专题01 反比例函数“k”的几何意义（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“k”的几何意义为核心，通过6类题型系统构建从概念证明到单双函数综合应用的解题体系，突出面积不变性与图形转化的推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |k的几何意义证明|1典例+6变式|矩形面积定值｜k｜|从特殊点证明到一般结论，培养抽象能力| |单反比例（一点一垂线）|1典例+7变式|三角形面积｜k｜/2|垂线性质与面积不变性结合，发展几何直观| |单反比例（两点+垂线）|1典例+3变式|面积割补法|两点垂线关系推导面积关系，强化推理意识| |单反比例（两点连原点）|1典例+3变式|坐标法与割补法|原点连线图形面积计算，提升模型观念| |双反比例（同侧）|1典例+7变式|面积差｜k1-k2｜/2|同侧双曲线面积关系，培养应用意识| |双反比例（异侧）|1典例+3变式|面积和｜k1｜+｜k2｜/2|异侧双曲线面积综合，发展空间观念|

专题01 反比例函数“k”的几何意义 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数“k”的几何意义证明 题型02 单反比例函数（一）-一点一垂线型 题型03 单反比例函数（二）-两点+垂线型 题型04 单反比例函数（三）-两点连原点型 题型05 双反比例函数（一）-同侧双曲线型 题型06 双反比例函数（二）-异侧双曲线型 ▌题型01 反比例函数“k”的几何意义证明 图1 图2 如图1： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 如图2： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 综合可得，反比例函数 任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值， S矩=｜k |. 【典例1】（2025秋•南通期末）如图，点P在反比例函数（x＜0）的图象上，则矩形OAPB的面积是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】由点P在反比例函数（x＜0）的图象上，得到S矩形OAPB＝|k|即可求解． 【解答】解：由点P在反比例函数（x＜0）的图象上可得： S矩形OAPB＝|k|＝2， 故选：B． 【变式1-1】（2026•金凤区校级二模）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若▱ABCD面积为6，则k的值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．﹣6 【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|﹣k|，则|﹣k|＝6，利用反比例函数图象得到﹣k＜0，即k＞0，于是有k＝6． 【解答】解：作AE⊥BC于E，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥x轴， ∴四边形ADOE为矩形， ∴S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE， 而S矩形ADOE＝|﹣k|， ∴|﹣k|＝6， 而﹣k＜0，即k＞0， ∴k＝6． 故选：C． 【变式1-2】（2025秋•金安区月考）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段．若S1+S2＝6，则S阴影＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】设阴影部分的面积为S3，根据，得S3+S1＝4，S3+S2＝4，继而得到S3+S1+S3+S2＝8，结合S1+S2＝6解答即可． 【解答】解：设阴影部分的面积为S3，则S3+S1＝4，S3+S2＝4， 故S3+S1+S3+S2＝8， 由条件可得2S3＝2； 解得S3＝1， 故选：A． 【变式1-3】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为四边形ACBD是矩形，A，B两点在反比例函数的图象上， 所以四边形ANOM是矩形， 则S矩形ANOM＝2， 所以S矩形ACBD＝4S矩形ANOM＝8． 【变式1-4】（2026•南沙区一模）如图，面积为2的矩形ABCD在第一象限，BC与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线BD所在直线y＝﹣kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段EF的三等分点，则b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据B、D为线段EF的三等分点，ABCD的面积为2，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及△EOF的面积即可求出b的值． 【解答】解：延长AB、DC交x轴于点Q、P，延长AD、BC交y轴于点M、N， ∵B、D为线段EF的三等分点， ∴BE＝BD＝DF， ∵AM∥BC∥EO， ∴OP＝PQ＝QE，ON＝MN＝MF， ∵ABCD的面积为2， ∴S矩形QBNO＝2S矩形ABCD＝4， ∴|k|＝4， ∴反比例函数的关系式为y， ∴k＝4， 一次函数的关系式为y＝﹣4x+b，即：F（0，b），E（，0）， 由题意得△EOF的面积为9， ∴b9， 解得，b＝6，b＝﹣6（舍去）， 故选：C． 【变式1-5】已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．求当S＞1时，求m的取值范围． 【分析】利用正方形的性质得OA＝AB＝2，则B点坐标为（2，2）；把B（2，2）代入y中，即可求出k；P（m，n）在y上，得到mn＝4，S＝AE•PE+CB•CF＝（m﹣2）•n+2（2﹣n）＝mn﹣2n+4﹣2n＝mn﹣4n+4＝8，根据S＞1，可得出m的取值范围． 【解答】解：∵正方形OABC的面积为4， ∴OA＝AB＝2， ∴B点坐标为（2，2）； ∵点B在函数的图象上， ∴把B（2，2）代入y中， 得k＝4； ∴反比例函数的解析式为y； ∵P（m，n）在y上，∴mn＝4，∴n， ∵S＝AE•PE+CB•CF， ∴S＝（m﹣2）•n+2（2﹣n）＝mn﹣2n+4﹣2n＝mn﹣4n+4＝8， ∵S＞1， ∴7， ∵x＞0， 或S＝m（n﹣2）+2（2﹣m）＝mn﹣4m+4＝8﹣4m， ∵S＞1， ∴8﹣4m＞1， ∴0＜m， ∴m的取值范围m或0＜m 【变式1-6】如图，双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1和P2向x轴作垂线，垂足为B、D．过P1和P2向y轴作垂线，垂足为A、C． （1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1和C2的大小； （2）若P是双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N．试问当P点落在何处时，四边形PMON的周长最小？ 【分析】（1）根据反比例函数中系数k的几何意义可直接得到S1＝S2；由于AC、BD的值不能确定，所以应分AC＝BD、AC＜BD、AC＞BD三种情况讨论． （2）根据题意画出图形，设出P点坐标，根据k为定值，则当x＝y时四边形的周长最小． 【解答】解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k； 当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2； 当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2； 当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2． （2）设P（x，y），即（x，）， 四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x）， 因为面积相等的四边形中正方形的周长最小， 所以x，即x2＝k， 解得x， 故P点坐标为（，）． ▌题型02 单反比例函数（一）- 一点一垂线型 利用平行线之间的距离处处相等，可以将点移动到轴上任意一点， 【典例2】（2026•衡阳县一模）如图，P是反比例函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，连接OP．若△POM的面积为2，则k的值为 　 　 ． 【分析】由反比例函数比例系数的几何意义得S△POM，再由△POM的面积为2得，据此可得k＝﹣4． 【解答】解：∵点P反比例函数图象上任意一点，PM⊥x轴，垂足为M， ∴由反比例函数比例系数的几何意义得：S△POM， 又∵△POM的面积为2， ∴， ∴|k|＝4， ∵反比例函数图象上在第二象限， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式2-1】如图，反比例函数，点A位于反比例函数图象上，AB垂直于x轴，点C在y轴从上往下运动的过程中，三角形ABC的面积变化情况是（　　） A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【分析】根据反比例函数k值几何意义解答即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB∥y轴， ∴点C在y轴从上往下运动的过程中，三角形ABC的面积恒等于三角形AOB的面积． 故选：A． 【变式2-2】（2025春•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，若菱形OABC的面积为4，则k的值为 　 　 ． 【分析】根据菱形性质及反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，连接AC，交OB于点D，则AC⊥x， 由菱形性质可知S△AODS菱形OABC1， ∴|k|＝2S△AOD＝2， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式2-3】（2026•金凤区校级二模）如图，双曲线经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，若▱ABCO的面积是3，则k的值为　 ． 【分析】求出△DCO的面积，根据反比例函数k的几何意义即可解决问题． 【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，面积为3， ∴△DCO的面积． ∵AC⊥OC， ∴． ∵k＜0， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】（2026•高碑店市模拟）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C是y轴上一点，满足AC＝BC，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论： ①△ABC的面积不变； ②点C的纵坐标逐渐减小； ③AC的长度逐渐增大． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】设出点A的坐标，利用AC＝BC的条件推导出点C的坐标，再结合点A由高到低移动时横坐标的变化规律，分别验证三个结论即可． 【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D， 根据题意，设，其中a＜0， ∴，CD＝﹣a， ∵AB⊥x轴， ∴B（a，0）， ∵CD⊥AB，AC＝BC， ∴， ∴． ①判断△ABC的面积： ∵， ∴面积为定值，不变，故①正确； ②判断点C的纵坐标： ∵，其中a＜0， 令，t＝|a|＝﹣a（t＞0），则． ∵点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小， ∴t＝|a|逐渐增大． ∴逐渐减小，即点C的纵坐标逐渐减小，故②正确； ③判断AC的长度：， 举例验证：当a＝﹣1时，AC2＝1+4＝5，AC≈2.24＜4.03； 当a＝﹣0.5时，AC2＝0.25+16＝16.25，AC≈4.03； 当a＝﹣4时，AC2＝16+0.25＝16.25，AC≈4.03， ∴点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小，可以发现，在a的值逐渐减小的过程中，AC长度先减小后增大，不是逐渐增大，故③错误． 综上，正确结论为①②，本题选A． 故选：A． 【变式2-5】（2026•城中区校级二模）如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】根据题意得出相关三角形面积之间的关系：S1+S阴影＝S△BOD，S2+S阴影＝S△AOC，再根据反比例函数中系数k的几何意义推出|k|＝S△BOD+S△AOC，从而推出|k|＝4，结合图象可得k＝﹣4． 【解答】解：由题意可知S1+S阴影＝S△BOD，S2+S阴影＝S△AOC， ∵S△BOD＝S△AOC， ∴|k|＝S△BOD+S△AOC＝S1+S阴影+S2+S阴影＝S1+S2+2S阴影＝2+2＝4， ∵函数图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4， 故选：B． 【变式2-6】（2026•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数图象上一点，线段BC⊥OC于点C，交反比例函数图象于点D，连接OD，线段BO经过点A，且A为线段BO的中点，若△OAD的面积为，则k＝（　　） A．4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出△OBD的面积，设，进而得到，，根据等面积法列方程求解即可． 【解答】解：由条件可知△OBD的面积为， 设， ∵A为线段BO的中点， ∴， ∵BC⊥OC， ∴D点横坐标为2a， 此时， 即， ∵S△OBD＝S△OBC﹣S△OCD， ∴， 解得：k＝﹣2． 故选：C． 【变式2-7】（2026•云岩区一模）如图，已知点A（m，6），点B是反比例函数（k为常数，k≠0，x＞0）图象上的两个点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OB，若△OBC的面积为3． （1）求m的值； （2）连接OA，以OA为边作菱形OADE，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形OADE的面积． 【分析】（1）根据反比例函数k值的几何意义解答即可； （2）根据菱形的性质及勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）∵点A，B在反比例函数的图象上，且△OBC的面积为3， ∴6m＝2×3． ∴m＝1． （2）由（1）知点A的坐标为（1，6）， ∴由勾股定理得：． ∵四边形OADE是菱形， ∴． ∴S菱形OADE＝66． ▌题型03 单反比例函数（二）- 两点+垂线型 【典例3】若图中反比例函数的表达式均为y，则阴影面积为1.5的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【解答】解：A选项中，阴影面积为3，故A不符合题意； B选项中，阴影面积为3＝1.5，故B符合题意； C选项中，阴影面积为23＝3，故C不符合题意； D选项中，阴影面积为43＝6，故D不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（2024•陈仓区一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　　． 【分析】根据反比例函数的对称性和反比例函数系数k的几何意义，可求出S△BOCS△ABC|k|，再根据图象所在的象限确定k的值即可． 【解答】解：由对称性可知，OA＝OB， ∴S△AOC＝S△BOCS△ABC， ∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6， ∴S△BOCS△ABC|k|， 又∵k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【变式3-2】如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）该函数图象的另一支在第 　　 象限，k的取值范围是 　 ； （2）点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点的对称点为点C，若△ABC的面积为4，求k的值． 【分析】（1）依据题意，根据反比例函数的图象和性质即可得解； （2）依据题意，设点A的坐标为（a，b），求出B、C的坐标，求出AB和BC的长，根据三角形的面积求出ab＝2，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵反比例函数的图象的一支位于第一象限． ∴该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，k﹣3＞0． ∴k＞3． 故答案为：三；k＞3． （2）由题意，设点A的坐标为（a，b）， ∵点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，点C与点A关于原点O对称， ∴a＞0，b＞0，点B的坐标是（a，﹣b），点C的坐标是（﹣a，﹣b）， ∴BC＝a﹣（﹣a）＝2a，AB＝b+b＝2b， ∵△ABC的面积为4， ∴AB×BC＝4． ∴2a×2b＝4． ∴ab＝2． ∵A点在反比例函数的位于第一象限的图象上， ∴k﹣3＝ab＝2． 解得：k＝5． 【变式3-3】反比例函数y中两个变量x，y的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性，如图①，P（x，y）是反比例函数y（k＜0）的图象上的一个动点，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B，则PA＝|y|，PB＝|x|，所以S矩形OAPB＝PA•PB＝|xy|＝|k|，即矩形OAPB的面积不变，当k＞0时上述结论也成立，我们可称这一性质为“反比例函数的面积不变性”，连接OP，此时，△PAO的面积为|k|，也是定值，试利用“反比例函数的面积不变性”解决下列问题： 如图②、③，点A在反比例函数y的图象上，AB⊥x轴，垂足为B， （1）如图②，点C在反比例函数y的图象上，CD⊥x轴，垂足为D，AB，CO相交于点P，试比较下列图形面积的大小： SRt△ABO　　 SRt△CDO，S△APO　　 S四边形BDCP（选填”＞“”＜“或”“＝“） （2）如图③，AO的延长线与反比例函数y的图象的另一个交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为 　　 ． 【分析】（1）由反比例函数系数k的几何意义可得出△AOB和△COD的面积都等于|k|，进而根据S△AOB﹣S△POB＝S△COD﹣S△POB，即可得出S△APO＝S四边形BDCP． （2）先根据反比例函数与一次函数图象的特点求出AC两点的坐标特点，再根据反比例函数中系数k的几何意义求解即可． 【解答】解：（1）由反比例函数系数k的几何意义可得，S△AOB＝S△COD|k|． ∴S△AOB﹣S△POB＝S△COD﹣S△POB， ∴S△APO＝S四边形BDCP． 故答案为：＝、＝． （2）∵反比例函数与一次函数图象关于原点对称， ∴AC两点关于原点对称， ∵反比例函数的解析式为：y， ∴S△AOB＝S△OCD＝S△AOD＝S△BOC， ∴S四边形ABCD＝S△AOB+S△OCD+S△AOD+S△BOC＝2． 故答案为：2． ▌题型04 单反比例函数（三）- 两点连原点型 方法一： 方法二：割补法 【典例4】（2025春•建邺区校级期末）如图，点和在反比例函数的图象上，其中a＞b＞0．若△AOB的面积为，则 　　 ． 【分析】依据题意，分别过A、B作AC⊥x于C，BD⊥轴于D，然后由A点的坐标可得出k的值，再结合反比例函数k的几何意义将△AOB的面积转化为梯形的面积，即可求出的值． 【解答】解：分别过A、B作AC⊥x于C，BD⊥轴于D． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 又∵a＞0， ∴k＝5． 根据反比例函数k的几何意义可得，． 又根据反比例函数的几何意义，∵S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，且S△OBD＝S△AOC， ∴S梯形ACDB＝S△AOB， 又∵△AOB的面积为且，， ∴，即． ∴或． 又∵a＞b＞0， ∴． 故答案为：2． 【变式4-1】（2025春•江都区期末）如图，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝4AD，且△ODE的面积是24，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及矩形性质解答即可． 【解答】解：设点D（m，），则B（5m，），E（5m，）， ∴BD＝4m，BE， ∵△ODE的面积是24， ∴5m•k（）＝24， 解得k＝10． 故选：C． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点D横坐标为﹣6，反比例函数的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为（　　） A．﹣12 B．9 C．﹣9 D．﹣6 【分析】作DE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为E、F，根据k值的几何意义可知S梯形ADEF＝S△AOD＝9，即可得出（）（﹣3+6）＝9，解得k＝﹣12． 【解答】解：如图，作DE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为E、F， ∵边BC的中点D横坐标为﹣6， ∴D（﹣6，），则A（﹣3，）， 根据反比例函数k值的几何意义， S梯形ADEF＝S△AOD＝9， ∴（）（﹣3+6）＝9， 解得k＝﹣12． 故选：A． 【变式4-3】（2026•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，且△ABO的面积为24，反比例函数的图象经过AB的中点F． （1）求k的值． （2）若点P，Q在反比例函数的图象上，且点P，Q的横坐标分别为2，6，请直接写出直线PQ的表达式和△POQ的面积． 【分析】（1）设点A（0，m），点B（n，0），根据题意，得，，求解即可； （2）根据反比例函数解析式，确定P、Q的坐标，利用待定系数法，分割法求解即可； 【解答】解：（1）设点A（0，m），点B（n，0）， 则，， ∴mn＝48，， ∴k＝12． （2）根据题意得反比例函数的解析式为， ∴P（2，6）； 当x＝6时，， ∴Q（6，2）； 设直线PQ的解析式为y＝mx+b， 根据题意，得， 解得， ∴y＝﹣x+8． 如图，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥x轴于点M，令PN，OQ交于点G， ∴PN＝6，ON＝2，QM＝2，OM＝6， ∴MN＝OM﹣ON＝4， 根据反比例函数的性质，得S△PON＝S△QOM， ∴S△PON﹣S△GON＝S△QOM﹣S△GON， ∴S△POG＝S四边形QGNM， ∴S△POG+S△PQG＝S四边形QGNM+S△PQG， ∴． ▌题型05 双反比例函数（一）- 同侧双曲线型 【典例5】（2026春•万州区校级期中）如图，点A是反比例函数y（x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，交反比例函数y（x＞0）的图象于点C，点P为y轴上一点，若△ACP的面积为2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【分析】连接OA、OC，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝3，S△BOCk，又S△AOC＝S△APC＝2，所以S△AOB﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值． 【解答】解：连接OA、OC， ∵AC⊥x轴， ∴AC∥y轴， ∴S△AOC＝S△APC， ∵S△APC＝2， ∴S△AOC＝2， 由反比例函数系数k的几何意义可得： S△AOB＝3，S△BOC|k|， ∴3﹣（k）＝2， 解得：k＝﹣2， 故选：A． 【变式5-1】如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知△OAB的面积为6，则k1﹣k2＝　12　． 【分析】设点P的坐标为（a，0），则得到点A（a，），B（a，），利用S△ABO＝S△AOP﹣S△BOP列出关系式即可求得结论． 【解答】解：设点P的坐标为（a，0）， ∵直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点， ∴点A（a，），B（a，）， ∴OP＝a，BP，AP． ∵S△ABO＝S△AOP﹣S△BOP，△OAB的面积为6， ∴AP•OPBP•OP＝6． ∴•a•a＝12． ∴k1﹣k2＝12． 故答案为：12． 【变式5-2】如图，点A在函数y的图象上，过A作AB∥x轴，AB与y的图象交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为 　　． 【分析】延长BA交y轴于E，过A点作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，则平行四边形ABCD的面积等于矩形ABNM的面积，即为5﹣2＝3． 【解答】解：延长BA交y轴于E，过A点作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，则平行四边形ABCD的面积等于矩形ABNM的面积， ∵点A在函数y的图象上，点B在函数y的图象上， ∴S矩形ABNM＝xB•yB﹣xA•yA＝5﹣2＝3， ∴四边形ABCD的面积为3， 故答案为：3． 【变式5-3】（2025春•丹徒区期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴，垂足为B，线段AB交反比例函数的图象于点C，点D是y轴正半轴上一点，连接AD、BD、CD，如果n﹣m＝10，则△ACD的面积为　　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，连接AO、CO， ∵AB∥y轴，点A在反比例函数的图象上，线段AB交反比例函数的图象于点C， ∴S△ABD＝S△ABO，S△CBD＝S△CBO， ∵n﹣m＝10， ∴S△ACD＝S△ABD﹣S△CBD|n﹣m|5， 故答案为：5． 【变式5-4】（2026•公主岭市模拟）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形AOCB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S四边形OCBD＝12，根据四边形ABCO的面积等于S四边形OCBD﹣S△AOD，即可得解． 【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D． ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∴． ∵BC⊥x轴，AB⊥y轴，点B在反比例函数的图象上， ∴S四边形OCBD＝12， ∴S四边形ABCO＝S四边形OCBD﹣S△AOD＝12﹣2＝10． 故选：D． 【变式5-5】（2026•富川县校级一模）如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上，顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，AB，AC分别与反比例函数的图象相交于点D，E，若四边形ODAE的面积S四边形ODAE＝5，则m的值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出关于m的方程，再据此进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上， 所以S矩形OBAC＝6． 因为点D和点E都在反比例函数的图象上， 所以． 又因为S四边形ODAE＝5， 所以， 解得m＝2． 故选：B． 【变式5-6】（2026•济南模拟）如图，点B在函数的图象上，过点B（m，n）分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． （1）若点B的坐标为（2，3），求点A坐标和直线OC解析式； （2）当点B为函数图象上的动点，问四边形OABC的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； （3）当OC平分OA与x轴正半轴的夹角，求证此时AC是∠OAB的角平分线． 【分析】（1）求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）作BA、BC的延长线，分别交y轴于M，交x轴于N，根据S四边形OABC＝S四边形BMON﹣S△AOM﹣S△CON，利用反比例函数系数k的几何意义即可求解； （3）作CD⊥OA于D，易证得BC＝CN，利用角平分线的性质定理以及性质定理的逆定理即可证得． 【解答】解：（1）∵点B（2，3）， ∴A的纵坐标为3，C的横坐标为2． 又∵A、C在函数y的图象上， ∴A（1，3），C（2，）． 设直线OC为y＝kx， ∴2k． ∴k， ∴直线OC为yx； （2）作BA、BC的延长线，分别交y轴于M，交x轴于N， 则由题意可知，BM∥x轴，BN∥y轴， ∴S四边形BMON＝6，S△AOM＝S△CON， ∴S四边形OABC＝S四边形BMON﹣S△AOM﹣S△CON＝3， ∴四边形OABC的面积不变化； （3）作CD⊥OA于D， 由题意可知CB⊥AB，CN⊥x轴， ∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角， ∴CD＝CN， ∵点B在函数的图象上，点C在函数的图象上，BC∥y轴， ∴设B（m，），则C（m，）， ∴BN，CN， ∴BN＝2CN， ∴BC＝CN， ∴CD＝CB， ∵CD⊥OA，CB⊥AB， ∴AC是∠OAB的角平分线． 【变式5-7】（2026•合肥模拟）如图，四边形ABCD的对角线交于点M，且M是AC的中点；AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，反比例函数C2：y（k≠0）的图象经过点A． （1）求k的值； （2）若点D也在反比例函数C2的图象上，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）设点M的坐标为（a，b），由点M在反比例函数上可得ab＝2；由AC⊥x轴且M是AC的中点，得点A的坐标为（a，2b）；将点A代入即可求出k． （2）先利用反比例函数解析式求出点B、D的坐标，证明M也是BD的中点，从而判定四边形ABCD是平行四边形；再证明对角线AC⊥BD，即可判定平行四边形ABCD是菱形． 【解答】（1）解：设点M的坐标为（a，b）． ∵点M在反比例函数的图象上， ∴ab＝2． ∵AC⊥x轴，M是AC的中点， ∴点A（a，2b）． 把A（a，2b）代入得， 即k＝2ab． 又∵ab＝2， ∴k＝4． （2）证明：设点M的坐标为（a，b）． ∵BD⊥y轴， ∴点D的纵坐标与点M的纵坐标相同． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴xb＝4，即， ∴点． 由（1）知A（a，2b），ab＝2，即， ∴，， ∴BM＝DM， ∴点M是BD的中点， 又∵M是AC的中点， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴AC∥y轴，BD∥x轴， 即AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． ▌题型06 双反比例函数（二）- 异侧双曲线型 【典例6】（2026•思明区校级模拟）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB平行x轴，连接OA，OB，若4＜k＜6，则△AOB的面积可以是（　　） A． B．4 C． D．5 【分析】设AB与y轴的交点为C，根据反比例函数比例系数的几何意义得S△OAC，S△OBC＝2，由此得△AOB的面积为，再根据4＜k＜6得，进而得△AOB的面积可以是，据此即可得出答案． 【解答】解：设AB与y轴的交点为C，如图所示： ∵AB平行x轴，点A在的图象上，点B在的图象上， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAC，S△OBC2， ∴△AOB的面积为：， ∵4＜k＜6， ∴， ∴， ∴△AOB的面积可以是． 故选：C． 【变式6-1】（2025春•邗江区期末）如图是反比例函数，在x轴上方的图象，平行四边形OABC的面积是7，若点A在x轴上，点B在的图象上，点C在的图象上，则k2﹣k1的值为　　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，连接OB， ∵点B在的图象上，点C在的图象上， ∴k1＞0，k2＜0， ∴S△BODK1，S△COD|k2|k2， ∴S△BOD+S△CODS平行四边形OABCK1K2（k1﹣k2）， ∴k2﹣k1＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【变式6-2】（2025秋•邵阳期末）如图，点A，C在反比例函数的图象上，过点A作x轴的平行线AB，交y轴于点M，交反比例函数的图象于点B．过点C作x轴的平行线CD，交y轴于点N，交的图象于点D．若AB＝6，CD＝3，MN＝3，则b﹣a的值为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【分析】连接OA，OB，OC，OD，根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到S△AOB＝S△COD，结合AB＝6，CD＝3，MN＝3，可推出OM＝1，得到，再结合图象可知，a＜0，b＞0，从而求得答案． 【解答】解：连接OA，OB，OC，OD， ∵点A，C在反比例函数的图象上，过点A作x轴的平行线AB，交y轴于点M，交反比例函数的图象于点B， ∴， ∴， 同理，即S△AOB＝S△COD． ∴AB×OM＝CD×ON， ∵AB＝6，CD＝3， ∴6OM＝3ON，即ON＝2OM． ∵MN＝OM+ON＝3， ∴OM＝1． ∴，即． 由图象可知，a＜0，b＞0， ∴， ∴b﹣a＝6． 故选：D． 【变式6-3】（2026•月湖区校级二模）如图，已知AD∥x轴，点A在反比例函数的图象上，将段段AD平移，得到线段BC，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形ABCD的中心，S四边形ABCD＝14． （1）求k的值． （2）若点D到x轴的距离为1，求直线AB的解析式． 【分析】（1）设AD，BC 分别交y轴于点E，F，连接OA，OB，OC，由点O 是平行四边形ABCD的中心，S四边形ABCD＝14，得，证明△AOE≌△COF（ASA），得S△AOE＝S△COF＝2，进而可求k． （2）根据点D到x轴的距离为1，AD∥x轴，点O 是平行四边形ABCD的中心，分别求得点A、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解． 【解答】解：（1）如图，设AD，BC 分别交y轴于点E，F，连接OA，OB，OC， 由平移知BC⊥y轴， 则 ． 由平移可知四边形ABCD是平行四边形， ∵点O 是平行四边形ABCD的中心，S四边形ABCD＝14， ∴， ∴． ∵点O 是平行四边形ABCD的中心， ∴BC∥AD，AO＝CO， ∴∠FCO＝∠EAO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF＝2， ∴|k|＝4． ∵函数 的图象在第四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4． （2）由条件可知点A 的纵坐标为﹣1，点 B 的纵坐标为1． 将y＝﹣1代入 ，得x＝4， ∴A（4，﹣1）． 将y＝1代入 ，得x＝3， ∴B（3，1）． 设直线AB的解析式为y＝ax+b， 将A（4，﹣1），B（3，1）分别代入， 得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+7． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数“k”的几何意义 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数“k”的几何意义证明 题型02 单反比例函数（一）-一点一垂线型 题型03 单反比例函数（二）-两点+垂线型 题型04 单反比例函数（三）-两点连原点型 题型05 双反比例函数（一）-同侧双曲线型 题型06 双反比例函数（二）-异侧双曲线型 ▌题型01 反比例函数“k”的几何意义证明 图1 图2 如图1： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 如图2： 已知是反比例函数图像上的两点，过分别向轴和轴作垂线，得到矩形和矩形，则, 综合可得，反比例函数 任意一点向两坐标轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积是一个定值， S矩=｜k |. 【典例1】（2025秋•南通期末）如图，点P在反比例函数（x＜0）的图象上，则矩形OAPB的面积是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1-1】（2026•金凤区校级二模）如图，点A是反比例函数y的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点C在x轴上，点D在y轴上，若▱ABCD面积为6，则k的值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．﹣6 【变式1-2】（2025秋•金安区月考）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段．若S1+S2＝6，则S阴影＝（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式1-3】（2025秋•永寿县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点O，且与反比例函数的图象交于点A，B，以AB为对角线作矩形ACBD，则矩形ACBD的面积为　　 ． 【变式1-4】（2026•南沙区一模）如图，面积为2的矩形ABCD在第一象限，BC与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线BD所在直线y＝﹣kx+b与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段EF的三等分点，则b的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．求当S＞1时，求m的取值范围． 【变式1-6】如图，双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上有两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1和P2向x轴作垂线，垂足为B、D．过P1和P2向y轴作垂线，垂足为A、C． （1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1和C2的大小； （2）若P是双曲线y（k＞0，x＞0）的图象上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N．试问当P点落在何处时，四边形PMON的周长最小？ ▌题型02 单反比例函数（一）- 一点一垂线型 利用平行线之间的距离处处相等，可以将点移动到轴上任意一点， 【典例2】（2026•衡阳县一模）如图，P是反比例函数图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，连接OP．若△POM的面积为2，则k的值为 　 　 ． 【变式2-1】如图，反比例函数，点A位于反比例函数图象上，AB垂直于x轴，点C在y轴从上往下运动的过程中，三角形ABC的面积变化情况是（　　） A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【变式2-2】（2025春•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，若菱形OABC的面积为4，则k的值为 　 　 ． 【变式2-3】（2026•金凤区校级二模）如图，双曲线经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，若▱ABCO的面积是3，则k的值为　 ． 【变式2-4】（2026•高碑店市模拟）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C是y轴上一点，满足AC＝BC，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论： ①△ABC的面积不变； ②点C的纵坐标逐渐减小； ③AC的长度逐渐增大． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2-5】（2026•城中区校级二模）如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【变式2-6】（2026•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数图象上一点，线段BC⊥OC于点C，交反比例函数图象于点D，连接OD，线段BO经过点A，且A为线段BO的中点，若△OAD的面积为，则k＝（　　） A．4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【变式2-7】（2026•云岩区一模）如图，已知点A（m，6），点B是反比例函数（k为常数，k≠0，x＞0）图象上的两个点，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OB，若△OBC的面积为3． （1）求m的值； （2）连接OA，以OA为边作菱形OADE，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形OADE的面积． ▌题型03 单反比例函数（二）- 两点+垂线型 【典例3】若图中反比例函数的表达式均为y，则阴影面积为1.5的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024•陈仓区一模）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　　． 【变式3-2】如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． （1）该函数图象的另一支在第 　　 象限，k的取值范围是 　 ； （2）点A在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点为点B，点A关于原点的对称点为点C，若△ABC的面积为4，求k的值． 【变式3-3】反比例函数y中两个变量x，y的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性，如图①，P（x，y）是反比例函数y（k＜0）的图象上的一个动点，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B，则PA＝|y|，PB＝|x|，所以S矩形OAPB＝PA•PB＝|xy|＝|k|，即矩形OAPB的面积不变，当k＞0时上述结论也成立，我们可称这一性质为“反比例函数的面积不变性”，连接OP，此时，△PAO的面积为|k|，也是定值，试利用“反比例函数的面积不变性”解决下列问题： 如图②、③，点A在反比例函数y的图象上，AB⊥x轴，垂足为B， （1）如图②，点C在反比例函数y的图象上，CD⊥x轴，垂足为D，AB，CO相交于点P，试比较下列图形面积的大小： SRt△ABO　　 SRt△CDO，S△APO　　 S四边形BDCP（选填”＞“”＜“或”“＝“） （2）如图③，AO的延长线与反比例函数y的图象的另一个交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为 　　 ． ▌题型04 单反比例函数（三）- 两点连原点型 方法一： 方法二：割补法 【典例4】（2025春•建邺区校级期末）如图，点和在反比例函数的图象上，其中a＞b＞0．若△AOB的面积为，则 　　 ． 【变式4-1】（2025春•江都区期末）如图，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝4AD，且△ODE的面积是24，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点D横坐标为﹣6，反比例函数的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为（　　） A．﹣12 B．9 C．﹣9 D．﹣6 【变式4-3】（2026•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，且△ABO的面积为24，反比例函数的图象经过AB的中点F． （1）求k的值． （2）若点P，Q在反比例函数的图象上，且点P，Q的横坐标分别为2，6，请直接写出直线PQ的表达式和△POQ的面积． ▌题型05 双反比例函数（一）- 同侧双曲线型 【典例5】（2026春•万州区校级期中）如图，点A是反比例函数y（x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，交反比例函数y（x＞0）的图象于点C，点P为y轴上一点，若△ACP的面积为2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【变式5-1】如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于A，B两点，连结OA，OB，已知△OAB的面积为6，则k1﹣k2＝　　． 【变式5-2】如图，点A在函数y的图象上，过A作AB∥x轴，AB与y的图象交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为 　　． 【变式5-3】（2025春•丹徒区期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作AB⊥x轴，垂足为B，线段AB交反比例函数的图象于点C，点D是y轴正半轴上一点，连接AD、BD、CD，如果n﹣m＝10，则△ACD的面积为　　 ． 【变式5-4】（2026•公主岭市模拟）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形AOCB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5-5】（2026•富川县校级一模）如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线的图象上，顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，AB，AC分别与反比例函数的图象相交于点D，E，若四边形ODAE的面积S四边形ODAE＝5，则m的值为（　　） A． B．2 C．1 D．3 【变式5-6】（2026•济南模拟）如图，点B在函数的图象上，过点B（m，n）分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． （1）若点B的坐标为（2，3），求点A坐标和直线OC解析式； （2）当点B为函数图象上的动点，问四边形OABC的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； （3）当OC平分OA与x轴正半轴的夹角，求证此时AC是∠OAB的角平分线． 【变式5-7】（2026•合肥模拟）如图，四边形ABCD的对角线交于点M，且M是AC的中点；AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点B．反比例函数C1：y的图象经过点M，反比例函数C2：y（k≠0）的图象经过点A． （1）求k的值； （2）若点D也在反比例函数C2的图象上，求证：四边形ABCD是菱形． ▌题型06 双反比例函数（二）- 异侧双曲线型 【典例6】（2026•思明区校级模拟）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB平行x轴，连接OA，OB，若4＜k＜6，则△AOB的面积可以是（　　） A． B．4 C． D．5 【变式6-1】（2025春•邗江区期末）如图是反比例函数，在x轴上方的图象，平行四边形OABC的面积是7，若点A在x轴上，点B在的图象上，点C在的图象上，则k2﹣k1的值为　　 ． 【变式6-2】（2025秋•邵阳期末）如图，点A，C在反比例函数的图象上，过点A作x轴的平行线AB，交y轴于点M，交反比例函数的图象于点B．过点C作x轴的平行线CD，交y轴于点N，交的图象于点D．若AB＝6，CD＝3，MN＝3，则b﹣a的值为（　　） A．15 B．12 C．9 D．6 【变式6-3】（2026•月湖区校级二模）如图，已知AD∥x轴，点A在反比例函数的图象上，将段段AD平移，得到线段BC，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形ABCD的中心，S四边形ABCD＝14． （1）求k的值． （2）若点D到x轴的距离为1，求直线AB的解析式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $