3.4圆周角与圆心角的关系（题型专练）数学北师大版九年级下册

3.4圆周角与圆心角的关系 题型一 圆周角的概念辨析 2025年11月11日初中数学作业 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 7．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，弦所对的圆周角有 ，劣弧所对的圆周角有 ． 【答案】 ，， ， 【分析】本题考查了圆周角的概念，掌握圆周角的概念是解题的关键． 根据圆周角的概念直接得到答案． 【详解】解：弦所对的上的圆周角为，所对的上的圆周角为，，则弦所对的圆周角有，，； 劣弧所对的圆周角有，； 故答案为：，，；，． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 题型二 圆周角与圆心角的简单运算 1．（2021·浙江杭州·二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 则， 故选：A． 3．（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2023九年级·全国·专题练习）已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可． 【详解】解：∵弦把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为， ∴弦所对圆周角的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 5．（21-22九年级上·广西柳州·期末）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可． 【详解】∵OB=OC，∠B=55°， ∴∠B=∠OCB， ∴∠BOC=180°-2∠B=70°， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA==30°， 故选：B． 【点睛】考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，解题的关键是求得∠AOC的度数，难度不大． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 7．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 ． 【答案】2 【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠COH=2∠A=60°， ∵弦CD⊥AB于H， ∴∠OHC=90°， ∴∠OCH=30°， ∵OH=1， ∴OC=2OH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键． 8．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，的半径 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键． 题型三 圆周角定理 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：是的外接圆，， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得的度数，再由等边对等角可得的度数，据此利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 4．（天津市和平区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 5．（天津市河北区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角的性质，以及直径所对的圆周角为直角，解决本题的关键是判断出是等腰直角三角形． 作出辅助线，由圆周角的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， 则， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理并运用． 如图，连接，根据圆周角定理求得，证明是等边三角形，已知，可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：4． 7．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，，，是上三点，，，则的大小为 ． 【答案】140° 【分析】本题主要考查圆的性质，等腰三角形的性质，掌握圆的性质，是解题的关键． 连接，可得，，进而即可求解． 【详解】解：连接， ， ，， ， 故答案为：140°． 题型四 求圆弧的度数 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 3．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 7．（2025·江苏南京·二模）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先根据题意可知，由“两直线平行，同位角相等”可得，再根据圆周角定理可得，进而求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 故答案为：94． 题型一 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2023·北京·模拟预测）如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D均在上，且是直径，为优弧的中点，连接，，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连接，得出，，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据为优弧的中点，得出，进而根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∴ ∵为优弧的中点， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 5．（19-20九年级上·河南南阳·期末）如图，的弦，相交于点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，圆周角定理，连接、、，先证明得出，再由等角对等边即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：连接、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． (1)求证：； (2)若的半径为，，求弦的长． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系． 根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立； 利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：的半径为， ， ， ， 于点， ，， 在中，， ， 弦的长是. 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． (1)______； (2)判断的形状，并证明你的结论． (3)当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 【答案】(1)60 (2)等边三角形，证明见解析 (3)菱形． 【分析】（1）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明即可； （3）如图所示，连接，，设与交于点D，根据题意证明出和都是等边三角形，得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）∵ ∴ ∴； （2）是等边三角形． 证明：， ． 由（1）得． ． ∴是等边三角形； （3）如图所示，连接，，设与交于点D ∵当点O落在上时， ∴ ∵ ∴和都是等边三角形 ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型二 直径所对的圆周角是直角 1．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆外一点到圆上一点的距离的最值，由知，点P在以为直径的的圆弧上，连接交于P，此时线段最短，进而求解即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解： ∵， ∴， ∵点Q是劣弧上的一个动点， ∴点P在以为直径的的圆弧上， 如图所示，连接交于P，此时线段最短． ∵弦，半径， ∴直径，， 连接，则：， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：8． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连结．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，平行线的性质，中位线的性质和三线合一的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键。 连接，根据三线合一可得D是的中点，则结合中位线的性质可得，最后根据平行线的性质证明即可。 【详解】解：连接，如下图， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴是边上的中线， ∴是的中点， ∵O是的中点， ∴且， ∴，且， ∴， ∴． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，直径与弦交于点，，．求的长和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据，结合等弧所对的圆周角相等、勾股定理可得到，，最后根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，以及三角形外角性质即可得到结论． 【详解】解：是的直径， ． 又， ，． ， ． 又， ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 如图，连接，由圆周角定理，得到，由等腰三角形的性质得到． 【详解】证明：如图，连接， 是圆的直径， ， ， ． 8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 题型三 90°的圆周角所对的弦是直径 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是半径为1的的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由等边三角形的性质和圆周角定理得出，由矩形的性质和圆周角定理证出是的直径，得出，，由勾股定理得出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：连接，如图． 是等边三角形， ， ． 四边形是矩形， ， 是的直径，， ，， ， 矩形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握等边三角形的性质，由圆周角定理证出是直径是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 【答案】//2.5 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理得出为圆的直径，再根据勾股定理求出的长度，进而得到圆的半径． 【详解】解：连接， ∵， ∴是圆的直径． ∵，， ∴，， 根据勾股定理，在中， ． ∴圆的半径为． 故答案为：． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，将三角板的角、角的顶点A，B放在圆上，，两边分别与交于D，E两点，连接．若的半径为4，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，含角的直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据所对的弦得出为的直径，得出，根据，可求，利用含角的直角三角形性质求出，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接． ， 为的直径． 的半径为， ． ，， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，，，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角所对的弦是直径，勾股定理；连接，过点作于点，连接，先证明得出是的直径，在中，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，连接， ∵，，则， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，． ∴是的直径， ∴． ∴． ∴，则， 在中，． ∴． ∴的半径长为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 6．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形中，，均为直角，点A，B，C，D四个点都在同一个圆上吗？请说明理由． 【答案】点A，B，C，D四个点都在同一个圆上，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理及圆的定义，通过取的中点E，再连接，，然后利用直角三角形斜边中线定理来证明A，B，C，D四个点到点E的距离相等，进而根据圆的定义得出这四个点在同一个圆上． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，， ∵，均为直角， ∴与均为直角三角形， 又∵E为的中点， ∴， ∴A，B，C，D四个点都在以点E为圆心，为直径的圆上， 即A，B，C，D四个点都在同一个圆上． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1)是等边三角形．证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 题型四 求四边形外接圆的直径 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 5．（2023·重庆江北·一模）如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长．关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式． 【详解】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 6．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根， ∴设矩形的长和宽分别为a、b，则， ∴矩形的对角线长， ∴这个矩形的外接圆的直径是， 故答案为：． 7．（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      【答案】1.5 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定和性质．过A作于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，再由，可得，根据勾股定理可得的长，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过A作于点F，    ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知∶四边形，，连接对角线，过D作于，若，则的长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了圆内接四边形，勾股定理，解直角三角形的应用，先因为四边形，，得出四边形是内接四边形，是的中点，是直径，连接，根据，，则，代入数值计算，得，即可作答． 【详解】解：如图：记是的中点，连接，    ∵在四边形，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：10 题型一 圆周角与圆心角的综合运用 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键． 2．（25-26九年级上·北京·期中）已知，点满足，作射线，使得，作于点，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理、垂线段最短、矩形的判定与性质等知识，构造的外接圆是做题的关键．通过作的外接圆，利用圆心到的垂线段，以及点到的垂线段，构造矩形，将表示为与之和，其中为定值，的最大值为半径，从而得到的最大值． 【详解】解：如图， 作的外接圆，圆心为点，连接， ∵，， ∴是的直径， ∴． 作于点，于点， ∵于点， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 故长的最大值是． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 连接、、、、、，根据四边形是正方形得到，根据正五边形内接于，得到，进而得到、的度数，据此求解的度数即可． 【详解】如图，连接、、、、、， 四边形是正方形， ， 过圆心， ，， 正五边形内接于， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：，，请计算这块规划用地的最大面积． 【答案】四边形的最大面积为． 【分析】延长，过点A作于点E，连接，过点D作于点F．由，得，可得，，得．当时，最大，此时的面积最大，四边形的面积最大．是等边三角形．，，．即得四边形的最大面积为． 【详解】解：∵四边形中，， ∴A、B、C、D四点共圆， 如图，延长，过点A作于点E，连接，过点D作于点F． ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 当时，最大，的面积最大四边形的面积最大，此时是等边三角形． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴四边形的最大面积为． 【点睛】本题圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的判定和性质，勾股定理，含30度的超重直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4圆周角与圆心角的关系 题型一 圆周角的概念辨析 2025年11月11日初中数学作业 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 7．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，弦所对的圆周角有 ，劣弧所对的圆周角有 ． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    题型二 圆周角与圆心角的简单运算 1．（2021·浙江杭州·二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023九年级·全国·专题练习）已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（21-22九年级上·广西柳州·期末）如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．55° 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 7．（21-22九年级上·湖南长沙·期末）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 ． 8．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，是的直径，是弦，平分交于D，连交于E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长度． 题型三 圆周角定理 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（天津市和平区2025-2026学年上学期九年级期中数学试题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（天津市河北区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 7．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，，，是上三点，，，则的大小为 ． 题型四 求圆弧的度数 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是 ． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 7．（2025·江苏南京·二模）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 题型一 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2023·北京·模拟预测）如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A，B，C，D均在上，且是直径，为优弧的中点，连接，，．若，则的度数为 ． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 5．（19-20九年级上·河南南阳·期末）如图，的弦，相交于点，，求证：． 6．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． (1)求证：； (2)若的半径为，，求弦的长． 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． (1)______； (2)判断的形状，并证明你的结论． (3)当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 题型二 直径所对的圆周角是直角 1．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是 ． 3．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连结．求证：． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，A，B，C，D是上的四个点，直径与弦交于点，，．求的长和的度数． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：． 8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 题型三 90°的圆周角所对的弦是直径 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是半径为1的的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，圆A与坐标系交于，，且经过原点，则圆A的半径等于 ． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，将三角板的角、角的顶点A，B放在圆上，，两边分别与交于D，E两点，连接．若的半径为4，，则的面积为 ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，，，，则的半径长为 ． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 6．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在四边形中，，均为直角，点A，B，C，D四个点都在同一个圆上吗？请说明理由． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 题型四 求四边形外接圆的直径 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 5．（2023·重庆江北·一模）如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 ． 7．（2024·广西南宁·三模）如图，在的内接四边形中，，，，垂足为点E，则的长为 ．      8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知∶四边形，，连接对角线，过D作于，若，则的长为 ．    题型一 圆周角与圆心角的综合运用 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）已知，点满足，作射线，使得，作于点，则长的最大值是 ． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为 ． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：，，请计算这块规划用地的最大面积． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $