第04讲 基本不等式（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖基础公式、均值不等式链及最值结论，按“知识解构-题型破译”逻辑构建体系。通过命题透视、思维建模、真题溯源等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握“1的代换”“齐次化”等解题技巧，突破多变量最值等难点。 资料以数学思维培养为核心，创新设计“题型靶向突破”教学活动，如针对上海卷高频的“1的代换求最值”，通过例题拆解与变式训练强化运算推理能力。设置分层课后训练，适配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生高考应试能力。

第04讲 基本不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 基础核心公式 知识点2 拓展均值不等式链（上海高频拓展） 知识点3 两大核心最值结论 题型破译 (含超链接） 题型1 “1” 的代换求最值（上海卷必考，中档题） 题型2 条件等式求最值（多变量，中档偏难） 题型3 齐次化求最值（上海卷难题常用） 题型4 恒成立 / 能成立问题（上海卷填空压轴） 题型5 与对勾函数结合求最值（等号不成立时） 题型6 不等式证明（比较大小 / 放缩，中档题） 题型7 实际应用题（上海卷解答题高频） 题型8 与函数 / 导数交汇（上海卷压轴题） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 基本不等式 春考第6题 秋考第8题 春考第6题 考情分析 基本不等式是上海高考数学必考基础核心考点，题型稳定、套路性极强，是一轮复习必须吃透的重点内容。历年考情呈现以下特点： 题型分布：以填空题、选择题为主，偶尔结合函数、解析几何、数列出解答题小问，分值稳定在4–8分。 考查核心：重点考查利用基本不等式求最值、求取值范围，极少直接考查公式证明，侧重灵活变形与条件适配。 命题特点：上海卷注重情境化、变形化，不会直接给出和定、积定条件，多需要通过凑配、换元、代换“1”等构造定值，同时严格考查“一正二定三相等”合规性，高频设置等号取不到的陷阱。 复习目标 1. 基础（必过关） 熟练判断适用条件，会用公式求简单最值，规范书写等号成立条件。 2. 中档（重点突破） 掌握配凑变形、1的代换，能解决分式型最值、简单参数恒成立问题。 3. 拔高（冲刺高分） 攻克多变量最值，熟练应对不等式与函数、数列、几何的综合题型，会简单实际最值建模。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 基础核心公式 对于任意正数 ，基本不等式核心公式： 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 三大使用前提（重中之重）：一正、二定、三相等 一正：参与运算的所有变量均为正数； 二定：变量的和或积为定值（构造最值的核心）； 三相等：必须验证等号能够取到，取不到则不能用基本不等式，需改用单调性求解。 自主检测（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 知识点2 拓展均值不等式链（上海高频拓展） 对 ，恒有： 依次为：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，所有等号均在 时成立，多用于多选、填空压轴最值求解。 自主检测（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 知识点3 两大核心最值结论 积定和最小：若 （定值，），则 ，当且仅当 时， 取最小值 。 和定积最大：若 （定值，），则 ，当且仅当 时， 取最大值 。 自主检测（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 题●型●破●译 题型1 “1” 的代换求最值（上海卷必考，中档题） 例1-1（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 例1-2（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 例1-3（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 【答案】16 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 方法技巧 核心技巧：乘1展开、凑定值、用不等式，规避齐次式无定值问题。 通用公式： 易错分析 牢记：条件是几，就除以几凑1，绝不强行代换；代换展开后优先观察交叉项是否为互为倒数的正数项，保证积为定值；所有代换题型必须最后验证等号变量取值是否符合题干范围。 【变式训练1-1】（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 【变式训练1-2】（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 【变式训练1-3】（2025·上海松江·二模）在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为___________. 【答案】1 【详解】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ， 又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 【变式训练1-4】已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是_____． 【答案】15 【详解】由可得，则， . ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值是. 题型2 条件等式求最值（多变量，中档偏难） 例2-1（2025·上海黄浦·一模）若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】因为是正数，所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当，即时，取得最小值； 故答案为： 例2-2（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为________ 【答案】 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 方法技巧 消元法：将二元等式转化为单变量函数，结合定义域求最值； 配凑因式法：变形为乘积定值形式，简化计算。 【变式训练2-1】（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 【变式训练2-2】（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 【变式训练2-3】（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型3 齐次化求最值（上海卷难题常用） 例3-1若，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 例3-2已知，且，则的最小值是______ 【答案】1 【详解】由. 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为3； 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为1； 综上：的最小值是1. 故答案为：1 【变式训练3-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【变式训练3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 题型4 恒成立 / 能成立问题（上海卷填空压轴） 例4-1已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【详解】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 例4-2已知 ，且恒成立，则实数的最大值是____________. 【答案】 【详解】因为，所以，且； 由， ，得； 由，， 得，； 综上，，，， 则原不等式可变为； 设，，， 则； 因为均为负，令，，，所以； 不等式化为，代入，得； 因为，令， 则， 由均值不等式，， 当且仅当，即时取等号， 所以； 因此，． 故答案为：． 方法技巧 恒成立 恒成立 易错分析 恒成立核心口诀：大于恒成立找最大，小于恒成立找最小；所有最值必须是定义域内能够取到的有效值，若等号取不到，需结合函数单调性取边界值。 【变式训练4-1】已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】∵, , ， ∴, 当且仅当时等号成立，即的最小值为2， ∵， ∴，解得. 实数的取值范围为. 故答案为： 【变式训练4-1】已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去），所以. （2）由题意得对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立， 令，则. 当且仅当即时等号成立， 所以即. （3）当即时，经检验满足题意； 当即或时， 由得即， 经检验不合题意； 综上的取值范围为 【变式训练4-3】已知函数，，，. (1)当时，求函数的值域； (2)若存在时，使得有解，求a的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，令， 则， 又在上单调递减，在上单调递增， 故，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以. （2）令，因为，所以， 依题意可得在上有解， 即，即不大于函数的最大值. 令 则函数在上单调递增， 所以当，即时，有最大值， 所以. （3）存在，使得不等式对任意，恒成立， 即， 由，因为在上单调递减，在上单调递增，，所以的最大值为4. 所以对任意，恒成立，即， 令，， ①，即时，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以； ④，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以 综上可得，的取值范围为. 题型5 与对勾函数结合求最值（等号不成立时） 例5-1已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 例5-2【变式训练3-3】若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 【变式训练5-1】函数的值域是________． 【答案】 【详解】易知， ， 当时， ， 当且仅当时取等号， 当时，， ， 当且仅当时取等号， 综上可得函数的值域为， 故答案为：. 【变式训练5-2】设函数满足：对任意的非零实数x，均有．则在区间上的最大值为______． 【答案】 【详解】因为对任意非零实数，均有， 所以，解得， 所以，解得， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 即在上的最大值为． 故答案为： 【变式训练5-3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为40米的水底进行作业，其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；②水底作业需要10分钟，作业时用氧量为升/分钟；③返回水面时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升 (1)将表示为的函数； (2)若，求总用氧量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意得下潜时间分钟，用氧升； 水底作业用氧升； 返回时间分钟，用氧升； 故总用氧量为：，； （2）在上，由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立， 即在上的最小值为， 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，且， 结合在上的图象是连续的，可得 在上的最大值为， 所以取值范围为． 题型6 不等式证明（比较大小 / 放缩，中档题） 例6-1已知，都是正实数，证明：. 【详解】因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 例6-2（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 【变式训练6-1】已知，且，求证： (1)； (2)． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【变式训练6-2】除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【详解】（1）（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； （3）， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 【变式训练6-3】柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【详解】（1）由题意可知要证明，只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由柯西分式不等式可知，当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 题型7 实际应用题（上海卷解答题高频） 例7-1已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． (1)若时，求矩形的面积； (2)求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 【详解】（1）由题意，，则：，， 因为，，，为等腰直角三角形， 故，因此矩形的长， 矩形面积， 代入，，：. （2）由题可得的取值范围为， 矩形面积： ， 即与的函数关系式为：， 因为，所以， 的最大值为，当且仅当，即时取最大值， 此时的最大值为：. 例7-2某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） (1)若，求EF的长； (2)E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 【答案】(1)米； (2)点距离点为米时，绿化区面积最大，最大值为平方米． 【详解】（1）连接，因为 ， 所以 和 为直角三角形， 在 和 中， ， 所以 ， 所以 ， 又 ，所以 , 故 , 所以 ,（米）. （2）设 ，则由（1）得，， （平方米） 当且仅当 时等号成立，解得 ， 此时 （米）， 所以点 距离点 为 米时，绿化区面积最大，最大值为 平方米． 例7-3一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足： (1)求出该服装厂生产1000套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)3.1万元 (2)生产700套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4万元. 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用 【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解； （2）根据二次函数及基本不等式分段求函数的最值即可求解. 【详解】（1）每生产（百套）的销售额（万元）满足： ， 生产1000套此种品牌运动装即，代入，可得（万元）， 已知购买生产与销售权花费为2万元，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元， 生产1000套，成本为（万元），故利润为（万元）， 因此生产1000套此种品牌运动装可获得利润3.1万元. （2）当时，利润， 对于二次函数，图像开口向下，对称轴为， 当时，（万元）， 当时，利润， 根据基本不等式可知（万元） 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当，即生产700套时，利润最大，最大利润为4万元. 因此，生产700套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4万元. 【变式训练7-1】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 【答案】(1)， (2)为时，最小值为1 【详解】（1）由题意得，的面积为， 设正方形的边长为，则由得， ，； （2）由，当且仅当等号成立， 即为时，最小值为1. 【变式训练7-2】“霸王杯”足球比赛正如火如荼地举行，在高一年级某场比赛中，两个班级的比赛场地为矩形（如图），现已知矩形中米，米，宽为米的足球门在边的中间放置. (1)比赛中，小黄同学在距离为米，离为米的地点处获得直接任意球机会，准备直接射门，求其有效射门角度（精确到小数点后1位）； (2)小付同学在边线上带球突破（视作点在线段边上移动），准备起脚向球门射门，求该同学应在何处（长为多少米时）射门角度最大. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）分别作，，垂足分别为，， 由题意可知米，米，米，米， 所以米，米， 在中，， 在中，， ∴. （2）设，，，， 当且仅当时等号成立，此时最大， 所以该同学应在距离点为米时射门角度最佳. 【变式训练7-3】2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)百GPU小时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【详解】（1）因为，又，所以； 所以当时，，又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. （2）由（1）可得， 当时，，， 因为，所以，当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为4； 当时，， 此时 综上所述，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 题型8 与函数 / 导数交汇（上海卷压轴题） 例8-1（2025·上海闵行·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由是二次函数，对称轴为， 再由偶函数的性质可得，， 而该函数图象与轴交点的纵坐标为， 根据，因此，即， 取等号条件分别为或， 所以该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为. 故答案为： 例8-2（2025·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】已知分段函数，且实数满足， 令, 对于，由，， 对于，， 因，故，，否则不满足， ， 故， 设，令，等价于求的最大值， ，当且仅当即时取等号, 此时，故, 综上，的最小值为. 故答案为： 例8-3（2025·上海闵行·一模）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)已知函数定义域内的满足，求证：； (3)设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 因为，所以， 故. （2）， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 又，所以. （3）因为在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，则，所以， 将代入， 得，， 令，，则，，所以， 所以实数的取值范围是. 【变式训练8-1】（25-26高三上·上海·期末）已知正实数满足，则的最小值为_________． 【答案】16 【详解】已知， 化简得，， 整理为， 由对数运算法则，得， 由题意， 已知. 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号. 将代入，得， . 故答案为：16 【变式训练8-2】（2025·上海闵行·一模）已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设，则在严格递增，又， 所以，即，故. ， 故：， 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数，故实数m的最小值为, 则正实数的取值范围是 故答案为： 【变式训练8-3】已知函数.函数的定义域为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，判断函数的单调性并证明. 【详解】（1）当时，函数. 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）当时，，函数在上单调递增. 证明：设是上任意两个实数，且， 则 因为，所以，又，所以，， 所以，即，， 所以函数在上单调递增. 【变式训练8-4】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数定义域为，，若，存在，对任意，都有.则称为在上的“点”. (1)设函数.求在上的最大“点”； (2)命题：，在上不存在“点”.此命题是否为真命题，说明理由； (3)设，且，.证明：在上的“点”个数不小于. 【详解】（1），， 由对勾函数性质，当时，严格单调递增，在上严格单调递减， 当时，若，恒有， 所以在上的最大“点”为； （2）此命题是真命题，理由如下： ，令得， 当，严格单调递减， 当，严格单调递增， ， 所以是在上的最大值， 对任意，都有， 在上不存在“点”； （3）若在上的“点”个数为0，则，符合要求： 若在上的“点”个数为， 令在上的“点”分别为、、…、， 其中，， 若，则若，由，则， 即， 若，由题意，，， 故，即，又， 故，符合要求； 若，则，，…， 由，则， 若，即，则， 若，由题意， ，且， 又，故， 即，，…，， 即有， 即，由，故， 又，故， 即在上的“点”个数不小于. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 二、填空题 2．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 3．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 4．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 【答案】 【详解】，当且仅当时等号满足， 故答案为：9 5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 6．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 此三角形面积最大值为. 故选：A 2．早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 【答案】C 【详解】A，若，，则，错误； B，，，则，， ， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，错误； C，，则，，又， ， 当且仅当，即时取等号，正确； D，令，，则， ， 当且仅当时取等号，即的最小值是，错误. 故选：C 二、填空题 3．若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________. 【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式） 【详解】取正数，则，当且仅当时取等号， 因此，即， 于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”. 显然，取. 故答案为： 4．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因为≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 5．柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 【答案】10 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 三、解答题 6．赫尔曼·闵可夫斯基是德国著名数学家，他的研究成果之一是闵可夫斯基不等式，当且仅当或时，等号成立.特别地，闵可夫斯基不等式的二维形式（即）为，当且仅当时，等号成立.请用闵可夫斯基不等式解答后面问题：已知，且，求的最小值. 【答案】. 【详解】因为， 所以由闵可夫斯基不等式得： ， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 7．证明不等式： (1)若，，，都是正数，求证：； (2)若，，是非负实数，则； (3)若，是非负实数，则； (4)若，，则． 【详解】（1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 所以 即有，当且仅当时，等号成立. （2）由，，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 所以 当且仅当时，等号成立. （3） 当且仅当时，等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立. 8．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 9．已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【详解】（1）解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. （2）解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. （3）解：由题意，可设直线且， 由，可得  则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 10．“凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. (1)判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）； (2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (3)已知锐角满足，求的最大值. 【详解】（1）是下凸函数. ， 故，所以函数是下凸函数. （2）在上是上凸函数，证明如下： ， 显然，则 因此， 函数在上是上凸函数. （3）由（2）知，在上是上凸函数， 根据琴生不等式：， ， 当且仅当即时取到最大值. 11．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于120°时，满足的点M为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点M到各顶点的距离之和； (2)，点M为的费马点： （ⅰ）求的最小值； （ⅰⅰ）若，且点P为平面上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅰⅰ） 【详解】（1）设， 因为点M是的费马点， 所以在中，由余弦定理可得：， 同理可得，，三式相加，得 即， 显然， 所以有， 即， 所以， 所以的费马点M到各顶点的距离之和； （2）（ⅰ）， 因为，所以， 所以由， 因为，所以，所以是直角三角形， 所以有， 设， 因为点M是的费马点，所以由 即， 因为，当且仅当时取等号， 所以有 ，或， 由， 由，显然不成立， ， 当时，有最小值； （ⅰⅰ）因为，所以是等腰三角形，且斜边，建立如图所示的平面直角坐标系，， 设， ， 设点，所以表示的长度， 因此有， 要想有最小值， 只需有最小值，所以当点P为的费马点时取到最小值， 在中，， 由余弦定理可知， 因为，所以， 因为在有一个内角大于120°时， 所以最大内角的顶点为费马点，即重合， 所以的最小值为. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 3．（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 5.（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 【答案】821 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 6．（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 【答案】(1)，其中 (2)100件 【详解】（1）当时， ； 当时， ， 所以，其中. （2）当时， 当时，取得最大值900万元； 当时， ， 当且仅当，即时， 取得最大值950万元， 所以当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950万元 重难·创新演练 1．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 2．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 3.（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为. 故答案为： 4．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 5．若实数满足，则称比接近 (1)若比接近，求的取值范围； (2)对于任意的两个不等正数，求证：比接近； (3)若对于任意的实数，实数比接近，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，则 或， 由，求得或；由，求得无解. 所以取值范围为. （2）因为且，所以， 且， 所以 ， 则， 即比接近. （3）由题意可知，对任意的恒成立 当且仅当等号成立 所以的取值范围为. 6.若实数满足，则称比接近． (1)若比5接近1，求的取值范围； (2)判断下列命题“若，则比接近”的真假，并说明理由； (3)证明：对于任意两个不相等的正数，必有比接近． 【详解】（1）因为比5接近1，故， 故，所以. （2）若，则，故， 所以或， 若，则且，故， 所以， 故，所以， 也就是“比接近”. 若，则且，故， 所以， 故，所以， 也就是“比接近”. 综上所述，命题“若，则比接近”是真命题； （3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近， 即证：， 即证：， 即证：， 因为，因为， 故，故， 所以成立， 故比接近. 7.已知函数，． (1)若，求方程的解： (2)若，函数，判断并用定义证明函数的单调性； (3)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由可得，所以， 则方程等价于，即， 所以，由在R上单调递增可知满足题意只有， 所以方程只有一个解； （2）单调递增，证明如下： 若，则， 设，则 ， 因为在R上单调递增，且恒成立可知：，， 则， 即在R上单调递增； （3）易知， 所以不等式等价于， 又，则在R上单调递减，所以等价于， 即在区间上恒成立，两侧同除以得， 设， 由对勾函数的单调性可知在上单调递减，上单调递增， 所以时，，即. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 基础核心公式 知识点2 拓展均值不等式链（上海高频拓展） 知识点3 两大核心最值结论 题型破译 (含超链接） 题型1 “1” 的代换求最值（上海卷必考，中档题） 题型2 条件等式求最值（多变量，中档偏难） 题型3 齐次化求最值（上海卷难题常用） 题型4 恒成立 / 能成立问题（上海卷填空压轴） 题型5 与对勾函数结合求最值（等号不成立时） 题型6 不等式证明（比较大小 / 放缩，中档题） 题型7 实际应用题（上海卷解答题高频） 题型8 与函数 / 导数交汇（上海卷压轴题） 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 基本不等式 春考第6题 秋考第8题 春考第6题 考情分析 基本不等式是上海高考数学必考基础核心考点，题型稳定、套路性极强，是一轮复习必须吃透的重点内容。历年考情呈现以下特点： 题型分布：以填空题、选择题为主，偶尔结合函数、解析几何、数列出解答题小问，分值稳定在4–8分。 考查核心：重点考查利用基本不等式求最值、求取值范围，极少直接考查公式证明，侧重灵活变形与条件适配。 命题特点：上海卷注重情境化、变形化，不会直接给出和定、积定条件，多需要通过凑配、换元、代换“1”等构造定值，同时严格考查“一正二定三相等”合规性，高频设置等号取不到的陷阱。 复习目标 1. 基础（必过关） 熟练判断适用条件，会用公式求简单最值，规范书写等号成立条件。 2. 中档（重点突破） 掌握配凑变形、1的代换，能解决分式型最值、简单参数恒成立问题。 3. 拔高（冲刺高分） 攻克多变量最值，熟练应对不等式与函数、数列、几何的综合题型，会简单实际最值建模。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 基础核心公式 对于任意正数 ，基本不等式核心公式： 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 三大使用前提（重中之重）：一正、二定、三相等 一正：参与运算的所有变量均为正数； 二定：变量的和或积为定值（构造最值的核心）； 三相等：必须验证等号能够取到，取不到则不能用基本不等式，需改用单调性求解。 自主检测（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________． 知识点2 拓展均值不等式链（上海高频拓展） 对 ，恒有： 依次为：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，所有等号均在 时成立，多用于多选、填空压轴最值求解。 自主检测（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 两大核心最值结论 积定和最小：若 （定值，），则 ，当且仅当 时， 取最小值 。 和定积最大：若 （定值，），则 ，当且仅当 时， 取最大值 。 自主检测（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 题●型●破●译 题型1 “1” 的代换求最值（上海卷必考，中档题） 例1-1（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 例1-2（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 例1-3（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 方法技巧 核心技巧：乘1展开、凑定值、用不等式，规避齐次式无定值问题。 通用公式： 易错分析 牢记：条件是几，就除以几凑1，绝不强行代换；代换展开后优先观察交叉项是否为互为倒数的正数项，保证积为定值；所有代换题型必须最后验证等号变量取值是否符合题干范围。 【变式训练1-1】（2026·上海金山·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【变式训练1-2】（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【变式训练1-3】（2025·上海松江·二模）在三棱锥中，两两垂直，且，设为底面内一点，，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为___________. 【变式训练1-4】已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是_____． 题型2 条件等式求最值（多变量，中档偏难） 例2-1（2025·上海黄浦·一模）若正数满足，则的最小值为_______． 例2-2（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为________ 方法技巧 消元法：将二元等式转化为单变量函数，结合定义域求最值； 配凑因式法：变形为乘积定值形式，简化计算。 【变式训练2-1】（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【变式训练2-2】（2026·上海杨浦·二模）设正实数满足，则的最小值为______. 【变式训练2-3】（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 题型3 齐次化求最值（上海卷难题常用） 例3-1若，则的最小值为______. 例3-2已知，且，则的最小值是______ 【变式训练3-1】（24-25高一上·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【变式训练3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 题型4 恒成立 / 能成立问题（上海卷填空压轴） 例4-1已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 例4-2已知 ，且恒成立，则实数的最大值是____________. 方法技巧 恒成立 恒成立 易错分析 恒成立核心口诀：大于恒成立找最大，小于恒成立找最小；所有最值必须是定义域内能够取到的有效值，若等号取不到，需结合函数单调性取边界值。 【变式训练4-1】已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 【变式训练4-1】已知二次函数. (1)若关于的方程的两个实数根满足，求实数的值； (2)若对任意都有成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在区间[0，2]上有且仅有一个实数根，求实数的取值范围. 【变式训练4-3】已知函数，，，. (1)当时，求函数的值域； (2)若存在时，使得有解，求a的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求a的取值范围. 题型5 与对勾函数结合求最值（等号不成立时） 例5-1已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 例5-2【变式训练3-3】若对恒有，则的取值范围是_____ 【变式训练5-1】函数的值域是________． 【变式训练5-2】设函数满足：对任意的非零实数x，均有．则在区间上的最大值为______． 【变式训练5-3】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为40米的水底进行作业，其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；②水底作业需要10分钟，作业时用氧量为升/分钟；③返回水面时，平均速度为米/分钟，用氧量为升/分钟；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为升 (1)将表示为的函数； (2)若，求总用氧量的取值范围． 题型6 不等式证明（比较大小 / 放缩，中档题） 例6-1已知，都是正实数，证明：. 例6-2（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【变式训练6-1】已知，且，求证： (1)； (2)． 【变式训练6-2】除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【变式训练6-3】柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 题型7 实际应用题（上海卷解答题高频） 例7-1已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点，作扇形的内接矩形．记，矩形的面积为． (1)若时，求矩形的面积； (2)求与之间的函数关系式：当取何值时，最大？并求出的最大值． 例7-2某地区要设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形区域ABCD中（其中AB为60米，AD为30米），过道EF将其分为两个主要区域，休闲区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，绿化区为四边形BEFC，且EF与圆弧相切，记切点为G.（计算结果保留两位小数） (1)若，求EF的长； (2)E点在线段AB上何处时，才能使绿化区的面积最大，求出最大值. 例7-3一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（万元）满足： (1)求出该服装厂生产1000套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？ 【变式训练7-1】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 【变式训练7-2】“霸王杯”足球比赛正如火如荼地举行，在高一年级某场比赛中，两个班级的比赛场地为矩形（如图），现已知矩形中米，米，宽为米的足球门在边的中间放置. (1)比赛中，小黄同学在距离为米，离为米的地点处获得直接任意球机会，准备直接射门，求其有效射门角度（精确到小数点后1位）； (2)小付同学在边线上带球突破（视作点在线段边上移动），准备起脚向球门射门，求该同学应在何处（长为多少米时）射门角度最大. 【变式训练7-3】2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． (1)求常数c和k的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 题型8 与函数 / 导数交汇（上海卷压轴题） 例8-1（2025·上海闵行·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为__________. 例8-2（2025·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为__________． 例8-3（2025·上海闵行·一模）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)已知函数定义域内的满足，求证：； (3)设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 【变式训练8-1】（25-26高三上·上海·期末）已知正实数满足，则的最小值为_________． 【变式训练8-2】（2025·上海闵行·一模）已知，：不存在正数，使得不等式成立，若是的充分条件，则正实数的取值范围是__________. 【变式训练8-3】已知函数.函数的定义域为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，判断函数的单调性并证明. 【变式训练8-4】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数定义域为，，若，存在，对任意，都有.则称为在上的“点”. (1)设函数.求在上的最大“点”； (2)命题：，在上不存在“点”.此命题是否为真命题，说明理由； (3)设，且，.证明：在上的“点”个数不小于. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 3．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 4．（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 6．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 二、填空题 3．若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________. 4．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 5．柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 三、解答题 6．赫尔曼·闵可夫斯基是德国著名数学家，他的研究成果之一是闵可夫斯基不等式，当且仅当或时，等号成立.特别地，闵可夫斯基不等式的二维形式（即）为，当且仅当时，等号成立.请用闵可夫斯基不等式解答后面问题：已知，且，求的最小值. 7．证明不等式： (1)若，，，都是正数，求证：； (2)若，，是非负实数，则； (3)若，是非负实数，则； (4)若，，则． 8．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 9．已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 10．“凸凹性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）.将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. (1)判断是上凸还是下凸函数？（直接写出结论即可）； (2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (3)已知锐角满足，求的最大值. 11．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于120°时，满足的点M为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点M到各顶点的距离之和； (2)，点M为的费马点： （ⅰ）求的最小值； （ⅰⅰ）若，且点P为平面上任意一点，求的最小值. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·上海浦东新·三模）已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，且，则的最小值为__________． 5.（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 6．（25-26高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300万元，每生产件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时，（万元）.每件产品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式； (2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 重难·创新演练 1．若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 2．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为________ 4．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 5．若实数满足，则称比接近 (1)若比接近，求的取值范围； (2)对于任意的两个不等正数，求证：比接近； (3)若对于任意的实数，实数比接近，求的取值范围. 6.若实数满足，则称比接近． (1)若比5接近1，求的取值范围； (2)判断下列命题“若，则比接近”的真假，并说明理由； (3)证明：对于任意两个不相等的正数，必有比接近． 7.已知函数，． (1)若，求方程的解： (2)若，函数，判断并用定义证明函数的单调性； (3)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $