1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 课时同步练习卷-2026年暑假预习高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量的坐标与空间直角坐标系同步练，分层梯度清晰，从基础概念到几何体综合应用，适配暑假自主巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点坐标、向量垂直、投影向量等单一概念与运算|单选1-4题直接考查坐标运算，夯实数学抽象与运算能力| |中档|向量夹角、对称问题、共面判断等综合应用|多选9-11题结合空间对称与共面推理，发展几何直观与逻辑思维| |拔高|几何体中空间向量应用（线面垂直证明、体积计算）|解答题18-19题以四棱锥、正方体为载体，需建系解决复杂问题，培养空间观念与模型意识|

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 4．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 5．（25-26高二下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   6．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 7．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可得存在实数，使得，根据坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以与不共线， 又因为点在平面内， 所以存在实数，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 8．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·福建龙岩·期中）下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确； 点关于点对称的点为，B选项错误； 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为，C选项正确； 点关于平面对称的点为，D选项正确； 11．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 【答案】 / 【详解】，解得 . 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 14．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知空间四点：，判断四点是否共面． 【答案】四点共面 【详解】， 则， 因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面. 17．（25-26高二上·浙江·期末）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 18．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断PA与AB的垂直关系，再根据面面垂直的性质定理，推出平面 （2）先建立空间直角坐标系，写出相关点和向量坐标，根据可由和线性表示，列出方程求解计算即可 【详解】（1）因为与都是等腰直角三角形，，， 所以， 中，， 故，即 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示 ， ，， 设，则， 因为平面，，所以可由和线性表示， 设，则，解得 所以， 所以 19．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）如图在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，，的中点． (1)求直线与所成角的余弦值． (2)求证：⊥平面． (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，再利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）根据正方体的几何性质，利用线面垂直判定定理证明结论； （3）利用等体积法，结合三棱锥体积公式计算求解． 【详解】（1）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知正方体棱长为1，E，F，G分别是，，的中点， 则， ， 设直线与所成角为，则 . （2）在正方体中，底面，底面， ， 为中点，是等腰直角三角形， ， 又，平面， 平面． （3） ． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏泰州·期末）已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A．11 B．8 C．6 D．12 8．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·福建龙岩·期中）下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 11．（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 14．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知空间四点：，判断四点是否共面． 17．（25-26高二上·浙江·期末）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 18．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 19．（25-26高二下·湖南衡阳·期中）如图在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，，的中点． (1)求直线与所成角的余弦值． (2)求证：⊥平面． (3)求三棱锥的体积． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $