精品解析：河南新乡市多校联考2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 因为集合，所以． 2. 已知两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，解得或， 但当时，，不满足题意，故， 则“”是“”的充要条件. 3. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，函数是奇函数，但在定义域上不单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在上单调递减，所以函数在定义域上单调递减，符合题意，C正确； 选项D，在中，解，得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，不符合题意，D错误． 4. 已知为锐角，，，则=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为为锐角，，所以. 因为，所以，且， 所以， 所以 . 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 6. 在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定三棱锥外接球球心的位置，进而求出外接球半径，再利用球的表面积公式求球的表面积. 【详解】如图，取的中点E，连接， 因为，所以，， 所以，又，所以． 分别取与的外心，易知点分别在上， 过点G，F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心． 由已知可得，，连接OE，易得， 所以，则，则， 所以在中，， 即三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点， 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：C. 8. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数图象变换得到，对于的任意取值，在上有唯一解，关键是转化得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解． 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 因为，所以， 由图可知，，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的有（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，复数的虚部为，故A正确； 选项B，复数在复平面内对应的点为，此点位于第三象限，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，因为，所以， 所以，故D错误. 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是递减的等差数列 B. C. ，，成等比数列 D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】使用等差数列与等比数列的定义，通项公式，使用与的递推关系分析选项A，使用通项公式求解选项B，使用等比数列的定义分析选项C，使用等差数列的性质分析选项D. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 因为，所以数列是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，可得，，， 即，所以，，成等比数列，故C正确； 当时，令，解得，； 令，解得，； 令，解得，； 所以当或4时，取得最大值，故D正确． 11. 若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 一条直线上 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆的定义，结合圆的位置关系分析可得. 【详解】由得， 易知圆心，半径， 圆的圆心，半径. 因为圆，有公共点，则， 解得，则， 设动圆的圆心为，半径为， 若圆与圆，都外切，则， 当时，由双曲线定义可知，此时圆心在双曲线的一支，B正确； 当时，圆心在轴上（不含线段）， 若圆与圆外切，与圆内切，则， 当时，由椭圆定义可知，圆心在椭圆上，A正确； 当时，圆心在线段上， 综上，圆心在轴上（不含点，），D正确； 由上述分析可知，动圆圆心只能在椭圆、双曲线和轴上，不可能在抛物线上，C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调性即可． 【详解】因为函数，定义域为， 所以． 解，得， 所以函数的单调递增区间为． 13. 展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通式求解. 【详解】因为的展开式的通式为：， 当时，. 故展开式中的系数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式的展开式通项公式，考查指定项系数的求解，较简单. 14. 已知为空间中27个点构成的集合，点．记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对的每个点，令，则的数学期望为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算没剔除时所有可能性的样本点的总和，再作减法，即可求得期望. 【详解】由题意，得全集有27个点，点，所以样本空间中有26个点． 随机变量，则． 全集上所有点的坐标分量之和，由对称性，每个坐标分量独立取值于， 且每个值出现次数相等，对第一个分量，每个取值出现次， 所以． 同理，，，所以． 去掉点，其坐标和为4，故， 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） （1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. （2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望 【解析】 【分析】（1）先换算每周活动达标时长，确定对应事件，算出相关概率，代入条件概率公式求解结果. （2）依据区间频率比确定分层抽取人数，确定随机变量取值，用组合数计算各概率列出分布列，再计算数学期望. 【小问1详解】 由题意，一周共7天，达标学生每周累计活动时长不少于小时. 每天活动时间不少于3小时对应每周时长不少于3小时. 设事件为“小明是达标学生”，事件为“小明每天活动时间不少于3小时”. 则：，. 根据条件概率公式，代入得. 【小问2详解】 活动时长在和的频率比为. 根据该比例抽取5人时，从中抽取5人，从中抽取5人. 随机变量的所有可能取值为，计算对应概率： ， ， ， 因此的分布列如上 X 0 1 2 P 数学期望：. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，角为钝角，，且． （1）证明：； （2）若的中线，求． 【答案】（1）证明：由，，得， 所以． 因为，， 所以，解得． 所以． 因为为钝角，即，，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明； （2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角，通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由为边上的中线，得， 所以（）． 将，，，代入， 得，所以． 由正弦定理，得． 由题意，得解得 因为， ， 所以，即． 将代入，得， 整理得，解得． 17. 如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在长方体中，建立空间直角坐标系，如图． ，，，，， ，，，，，． ，，， ，，即； ，，即． 又，，平面，平面． （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理可证； （2）由面面角的向量求法可得； （3）在棱上取点，使，连接，利用线面平行可证点到平面的距离与点到平面的距离相等，再利用等体积转化计算即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则 ，， 令，则，，． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 在棱上取点，使，连接． ，．，． 又平面，平面，平面． ∴点到平面的距离与点到平面的距离相等， ． ，，. ，， ， 即三棱锥的体积为2． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，． 【答案】（1） （2）证明：不等式即，所以． 因为当时，，所以只需证，即． 令，则. 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，所以恒成立． 所以当时，． 当时，令，则． 令，则． 因为，所以． 令，，则恒成立， 所以在上单调递增． 所以． 所以在上恒成立，所以即在上单调递增． 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递减． 因为，所以，所以． 综上，当时，恒成立． 【解析】 【分析】（1）使用导数的几何意义求解； （2）不等式即，即证明，当时使用放缩法与导数求解，当时，构造函数使用导数求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以切点的坐标为． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点（点在轴上方），的面积为2． （1）求抛物线的标准方程． （2）过点的直线与抛物线交于，两点，直线与线段交于点． ①证明：直线轴； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明：由（1）知，抛物线，，，． 由题意知直线的斜率存在，且，所以直线的方程为，． 由消去，整理得． 由，解得，且， 所以，，所以． 直线的方程为， 令，得，即， 所以直线轴． ② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由，求解即可； （2）①直线的方程为： ，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，从而得，求出直线与的交点纵坐标为，通过化简可得，即可得证； ②不妨设，则，由三角形的面积公式可得，利用换元法及导数求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，直线的方程为． 解得所以，，则． 由题意，得，解得， 所以抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 ①略 ②解：由题意，得． 不妨设，则，所以． 令，则，． 令，，则． 解，得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以在处取得极大值，也是最大值． 因为，所以面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数是奇函数且在定义域上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为锐角，，，则=（ ） A. B. C. D. 或 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（     ） A. B. C. D. 8. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列结论中正确的有（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 已知数列的前项和，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是递减的等差数列 B. C. ，，成等比数列 D. 当或4时，取得最大值 11. 若两圆，有公共点，当m变化时，与圆，都相切的圆的圆心可能在（ ） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 一条直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为________． 13. 展开式中的系数为__________． 14. 已知为空间中27个点构成的集合，点．记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对的每个点，令，则的数学期望为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） （1）已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. （2）从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，角为钝角，，且． （1）证明：； （2）若的中线，求． 17. 如图，在长方体中，，，．点在棱上，且，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点（点在轴上方），的面积为2． （1）求抛物线的标准方程． （2）过点的直线与抛物线交于，两点，直线与线段交于点． ①证明：直线轴； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $