第08讲 导数的运算与几何意义（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的运算与几何意义，涵盖导数概念、几何意义、求导公式、运算法则及复合函数求导等核心考点，按知识解构与题型破译构建体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破切线问题等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用“四步满分模板”“万能通用解法”等创新策略，如过点切线题型通过“设切点—列方程—解方程—验根”培养数学思维，结合分层训练和真题溯源，保障复习效果。助力学生规范解题步骤，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第08讲 导数的运算与几何意义 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导数的概念 知识点2 导数的几何意义 知识点3 基本初等函数的导数公式 知识点4 导数的运算法则 知识点5 复合函数的定义及其导数 题型破译 (含超链接） 题型1 导数的运算 题型2 曲线在定点处的切线 题型3 过平面定点的曲线切线 题型4 切线与直线平行、垂直问题 题型5 双曲线公切线 题型6 切线含参综合问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的概念 秋考第11题 / / 导数的几何意义 秋考第19题 春考第19题 / 秋考第21题 导数的计算 / / 春考第16题 考情分析 必考核心内容：八大基本初等函数求导、四则运算、复合链式求导；曲线上定点切线、曲线外过点切线两大核心题型；切线平行、垂直的斜率应用。 上海卷命题特色：弱化超纲技巧（不考洛必达法则、高阶导数、复杂极限推导），侧重解题规范、定义域细节、逻辑严谨性。 高频命题陷阱：混淆两类切线题型、忽略函数定义域、复合求导漏乘内层导数、解题步骤不规范导致阅卷扣分。 2027届一轮备考预测 基础切线计算题持续常态化考查；中档题型重点考查过点多解切线、简单双曲线公切线、切线求参；压轴题型侧重切线结合恒成立不等式、参数范围、零点问题，综合性进一步提升。 复习目标 1. 基础保底目标（全员必达成，零失分） 熟练背诵所有求导公式与运算法则，零计算失误；精准区分“在点切线”与“过点切线”；规范完成切线方程书写，熟练解决切线平行、垂直基础题型，小题、大题基础问不丢分。 2. 中档提分目标（100–130分学生突破重点） 熟练掌握过点切线通用设切点解法，能独立求解切点参数、判断切线条数；快速完成复合函数、指对分式混合函数求导；掌握基础公切线模型，结合数形结合思想分析切线与曲线位置关系。 3. 压轴拔高目标（130+满分冲刺） 突破含参切线分类讨论问题；适配上海新定义切线类题型，掌握基础切线放缩技巧，精准取舍定义域内有效根，攻克压轴。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝. 自主检测 1．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设函数在上处处存在导数，其导函数为.已知点、，在曲线上如图，则在下列选项中正确的是（    ）    A．; B．函数在处附近的平均变化率均小于; C．点是函数的一个极值点; D．函数在区间上不存在驻点. 知识点2 导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 自主检测 2．函数在处的切线斜率为________. 知识点3 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f'(x)＝cos x f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a f(x)＝ex f'(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝ f(x)＝ln x f'(x)＝ 自主检测 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，存在驻点的是（   ） A． B． C． D． 知识点4 导数的运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)； '＝(g(x)≠0)； [cf(x)]'＝cf'(x). 自主检测 4．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________. 知识点5 复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 自主检测 5．函数导数为_________． 题●型●破●译 题型1 导数的运算 例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则______. 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过______分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 例1-3（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 例1-4（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 方法技巧 标准解题流程：优先书写定义域→判断函数结构（和差/乘积/分式/复合）→逐层求导→化简整理、优先因式分解（便于后续判号） 高效提速技巧：复合对数函数 求导直接写 ；分式函数优先拆分简化，规避复杂商法则计算失误。 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，则_________. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）设，函数的导函数为，则__________. 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【变式训练1-4】（2026·上海·三模）已知，则________． 【变式训练1-5】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为__________. 【变式训练1-6】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为． (1)求的值以及函数的单调减区间； (2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 题型2 曲线在定点处的切线 例2-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知，则曲线在处的切线方程是___________. 例2-2（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的图像在点处的切线方程为________. 例2-3（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示） 例2-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）（1）设、为实数，比较与的值的大小； （2） 已知，求曲线在点处的切线方程． 方法技巧 四步满分模板 1. 核验切点横坐标是否在函数定义域内；2. 求导代入 ，得切线斜率 ；3. 计算切点纵坐标 ；4. 点斜式列式，整理为整式方程。 核心特征：已知点为切点，有且仅有一条切线，解题无多解。 【变式训练2-1】（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 【变式训练2-2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_____. 【变式训练2-4】（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 题型3 过平面定点的曲线切线（高频重难点、区分度题型） 例3经过点且与曲线相切的直线方程为__________. 方法技巧 万能通用解法（必考模板） 1. 设切点 ，严格标注 满足函数定义域；2. 写出含参切线方程：；3. 将已知定点 代入方程，构造关于 的方程；4. 求解方程，舍去定义域外无效根，有效根的个数即为切线条数。 应试口诀：题干见“在”直接代点，题干见“过”必设切点。 【变式训练3-1】过点且与曲线相切的直线方程为______． 【变式训练3-2】直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______． 【变式训练3-3】已知函数的导函数是，且． （1）求的解析式； （2）求经过点且与曲线相切的直线方程． 题型4 切线与直线平行、垂直问题 例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______． 例4-2若函数，其中，函数上某一点处的切线，且与①直线垂直，②直线平行，这两个条件中任选1个，求切点的坐标． 方法技巧 平行问题：切线斜率与已知直线斜率相等，求解切点或参数，注意排除直线重合情况。 垂直问题：斜率均存在时，满足 ；若直线为水平线（），切线为竖直线 ，禁止使用乘积公式。 【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为___________. 【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是_____. 【变式训练4-4】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，若点是函数图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数图象上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围. 【变式训练4-5】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. (1)已知，，求的“优点”坐标； (2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 题型5 公切线（中档压轴题型） 例5-1（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，直线l与抛物线、单位圆分别相切于两点，当最小时，p的值等于___________． 例5-2若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线． (1)若和在处有公切线，求实数a、b、c的值； (2)若，求和的公共点P及在点P处的夹角． 方法技巧 双切点联立模型：设曲线 切点 ，曲线 切点 ， 联立两组核心条件：1. 斜率相等：；2. 截距相等：，解出切点参数即可求切线方程。 【变式训练5-1】直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为________． 【变式训练5-2】若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【变式训练5-3】定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. (1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； (2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； (3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 题型6 切线含参综合问题（压轴） 例6-1已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 例6-2已知函数，其中． (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值； (2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围． 方法技巧 核心逻辑：切点同时满足“在曲线上”“切线斜率等于导数值”两个条件，联立方程求解参数；通过方程实根个数分类讨论切线条数、参数取值范围。 【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【变式训练6-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（    ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立. 二、填空题 2．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 三、解答题 3．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 4．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 5．（2023·上海·高考真题）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． (1)若，试问是否为的控制函数”； (2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； (3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 6．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．函数的图象在点处的切线方程为__________________． 2．已知x轴为函数的图像的一条切线，求实数a的值． 3．设l是曲线的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 4．求曲线的与直线平行的切线方程. 5．求下列函数在给定点处的切线方程： (1)； (2)． 6．已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点. (1)求出直线l与m的方程； (2)指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离. 7．设质点M沿x轴做直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且. (1)求到这段时间内质点M的平均速度； (2)求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 3．（2026·上海·模拟预测）函数的驻点为__________． 4．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 5．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为______. 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 7．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则______. 8．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 重难·创新演练 1．（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（   ） A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假 C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真. 2．（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（    ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 3．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______. 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）设，为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数的取值范围为_____________. 6．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________. 7．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 8．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 导数的运算与几何意义 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 导数的概念 知识点2 导数的几何意义 知识点3 基本初等函数的导数公式 知识点4 导数的运算法则 知识点5 复合函数的定义及其导数 题型破译 (含超链接） 题型1 导数的运算 题型2 曲线在定点处的切线 题型3 过平面定点的曲线切线 题型4 切线与直线平行、垂直问题 题型5 双曲线公切线 题型6 切线含参综合问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 导数的概念 秋考第11题 / / 导数的几何意义 秋考第19题 春考第19题 / 秋考第21题 导数的计算 / / 春考第16题 考情分析 必考核心内容：八大基本初等函数求导、四则运算、复合链式求导；曲线上定点切线、曲线外过点切线两大核心题型；切线平行、垂直的斜率应用。 上海卷命题特色：弱化超纲技巧（不考洛必达法则、高阶导数、复杂极限推导），侧重解题规范、定义域细节、逻辑严谨性。 高频命题陷阱：混淆两类切线题型、忽略函数定义域、复合求导漏乘内层导数、解题步骤不规范导致阅卷扣分。 2027届一轮备考预测 基础切线计算题持续常态化考查；中档题型重点考查过点多解切线、简单双曲线公切线、切线求参；压轴题型侧重切线结合恒成立不等式、参数范围、零点问题，综合性进一步提升。 复习目标 1. 基础保底目标（全员必达成，零失分） 熟练背诵所有求导公式与运算法则，零计算失误；精准区分“在点切线”与“过点切线”；规范完成切线方程书写，熟练解决切线平行、垂直基础题型，小题、大题基础问不丢分。 2. 中档提分目标（100–130分学生突破重点） 熟练掌握过点切线通用设切点解法，能独立求解切点参数、判断切线条数；快速完成复合函数、指对分式混合函数求导；掌握基础公切线模型，结合数形结合思想分析切线与曲线位置关系。 3. 压轴拔高目标（130+满分冲刺） 突破含参切线分类讨论问题；适配上海新定义切线类题型，掌握基础切线放缩技巧，精准取舍定义域内有效根，攻克压轴。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f'(x)＝y'＝. 自主检测 1．（25-26高三上·上海普陀·阶段检测）设函数在上处处存在导数，其导函数为.已知点、，在曲线上如图，则在下列选项中正确的是（    ）    A．; B．函数在处附近的平均变化率均小于; C．点是函数的一个极值点; D．函数在区间上不存在驻点. 【答案】D 【详解】A：根据导数几何意义可知：，因此本选项说法不正确； B：由函数的图象可知： ，因此本选项说法不正确；    C：点左右两侧的单调性都是单调递增，所以点不是函数的极值点， 因此本选项说法不正确； D：由图象可知函数在区间上不存在导函数为零的点，所以不存在驻点，因此本选项说法正确，. 故选：D 知识点2 导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0). 自主检测 2．函数在处的切线斜率为________. 【答案】 【详解】，当时，， 所以函数在处的切线斜率为. 知识点3 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f'(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f'(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f'(x)＝cos x f(x)＝cos x f'(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f'(x)＝axln a f(x)＝ex f'(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f'(x)＝ f(x)＝ln x f'(x)＝ 自主检测 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，存在驻点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，求导可得，则函数不存在驻点； 对于B，求导可得，令，解得，则是函数的驻点； 对于C，求导可得，则函数不存在驻点； 对于D，求导可得，则函数不存在驻点. 故选：B. 知识点4 导数的运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)； '＝(g(x)≠0)； [cf(x)]'＝cf'(x). 自主检测 4．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【详解】由，得， 所以， 因为为奇函数，定义域为， 所以，所以， 即，，满足； 所以， 故答案为： 知识点5 复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 自主检测 5．函数导数为_________． 【答案】 【详解】函数的定义域为 ， 可看作由与复合而成， 则. 题●型●破●译 题型1 导数的运算 例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则______. 【答案】 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 例1-2（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过______分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【答案】104 【详解】易知，则， 则分钟. 故答案为：104 例1-3（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 例1-4（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 方法技巧 标准解题流程：优先书写定义域→判断函数结构（和差/乘积/分式/复合）→逐层求导→化简整理、优先因式分解（便于后续判号） 高效提速技巧：复合对数函数 求导直接写 ；分式函数优先拆分简化，规避复杂商法则计算失误。 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海·阶段检测）已知函数，则_________. 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 解得， 故答案为：. 【变式训练1-2】（25-26高三上·上海·阶段检测）设，函数的导函数为，则__________. 【答案】 【详解】由函数，得，则. 故答案为： 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【答案】1 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 【变式训练1-4】（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【详解】， 所以， ， 所以为. 【变式训练1-5】（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，所以， ，所以， ，所以， 以此类推，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 记数列前项的和为， 则. 故答案为：. 【变式训练1-6】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为． (1)求的值以及函数的单调减区间； (2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值． 【答案】(1)， (2)最小值为，对应的取值为 【详解】（1）由题意得，，∴. 由得，， ∴函数的单调减区间为. （2）由（1）得，， ∴， ∴函数的最小值为， 由得，， 综上得，函数的最小值为，对应的取值为. 题型2 曲线在定点处的切线 例2-1（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知，则曲线在处的切线方程是___________. 【答案】 【详解】易知，可得； 又，所以切点坐标为； 因此切线方程为，即. 故答案为： 例2-2（25-26高三上·上海·阶段检测）函数的图像在点处的切线方程为________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，. 所以. 函数的图像在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 例2-3（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示） 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角为. 故答案为： 例2-4（24-25高三上·上海浦东新·期中）（1）设、为实数，比较与的值的大小； （2）已知，求曲线在点处的切线方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）， 当且仅当时等号成立， 所以； （2），则， 因此，曲线在点处的切线斜率为， 于是，所求切线方程为，即. 方法技巧 四步满分模板 1. 核验切点横坐标是否在函数定义域内；2. 求导代入 ，得切线斜率 ；3. 计算切点纵坐标 ；4. 点斜式列式，整理为整式方程。 核心特征：已知点为切点，有且仅有一条切线，解题无多解。 【变式训练2-1】（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 【答案】 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 【变式训练2-2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 【答案】 【详解】由，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：. 【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_____. 【答案】 【详解】设切线的倾斜角为， ， 所以， 所以在点处的切线斜率， 所以， 故答案为： 【变式训练2-4】（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； （2）当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 题型3 过平面定点的曲线切线（高频重难点、区分度题型） 例3经过点且与曲线相切的直线方程为__________. 【答案】或 【详解】设切点为，由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 化简得，解得或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故答案为：或 方法技巧 万能通用解法（必考模板） 1. 设切点 ，严格标注 满足函数定义域；2. 写出含参切线方程：；3. 将已知定点 代入方程，构造关于 的方程；4. 求解方程，舍去定义域外无效根，有效根的个数即为切线条数。 应试口诀：题干见“在”直接代点，题干见“过”必设切点。 【变式训练3-1】过点且与曲线相切的直线方程为______． 【答案】或 【详解】由题意，设切点坐标为，则， 又由函数，可得，可得，所以， 根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即， 解得或，所以切线的斜率为或， 所以切线方程为或，即或. 故答案为：或. 【变式训练3-2】直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______． 【详解】因为， 所以， 不妨设直线l与的切点为，斜率为， 则，解得或或， 当时，直线l为； 当时，直线l为，即； 当时，直线l为，即； 综上：直线l的方程为或或. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式训练3-3】已知函数的导函数是，且． （1）求的解析式； （2）求经过点且与曲线相切的直线方程． 【详解】解：因为， 所以， 则， 解得， 所以． 设该切线的切点坐标为， 因为 所以该切线方程为， 将代入方程整理得， 解得， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以经过点且与曲线相切的直线方程为或. 题型4 切线与直线平行、垂直问题 例4-1（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的图象在处的切线与直线平行，则______． 【答案】 【详解】由求导得，则， 因为函数的图像在处的切线与直线平行， 所以，即，解得． 例4-2若函数，其中，函数上某一点处的切线，且与①直线垂直，②直线平行，这两个条件中任选1个，求切点的坐标． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】不管选哪个条件都有，从而求导建立方程即可求解. 【详解】设该切点，设在该点处切线的斜率为k． ①因为切线与直线垂直，所以，解得． 所以，由导数的几何意义知， 所以，， 所以切点的坐标为； ②因为切线与直线平行，所以．所以， 由导数的几何意义知， 所以，， 所以切点的坐标为． 方法技巧 平行问题：切线斜率与已知直线斜率相等，求解切点或参数，注意排除直线重合情况。 垂直问题：斜率均存在时，满足 ；若直线为水平线（），切线为竖直线 ，禁止使用乘积公式。 【变式训练4-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 【答案】3 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为___________. 【答案】或 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为， 由，可得曲线在点处的切线斜率为， 由切线与直线平行，得，解得， 当时，切点为，此时切线方程为，即； 当时，切点为，此时切线方程为，即， 故所求切线方程为或. 故答案为：或 【变式训练4-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】当时,，， ，， 在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，， 所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， 两条切线互相垂直，，，， 令，， 设，， 因为在上单调递增，，即， 所以． 故答案为：. 【变式训练4-4】（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，若点是函数图象的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数图象上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意存在两条互相垂直的切线，不妨设为和处的切线，且， 由于，则， 为使得、处切线垂直，即， 又，必然，，即，， 当时，，切线方程为，即； 当时，，切线方程为，即， 两切线和的交点为， 所以. （2），则， 设、处切线垂直，则，得，即. 在处切线方程为，即， 在处切线方程为，即， 联立，解得，， 即切线的交点为， 所以函数的所有“特征点”在定直线上. （3）设曲线上处的切线经过曲线上的点. ，，， 则在处切线方程为，即， 代入后，可得， 因式分解可得， 即或， 这两处的切线经过曲线上的点， 由于该点不属于，则， 设， 其中满足，即，所以的取值范围是. 可化为. 故方程在上无解， 即在上无解， 的对称轴为，所以，得，解得， 所以的取值范围是. 【变式训练4-5】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，其图像的两条互相垂直的切线的交点记为点，并称点是函数的“优点”. (1)已知，，求的“优点”坐标； (2)已知，求证：函数的所有“优点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)已知，若函数存在“优点”，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以 ， 设两条互相垂直的切线的切点横坐标为， 则它们的斜率分别为， 由两直线垂直得，即， 因为，，故或， 即或， 当时，，，则两切点为，， 则切点处的切线方程：， 切点处的切线方程： ，即， 当时，结果同上， 联立方程：，解得，即“优点”为 . （2）因为，所以， 设两切点横坐标为，斜率， 由垂直条件得到，解得， 两个切点分别为， 过的切线方程为，即， 过的切线方程为 ，即， 联立， 两式相减：， 因为，所以， 将代入得到， 由，故，因此所有“优点”都在直线上. 故函数的所有“优点”在一条定直线上，且这条直线的方程为. （3）因为，所以， 设两切点横坐标为，则斜率， 两个切点分别为，， 则过的切线方程为 ， 过的切线方程为 ， 联立两切线方程，令交点为，两式相减， 得到， 左边因式分解： ， 右边因式分解： ， 因为，所以 ， 令，则上式变为， 且满足， 由得到 ， 得到 ， 即， 要存在“优点”，即存在实数 满足上述方程， 将其视为关于的二次方程， 则有， 即，即，即， 这说明存在实数使得 ， 即或有解， 当时，可取任意实数，故只要，总能找到满足不等式； 当时，， ，两条切线斜率均非负， 无法满足乘积为，故不成立， 故实数的取值范围是：. 题型5 公切线（中档压轴题型） 例5-1（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，直线l与抛物线、单位圆分别相切于两点，当最小时，p的值等于___________． 【答案】 【详解】解：令，根据则， ,则直线的斜率为， 切线为，化简得， 即， 直线又与单位圆相切，则， 即， 则 ， 当且仅当， 即，即，时取“”． 故答案为：． 例5-2若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线． (1)若和在处有公切线，求实数a、b、c的值； (2)若，求和的公共点P及在点P处的夹角． 【详解】（1）因为函数的图像都经过点，， 即，解得；， 又因为在点处有相同的切线，所以. 而，，，即， 代入中，因此，故、、. （2）因为函数和的图像都经过点，， 即，，故点，而，， ，，设在点P处的夹角为， 故有，代入，计算得， 故夹角为. 方法技巧 双切点联立模型：设曲线 切点 ，曲线 切点 ，联立两组核心条件：1. 斜率相等：；2. 截距相等：，解出切点参数即可求切线方程。 【变式训练5-1】直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】设曲线的切点为：， 所以过该切点的切线斜率为， 因此过该切点的切线方程为： 设曲线的切点为：， 所以过该切点的切线斜率为， 因此过该切点的切线方程为：， 则两曲线的公切线应该满足：，可得, 构造函数 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数有最大值为，当时，，当，函数的图象如图所示： 示想有设曲线设曲线的公切线有两条， 则的取值范围为，即. 故答案为： 【变式训练5-2】若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 【变式训练5-3】定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. (1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； (2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； (3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【详解】（1），所以曲线在点处的切线方程为， 即， 因为圆与曲线在点处“一线切”， 所以直线与圆在点处相切， 所以，所以. （2）设，， 由题意，，所以， 解得. (3)不存在点满足条件，理由：假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立， 则有，从而，显然， 于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件 题型6 切线含参综合问题（压轴） 例6-1已知函数，及点. (1)若点在的图象上，求曲线在点处的切线的方程； (2)若点在的图象外，过点与的图象相切的直线斜率是1，求的取值. 【详解】（1）由点在的图象上，得， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1， 得，解得， 所以的值为. 例6-2已知函数，其中． (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值； (2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 由题意得，，即， 解得，； （2），由题意得，在R上恒成立， 则， 化简得，解得． 方法技巧 核心逻辑：切点同时满足“在曲线上”“切线斜率等于导数值”两个条件，联立方程求解参数；通过方程实根个数分类讨论切线条数、参数取值范围。 【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）， 易得当时，，在上单调递减， 所以； 当时，令， 若，则在上单调递增， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减，在上递增， ，矛盾舍去. 综上. 【变式训练6-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）设二次函数，且函数图象与轴交于. (1)求函数的解析式； (2)求的图象在点处的切线方程； (3)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围； 【详解】（1）由函数的图象与轴交于可得， 由可得，解得， 所以函数； （2）由（1）可知， 求导可得， 所以函数在点切线斜率为， 故切线方程为； （3），在上有两个不同零点， 需满足：① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负； 所以，解得或； 对称轴为，故，即； （恒成立）；，解得； 综上，. 【变式训练6-3】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为函数在处的切线与x轴平行， 所以，解得． （2）函数的定义域为， ． 令得或， 所以当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； 综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． （3）由（2）知，当时，函数在区间上严格减， 在区间上严格增，故函数在上的最大值是， 与已知矛盾； 当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件； 当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件； 综上，a的取值范围是． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当时，若，则称为延展函数.已知当时，且，且均为延展函数，则以下结论（    ） （1）存在与有无穷个交点 （2）存在与有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立. 【答案】D 【详解】当时，，则， 又，则由延展函数定义可得； 同理可得，当，；； 任意，当时，. 当时，，则，则； 同理可得，当时，；； 当时，； 当，；当，；； 则任意时，当. 如图，作出与大致图像， 因为，如图可知，不存在直线与图象有无穷个交点，故（1）不成立； 又因为当，， 故当时， 直线与的图象在区间的函数部分重合， 即有无穷个交点，故（2）成立； 故选：D. 二、填空题 2．（2026·上海·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 三、解答题 3．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 4．（2026·上海·高考真题）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 5．（2023·上海·高考真题）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． (1)若，试问是否为的控制函数”； (2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； (3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 【详解】（1）当时，令， 所以，令解得或， 所以在单调递减， 又因为，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以由题意是的控制函数. (2)当时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线为，整理得， 令，则， 令解得，所以在单调递增，在单调递减， 又，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以是的控制函数， 由题意. (3)由题意 设在处的切线为， 则，因为 且， 所以， 所以， ， 所以， 则即恒成立， 所以函数必是函数的“控制函数”. 是函数的“控制函数” 此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点， 由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有， 所以或. 所以曲线在处的切线过点，且， 当且仅当或时，. 6．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. (1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； (2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ (3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则， 因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而， 故在点处的切线方程为. 而，故， 故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③+④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．函数的图象在点处的切线方程为__________________． 【答案】 【详解】因为，所以，则，即函数的图象在点处的切线方程为，即. 2．已知x轴为函数的图像的一条切线，求实数a的值． 【答案】 【详解】设切点为，，则，解得，． 3．设l是曲线的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 【详解】证明：由题意，设点，为图象上的任意一点， 且点的切线即为，很明显，    ， 则． 故曲线在点，处的切线斜率为， 切线方程为：， 即， 当时，；当时，， 与坐标轴所围成的三角形的面积． 很明显与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关． 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 4．求曲线的与直线平行的切线方程. 【答案】 【详解】设切点为， 因为， 所以， 因为曲线的切线与直线平行， 所以， 解得， 又点在曲线上，则， 所以切点坐标为， 所以曲线的与直线平行的切线方程为： ， 即 5．求下列函数在给定点处的切线方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：因为， 所以， 则， 所以切线方程为：，即； （2）解：因为， 所以， 则，， 所以切线方程为，即． 6．已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点. (1)求出直线l与m的方程； (2)指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离. 【详解】（1）解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：； （2）解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离 7．设质点M沿x轴做直线运动，且在时刻时，质点所在的位置为，且. (1)求到这段时间内质点M的平均速度； (2)求出质点M在什么时刻的瞬时速度等于（1）中求出的平均速度. 【详解】（1）解：由题意可知： ， ， 从到这段时间内质点的平均速度：． （2）解： 所以质点在时刻的瞬时速度， ， 解得， 故从到这段时间内质点的平均速度，质点在的瞬时速度等于这段时间内的平均速度． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 【答案】12 【详解】 3．（2026·上海·模拟预测）函数的驻点为__________． 【答案】， 【详解】函数的定义域为. ， 令，得， 所以，即. 所以函数的驻点为. 4．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 【答案】 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为______. 【答案】 【详解】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为________. 【答案】 【详解】设切点坐标为， ， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以切点坐标为，切线的斜率， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则______. 【答案】 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 8．（2025·上海黄浦·一模）在中，，，．    (1)求的长和的正弦值； (2)若点D在边上，且，设，求的表达式，并判断是否存在，使得在处的瞬时变化率等于． 【详解】（1）， 由余弦定理得， ， 由正弦定理得， ． （2）在中，，， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， 即； 求导得， 假设存在，使得在处的瞬时变化率等于， 则，即①， ，， 式①化简整理得， 在内有解， 存在这样的（）使得在处的瞬时变化率等于． 重难·创新演练 1．（2025·上海·三模）已知曲线，为曲线上任一点，命题：曲线与直线恰有四个公共点；命题：曲线与直线相切；下列说法正确的是（   ） A．命题和命题都为真 B．命题为真，命题为假 C．命题为假，命题为真 D．命题和命题都为真. 【答案】C 【分析】命题，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，命题，利用导数可判断其正误. 【详解】命题：由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，所以， 设且，则，则， 所以， 又因为， 所以的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，，故在有3个不同的实数根，故命题错误； 命题：由，可得，故， 对两边求关于的导数，又随的变化而变化， 则， 故当时，有， 当，，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，命题正确. 故选：C. 2．（2026·上海·模拟预测）若函数满足在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（    ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一、二象限，则可能经过三、四象限 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【详解】为“级导同函数”，即， 若，则，满足， 若，则，，可得(其中是常数)， 所以（其中为常数），， 所以或. 命题①，充分性：为偶函数， 若，则，既不是奇函数，也不是偶函数， 所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足； 必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足. 所以命题①正确； 命题②，若经过一二象限，则， 由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；所以命题②错误. 3．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，直线过定点， 若的图象经过四个象限，则时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负； 当时，与轴的公共点为，， 当时，， 设与相切于，且， 所以，解得或(舍去)， 此时，即切线的斜率为， 由图象可知，即实数的取值范围是， 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）设，为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【详解】因为， 可知的图象是由的图象向右平移2个单位，再向上或向下平移个单位得到的， 当时，如图所示：    取，当的纵坐标趋向于正无穷大的时候，可以无限接近为一个矩形； 当时，若能成为一个矩形，则必有：， 因为， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有，这与矛盾； 当时，取，此时在处切线的斜率为6，取临界， 设，则，解得， 即当时，可以看成极限时候的矩形；    当时，若能成为矩形，必有， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有，这与矛盾； 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________. 【答案】②③ 【详解】设抛物线绕坐标原点顺时针旋转，，后所得三条曲线分别为，，， 抛物线的焦点为，因此的焦点为，的焦点为，的焦点为， 因此，，，， 对于①选项，为曲线与的交点，联立方程，解得，即， 为曲线与的交点，联立方程，解得，即， 又，所以，因此，故①错误； 对于②选项，由上述过程，可得，，所以三角形面积， 故②正确； 对于③选项，根据题意，因为对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，因此只讨论第一象限部分， 第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分，如图， 设该阴影部分面积为，显然， 设，那么导函数，故过点的切线斜率为， 所以过点的切线为，该切线与轴交于点，因此， 则，因此，故③正确； 对于④选项，第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围城，两者关于对称， 与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限， 因此，因此，交点坐标为， 所以“花瓣”图形仅限阴影部分区域，因此，即， 因为曲线和曲线关于对称，所以直线也关于对称， 因此与曲线的交点为， 因此弦长， 设，那么，所以， 因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为， 当时，即时，弦长最长，此时，故④错误. 故答案为：②③ 7．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由： 对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即， 因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. (2) 因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知，（实数为常数），又， 所以，故，于是. (3) 设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 8．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    (3)证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以 ，则，， 显然点在直线，即上，得证. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $