精品解析：河南信阳高级中学国际部高考班2025-2026学年高二下学期7月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 3. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因，，， 则， 代入可得即．解得． 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 5. 某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（ ） A. 2160 B. 3240 C. 4320 D. 5040 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 6. 某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【详解】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 7. 设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得， 所以. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得为中点，再设出点坐标，可表示出点坐标，则可利用及点在双曲线上列出与、、有关等式，最后利用离心率定义计算即可得. 【详解】由，为中点，则为中点， 由在第二象限，可设，则， 由，则， 整理得， 由在双曲线上，则有， 整理得，则， 整理得，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D. 相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，残差定义：残差 = 实际值 - 回归预测值. 若所有残差都为0，说明所有样本点都落在回归直线上，线性拟合效果达到最优；A 正确. 对于B，，所以这组数据的百分位数是，B错误； 对于 C，独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定；C 错误. 选项 D，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，线性相关性越弱；D 正确. 10. 如图，四面体中，分别为，的重心，则（ ） A. 与可能平行 B. 平面 C. 若与均为等边三角形，则平面⊥平面 D. 若与均为等边三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，假设平行，推出矛盾，A错误；B选项，利用比例关系得到平行关系，得到线面平行；C选项，先得到线面垂直，进而证明面面垂直；D选项，在C基础上，根据锥体体积公式可得两者相等. 【详解】A选项，假设，因为平面，平面， 所以平面，但是与平面显然有交点，故假设不成立，A错误； B选项，如图，取的中点，连接， 因分别为，的重心，则分别过点，且， 所以，又因平面，平面，故平面，B正确； C选项，由B知，平面即为平面， 若与均为等边三角形，则⊥，⊥， 又，平面， 所以⊥平面，又平面，故平面⊥平面，C正确； D选项，易知，所以为等腰三角形， 过点作⊥于点，过点作⊥于点，则， 由C可知，⊥平面，又平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 同理可得⊥平面， 所以，， 又，，所以，D正确. 11. 日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 设，则为等比数列 D. 设，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设植物总数为，寿命为年的植物数为，由题意，在此基础上利用变形推理得出，即可判断AC，再由的关系求出判断B，根据错位相减法求和判断D. 【详解】设植物总数为，寿命为年的植物数为， 由题意，， 则① ② ②①得，， 即，故，故A错误； 由， 故，故B正确； 由， 故，即为等比数列，故C正确； 因为， 设，则， ， 相减可得 ， 所以，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：难点在于理解对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为，这句话的数量表示是本题推理论证的基础，能否理解并用数学式子表示是解题的关键与难点. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，且.则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且，所以，整理得，解得. 13. 函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于的函数，利用导数求出的值域，进而得出函数的值域． 【详解】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又， 所以，即， 所以． 14. 已知函数有零点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最小值，再结合几何意义，即可求解. 【详解】设的零点为，则，即， 可看作直线上的一点， 因坐标原点到直线的距离为，显然到原点的距离， 故可先求的最小值，令，设，则， 当时,当时，, 故在上为减函数，在上为增函数，则， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. （1）求证：； （2）若为的边上的高，求的取值范围. 【答案】（1）由得 ， 两边同时约去，并由正弦定理得：， 所以，即. 在中，因为，为内角，所以，或 . 若，则（舍去）. 故，即.证毕. （2）. 【解析】 【分析】（1）先将向量数量积转化为边与角的关系，得，再用正弦定理化边为角，结合两角差的正弦公式，得，结合三角形内角范围排除矛盾情况，可证得结果； （2）由已知与正弦定理，由高的定义得，代入目标式化简为，结合的范围求三角函数值域，即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，由正弦定理得， ，又 ， 所以. 由三角形内角均为正数，即，解得， 所以，， 所以. 16. 已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】（1） （2） 证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，． 联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【小问1详解】 由题意，，， 所以， 所以C的方程为． 【小问2详解】 略 17. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】（1）0.4； （2） 的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）应选.【解析】 【分析】（1）利用古典概率求得结果. （2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列. （3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果. 【小问1详解】 设甲市场销售量为4吨的事件为A， 则. 【小问2详解】 设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 【小问3详解】由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 18. 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． （1）证明：； （2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； （3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 【答案】（1）平面，则，， 平面，则，， ，且是平面的法线， 平面， 又平面，平面平面， ， ， ． （2） 平面，且平面， 平面平面，交线为， 在平面内的投影在上，故直线与平面所成角 为 的余角，即， 设平面与平面的交线为，则，且 平面， 平面， 平面， ， 又 ， ， 二面角的平面角， ， ，则， ，为定值． （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用线面垂直判定定理证明结论； （2）利用向量投影得出，利用二面角的性质得出 ，结合 得出 为定值，从而证明结论； （3）建立空间直角坐标系，利用已知条件求出各点坐标，进而求出相关向量，求出平面法向量，再利用点到平面距离公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，E为线段 的中点， 则， 设点， ， 设平面的法向量为，则 ，令 ，则， 点到平面的距离， 当时，分母最小， 最大， ． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）已知数列满足，且，证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值范围分类讨论可求得其单调性； （2）根据（1）中的结论可知当时，求出其单调性可得，再构造函数，求出其单调性和最值可得，可得结论； （3）由（2）可知令，可得，所以，设，令，只需证，即证 ，设 ，则，即可得出结论. 【小问1详解】 易知的定义域为， 易知. ①当时， 恒成立，即，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 证明：当时，， 由（1）知，在上单调递减，则，即， 令，则， 当时，，故在上单调递增，则，即， 综上可知，当时， . 【小问3详解】 证明：由（2）可知，当时， ， 令， 因为，且，易知， 则，两边同时取倒数得， 所以，即，即. 设， 令，则有， 即， 当时，要证，即证，只需证， 只需证，即证，即证 ， 故设 ，由知， 则， 令，， 当时，，单调递减； 故，从而，在上单调递减，，即， 由上式知，则. 当时，，不等式也成立； 综上，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则为（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（ ） A. 2160 B. 3240 C. 4320 D. 5040 6. 某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为和，过的直线交双曲线的右支于点，交双曲线的一条渐近线于点（在第二象限）.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（   ） A. 对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B. 数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C. 独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D. 相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 10. 如图，四面体中，分别为，的重心，则（ ） A. 与可能平行 B. 平面 C. 若与均为等边三角形，则平面⊥平面 D. 若与均为等边三角形，则 11. 日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数，寿命恰好为的植物在所有寿命不小于的植物中的占比为.记“一株植物的寿命为”为事件，“一株植物的寿命不小于”为事件.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 设，则为等比数列 D. 设，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，且.则________. 13. 函数的值域为___________． 14. 已知函数有零点，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. （1）求证：； （2）若为的边上的高，求的取值范围. 16. 已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． （1）求的标准方程； （2）过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 17. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 18. 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． （1）证明：； （2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； （3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，； （3）已知数列满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $