求圆弧的度数 1.(2026江苏南京一模)如图，在扇形OAB中，点C在AB上，连接OC,AC,BC,∠ACB=132°. 若∠BOC=2∠AOC,则AC的度数为() C A.16° B.24° C.32° D.36° 3/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上·天津武清期中)如图，OC是⊙O的半径，D是OC的中点，弦AB过点D,且 AB⊥OC,垂足为D,那么ACB的度数为() P○ B A.30 B.60° C.120° D.150° 3.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，以点C为圆心， BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E,则弧BD的度数为() B A.28° B.60° c.55° D.40° 4.(25-26九年级上·江苏南京，期中)如图，⊙O经过五边形0ABCD的四个顶点，若∠AOD=150°， ∠A=65°，∠D=60°，则BC的度数为() A.45° B.40° C.35° D.30° 5.（2024广东茂名一模)如图，己知AB为⊙O的直径，点C为圆上的一点，且AC所对的圆心角度数 是BC所对的圆心角度数的 则BC所对的圆心角度数为() B O 4/15 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.100° B.120° C.135 D.150° 6.(2425九年级上山东淄博·期末)如图，己知AB,CD是⊙O的两条直径，弦CE‖AB, ∠B0D=112°，则CE的度数为() D B A.38° B.44o C.48° D.54° 7.(24-25九年级上·江苏徐州期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的 圆交AB于点D,交AC于点E,则BD的度数为() B A.50° B.40° C.55 D.60° 题型四：利用圆心角相等求证弧相等 1. (25-26九年级上湖北荆州，期末)如图，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,若OD=OE,求证： AC=BC. D 2.如图，AB是⊙O的直径，点C,D是⊙O上的点，△AOC是等边三角形，D是BC的中点.求证： AC=CD 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.如图，弦AC,BD在⊙O上，分别连接OA,OB,OC,OD,∠AOB=∠COD,AC与OB交于点 E,⊙O半径为6，求证：AC=BD 4.(25-26九年级上江苏连云港·期中)如图，己知AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，AC‖OD D (1)求证：BD=CD: (2)若AC的度数为58°，求∠AOD的度数. 6.如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB,ED⊥AB,点E、F都在 ⊙O上， 求证： D (1)CF=DE' (2AF=EF=BE 6/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)AE=2CF' 7.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作圆，交AD于点F,交BC于点G,BA的延长线交 OA于点E.求证：EF=FG B 8.(25-26九年级上.浙江宁波期中)已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=5cm B (1)求证：AC=BD: (2)求BD的长. 题型五：由圆心角相等证明弦相等 1.如图，AB,CD,EF都是⊙O直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC,EB,DF是否相等？如果相等，请给 出证明 D E 2.(25-26九年级上北京期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙O的直径，OACD.求证： AB=AD. 7/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 3.如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E.求证： D (1)AD=BE (2)CD=CE 4.(24-25九年级下，广东中山开学考试)如图，在⊙O中，半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且 OE=OF. B D (1)求证：AE=BF: (2)求证：AC=BD 5.如图，在⊙O中，AC=BC,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD=BE. B D E 6.（25-26九年级上广东珠海期末)如图，在⊙O中，半径OC,OD分别交弦AB于点E,F,且 OE=OF. 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求证：AE=BF: (2)求证：AC=BD】 。 题型六：圆心角中解答题综合 1.(25-26九年级上江苏南京，期中)如图，在△ABC中，∠A=70°；∠B=55°，以BC为直径作⊙O, 分别交AB、AC于E、F. (1)求BF的度数： (2)求证：BE=CF」 2.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图1，已知AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,AB=10,点 D是⊙O一动点（点D不与点A,B重合）· 图1 图2 (1)若BC=CD,连结AD,CD,OC,求证：OC‖AD: (2)如图2，若CD平分∠ACB,连接AD,求AD的长. 3.(25-26九年级上浙江宁波期中)如图，∠AOB=90°，C,D是AB的三等分点，连结AB分别交 OC,OD于点E,F, 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (1)求出∠AEC的度数； (2)求证：AE=BF=CD 4.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AB=DC. D (1)求证：AC=BD: (2)若AB的度数为70°，设AC与BD的交点为P,求：∠APD的大小. 5.(24-25九年级上云南昆明期中)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交 ⊙O于点D,若AB=10,求BD的长. B D B 能力提升题 题型一：圆心角综合培优 1.（25-26九年级上江苏无锡：期中)如图：在半圆o中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠交直 10/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 径AB于点D:点E是AD的中点，连接OE,若OE的最小值为2：则AB=一 B D 2.(25-26九年级上福建厦门期中)如图，直线AB与⊙O相切于点A,弦CD‖AB,B,F为圆上的两 点，且∠CDE=∠ADF,若OO的半径为号CD=4,则弦EF的长为一 D A B 3.(25-26九年级上江苏南通期末)如图，△ABC内接于⊙O,A为劣弧BC的中点，∠BAC=120°， BD为⊙O的直径，连接AD,若AD=8,则AC的长为 D B 4.(25-26九年级下.山东济宁开学考试)如图，AB为圆O的直径，C,D为圆弧AB上的三等分点，己 知AB=10,求阴影部分的面积 D B 11/15 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(25-26九年级上河北廊坊期末)一张圆形纸片⊙O,圆周被n等分，等分点分别为 A,A,A,,A,:圆形纸片的部分示意图如图所示，若00的半径是2，弦A,A,=22则n=（) A 4 0 A.8 B.10 C.12 D.14 2.(24-25九年级上河北邯郸期中)如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=50°，则∠MON的度数为 () A.50° B.60° C.70° D.80° 3.如图，在⊙O中，AB是弦，C是AB上一点.若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则BC所对的圆心角 度数为() C A.30° B.40° c.50° D.60° 4.(2025浙江宁波.一模)图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为⊙O的 直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E,CE=CO.若∠AOD=60°，则∠AED的度数为() 12/15 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 A.15° B.20° C.25° D.30° 5.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角 器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角 器的半圆弧交于点E,第24秒时，点E在量角器上对应的读数是() T T B E (N)A C A.48度 B.64度 C.96度 D.132度 6.如图，AB,CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,且∠AOB=∠COD,则下 列结论中，正确的个数为() ①AB=CD;②OM=ON;③AB=CD D B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.已知圆的半径为2cm,圆中一条弦长为2cm,则这条弦所对的圆心角的度数是（) A.30° B.45° C.60° D.90° 8.如图，⊙O的直径AB与弦DE交于点C,且CD=CO.若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为 () 13/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A C B E A.50° B.60° C.75° D.85° 9.如图，在同圆中，若∠AOB=2∠COD,则AB与2CD的大小关系是() B D A.AB>2CD B.AB<2CD C.AB=2CD D.不能确定 10.圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为() A.1:3 B.2:3 c.1:4 D.1:2 11.（25-26九年级上全国期末)把一个圆分割成4个扇形，各个扇形面积的比为4：3：2：1，则最大的圆 心角的度数是一· 12.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A,B,C三点，那么弧 AC的度数是· B 13.(25-26九年级上江苏泰州期中)如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交于 点D. (1)若∠B=35°，求AD的度数 14/15 命学科网·上好课 www zxxk com (2)若AC=3,BC=4,求DB的长。 14.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧， AC的度数是70°，且AD‖OC,求AD的度数 ○ B 15,如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上. (若BC=3AD,CD=2AD'求∠DAB和∠ABC的大小： (2)若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、 和∠ABC的大小. 15/15 上好每一堂课 连接AD、OD、OC.若 B重合)·试比较∠DAB 3.2.1 圆心角（第1课时） 题型一：圆心角的简单识别 1．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 4．下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 5．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 题型二：圆心角有关概念辨析 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 3．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆心角的角度与它所对的弧的度数相等 B．同圆中，所有半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相同的弧是等弧 【答案】D 【分析】利用圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】A、圆心角的度数与它所对应的弧的度数相等，说法正确，故A不符合题意． B、同圆中，所有半径都相等，说法正确，故B不符合题意． C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确，故C不符合题意． D、在同样大小的圆或同一个圆中，长度相同的弧是等弧，所以原说法错误，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，正确判断每个选项是否符合圆的基本性质是解答本题的关键． 题型三：求圆弧的度数 1．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 2．（25-26九年级上·天津武清·期中）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 5．（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 题型四：利用圆心角相等求证弧相等 1．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 2．如图，是的直径，点，是上的点，是等边三角形，是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理． 根据等边三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，进而得到，即可证明． 【详解】证明：是等边三角形， ， ． 是的中点， ， ， ， ． 3．如图，弦，在上，分别连接，，，，，与交于点E，半径为6，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握好圆的基本概念是关键． 根据圆心角与弧的关系证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 6．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，以点为圆心，为半径作圆，交于点，交于点，的延长线交于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】由，得出由平行四边形的性质得出由圆心角、弧、弦的关系定理得出结论． 【详解】证明：如图，连接．   四边形是平行四边形， ， ，． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，圆心角、弧、弦的关系定理等知识点的应用，关键是证明． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 题型五：由圆心角相等证明弦相等 1．如图，都是直径，且，弦是否相等？如果相等，请给出证明． 【答案】答：相等， 证明如下： ∵， ∴， ∴． 【详解】略 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于为的直径，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角定理，熟练掌握平行线的性质和圆心角定理是解题的关键，连接，根据平行线的性质可得，,再由,得到,从而得到,即可得到,进而得到． 【详解】解：连接，如图： ∵ ∴，, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴． 3．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 4．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 5．如图，在中，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角、角平分线的性质定理、直角三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．连接，先证出，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴平分， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键． （1）连接、，过O作于M，根据等腰三角形的三线合一解题即可； （2）只要证明即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 题型六：圆心角中解答题综合 1．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知是的直径，内接于，，点是一动点（点不与点，重合）．    (1)若，连结，，，求证：； (2)如图2，若平分，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，等腰直角三角形，关键是： （1）由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，由，得到，因此，即可证明； （2）连接，由圆周角定理推出是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：， ， ， ， ， ， ； （2）连接，   是圆的直径， ， 平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 题型一：圆心角综合培优 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠性质、弧与圆心角的关系、勾股定理，补全折叠后的圆并确定最小情况，结合弧的圆心角推导与勾股定理建立方程是解题的关键． 补全弧所在的圆及圆心，连接，，，，由三角形任意两边之差小于第三边得当，，三点共线时最小，所对圆心角的度数为，所对圆心角的度数为，再设半径为，利用勾股定理列方程求解，即可求出． 【详解】解：如图，补全弧所在的圆及圆心，连接，，，， 由三角形任意两边之差小于第三边，得当，，三点共线时最小，设所对圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为， ∵， ∴所对圆心角的度数为， 由折叠得所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为， ∵点为中点， ∴所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为，即， 设半圆的半径为，则由对折可得，， 在中， ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，直线与相切于点A，弦，E，F为圆上的两点，且，若的半径为，，则弦的长为_______． 【答案】 【分析】首先连接，并反向延长交于点H，连接，由直线与相切于点A，弦，可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，根据同弧或等弧所对圆周角相等和弧线、弦、圆心角的关系，可证得，继而求得答案． 【详解】解：连接，并反向延长交于点H，连接， ∵直线与相切于点A， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，垂径定理，弧线、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：为劣弧的中点， ， ， ， ， 为的直径， ，则 在中，， ∴， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级下·山东济宁·开学考试）如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积________． 【答案】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及等边三角形的判定与性质、平行线的判定、同底等高三角形面积及扇形面积公式等知识，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质及平行线的判定得到，进而确定阴影部分的面积，利用扇形面积公式代值求解即可得到答案，根据题意，准确作出辅助线，数形结合将不规则图形面积转化为规则图形面积是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 为圆弧上的三等分点， ， ， 是等边三角形，则， ， ， ， 线段与构成的弓形面积始终不变， 阴影部分的面积， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 3．如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 6．如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 7．已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，圆心角．熟练掌握等边三角形的判定，圆心角的定义是解题的关键． 由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，进而可求答案． 【详解】解：由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， 故选：C． 8．如图，的直径与弦交于点，且．若弧的度数为，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的概念和性质定理等， 连接，根据圆心角的度数可知它所对的弧的度数，再根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，再由三角形的内角定理即可求解， 【详解】解：连接，如图所示： 弧的度数为 ， ， ， ， ， ， ， 则弧的度数为， 故选：B 9．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，过点O做OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧， ∴弦所对的圆心角∠AOB=， ∴△AOB是等腰直角三角形， 过点O做OC⊥AB于C， ∴, ∴弦心距与弦长的比为1：2． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意在“同圆或等圆”中才适用，这是此类问题的易错点． 11．（25-26九年级上·全国·期末）把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 14．如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连接．若的度数是，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线性质，等边对等角， 利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，则利用平行线的性质得，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵的度数， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 15．如图，为半圆的直径，点C、D在半圆上． (1)若，求和的大小； (2)若点C、D在半圆上运动，并保持弧的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较和的大小． 【答案】(1)；； (2)见详解． 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是正确的利用三者之间的关系． （1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小； （2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， （2）解：连接，如图： 若，则， 则，即， 又， ， ； 若，同理可证； 若，同理可证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $