1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高二数学暑假预习人教B版选择性必修第一册

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点1空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 【注意】(1)零向量的坐标为(0，0，0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 知识点2空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 知识点3空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0). (1)空间向量的平行： a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔. (2)空间向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 知识点4空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴. (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面. (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直.如图(1)(2)所示. 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 【注意】(1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 知识点5空间向量的坐标 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同.即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z). 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (2)||＝. (3)线段AB中点M的坐标为. 【注意】在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　空间向量求数量积 考点三　空间向量投影问题 考点四　空间向量模长的坐标表示 考点五　空间向量夹角余弦的坐标表示 考点六　利用空间向量坐标求平行垂直问题 考点七　利用空间向量坐标求共面问题 考点八　空间点的对称问题 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 3．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 4．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 考点二　空间向量求数量积 5．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 6．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意可得，则． 7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 考点三　空间向量投影问题 9．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 11．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 12．（25-26高二上·上海·期末）空间向量在上的投影向量的模为__________. 【答案】/ 【分析】根据投影向量的定义和空间向量夹角的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以空间向量在上的投影向量的模为 . 故答案为： 13．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】/ 【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 向量在向量上的投影向量的模为： ， 故答案为：. 14．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在坐标平面上的投影的性质求解. 【详解】因为点在坐标平面内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0. 所以. 故选：C 考点四　空间向量模长的坐标表示 15．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由共线向量可设，再由数量积运算即可求解． 【详解】由，，得， 由得，，得，则， 得， 故选：C 16．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 17．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可. 【详解】向量，，共面，存在实数使得，即， ，解得，， ， . 故选：A. 18．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 考点五　空间向量夹角余弦的坐标表示 19．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 20．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，，则角的大小为_________ 【答案】/ 【分析】根据向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】由已知，，， 则， ，， 所以. 因为，所以. 21．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 【答案】 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则； 由. 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 22．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 23．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 24．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 考点六　利用空间向量坐标求平行垂直问题 25．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 26．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用两向量垂直等价于数量积为0，得出方程，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴， 解得：. 27．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 28．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 29．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得. 30．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 考点七　利用空间向量坐标求共面问题 31．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知空间向量，，． (1)设，，求； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据共线设，再用模长公式求，回代得. （2）由共面设，列方程组先解、，再求. 【详解】（1）解：（1）， 存在实数，使得，即， 又，，解得， 当时，，当时，. （2）（2）向量与向量，共面， 存在有序实数对，使得， ， ，解得 实数的值为 32．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知，若四点共面，则实数__________． 【答案】 【分析】根据向量共面的性质得出向量间的线性关系，再根据向量坐标列方程组求解． 【详解】四点共面， 向量可由线性表示，即存在实数，使得， ，解得， ． 故答案为：． 33．（25-26高二上·福建福州·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由空间向量的模长公式求出，然后根据空间向量垂直的坐标公式即可求解； （2）根据空间向量共面的条件即可求解. 【详解】（1）因为，所以 且 因为向量与垂直， 所以，即或， 解得或，所以或. （2）因为向量与向量，共面，所以设， 因为， 即，解得， 所以实数的值为. 34．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据四点共面，可得存在唯一实数对，使得，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】因为四点共面，所以与共面， 又向量不共线， 即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得， 故选：B. 考点八　空间点的对称问题 35．（25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． 36．（25-26高二上·广西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点关于平面对称的特点即可得到答案. 【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数， 则点N坐标为. 故选：B. 37．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间坐标系中点的对称特征即可求解. 【详解】点关于点的对称点的坐标是， 即. 故选：A 38．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在空间直角坐标系中，给出以下结论： ①点关于原点的对称点的坐标为； ②点关于平面对称的点的坐标是； ③已知点与点，则的中点坐标是； ④两点间的距离为5.其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性即可判断①②；根据中点坐标即可判断③；根据空间中两点间的距离公式即可判断④. 【详解】对于①，点关于原点的对称点的坐标为，故①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，故②正确； 对于③，点与点中点坐标是，即， 故③正确； 对于④，间的距离为，故④错误. 故选：C. 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 2．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直得到的值，进而求出. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A 3．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，列出方程求得，得到，结合向量的数量积和投影的数量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，即， 则，且， 所以向量在上的投影数量为. 故选：B. 4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A，在上的投影向量为，计算即可；对于B，判断，，是否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出的正负，讨论，共线时的特殊情况即可. 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错； 对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误； 对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错； 对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·湖南张家界·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对称性质可知点关于平面的对称点的坐标为. 7．（25-26高二上·湖北孝感·期中）（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】AD 【分析】结合空间直角坐标系点的坐标特征对选项逐一分析即可. 【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确； 点关于轴对称的点是，所以B选项错误； 点关于平面对称的点是，所以C选项错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确． 故选：AD. 8．（25-26高二下·江西·阶段检测）（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若三点共线，则 【答案】BD 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 9．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 11．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 【答案】 【详解】， ，即，解得. 13．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 【答案】 / 【详解】，解得 . 14．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则____． 【答案】 【分析】由空间向量的基本定理求解即可. 【详解】∵，，，. ∴，，． 若四点共面，则， 即， 所以，所以． 故答案为： 15．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是_______. 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称特征可得. 【详解】因点在平面的垂足，所以M关于N的对称点为. 所以点关于平面的对称点为. 故答案为：. 16．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】 【分析】先由投影向量的概念求出的坐标，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】向量在平面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 则，因，则. 故答案为：. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识点1空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 【注意】(1)零向量的坐标为(0，0，0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 知识点2空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 知识点3空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0). (1)空间向量的平行： a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔. (2)空间向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 知识点4空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴. (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面. (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直.如图(1)(2)所示. 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 【注意】(1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 知识点5空间向量的坐标 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同.即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z). 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). (2)||＝. (3)线段AB中点M的坐标为. 【注意】在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 考点一　空间向量的坐标运算 考点二　空间向量求数量积 考点三　空间向量投影问题 考点四　空间向量模长的坐标表示 考点五　空间向量夹角余弦的坐标表示 考点六　利用空间向量坐标求平行垂直问题 考点七　利用空间向量坐标求共面问题 考点八　空间点的对称问题 考点一　空间向量的坐标运算 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点二　空间向量求数量积 5．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 6．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 考点三　空间向量投影问题 9．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海·期末）空间向量在上的投影向量的模为__________. 13．（25-26高二上·广西崇左·期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 14．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点四　空间向量模长的坐标表示 15．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 16．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 17．（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 18．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 考点五　空间向量夹角余弦的坐标表示 19．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 20．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知，，，则角的大小为_________ 21．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 22．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 23．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 24．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 考点六　利用空间向量坐标求平行垂直问题 25．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 26．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 27．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 28．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 29．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 30．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 考点七　利用空间向量坐标求共面问题 31．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）已知空间向量，，． (1)设，，求； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 32．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知，若四点共面，则实数__________． 33．（25-26高二上·福建福州·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 34．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 考点八　空间点的对称问题 35．（25-26高二·全国·暑假作业）已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·广西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在空间直角坐标系中，给出以下结论： ①点关于原点的对称点的坐标为； ②点关于平面对称的点的坐标是； ③已知点与点，则的中点坐标是； ④两点间的距离为5.其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南张家界·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北孝感·期中）（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 8．（25-26高二下·江西·阶段检测）（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若三点共线，则 9．（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 10．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知向量，若，则________． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）若，且两两垂直，则_____________， ___________，________． 13．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）已知向量，且，则________________． 14．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则____． 15．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是_______. 16．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $