拓展05 求三角函数中ω的取值范围（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

拓展05 求三角函数中ω的取值范围 预习精讲 知识点01 求ω取值范围的常用解题思路 1．周期性角度求ω 正弦、余弦型三角函数最小正周期公式： 只要通过题干条件求出周期，代入公式即可反解出，得到的数值。 2．对称性角度求ω （1）图像间距规律 两条相邻对称轴、两个相邻对称中心之间水平间隔为；一条对称轴与相邻对称中心之间水平间隔为。借助对称元素间距求出周期，进一步计算。 （2）图像特征规律 三角函数对称轴必定经过函数最高点或最低点；对称中心是图像与轴交点，即函数零点。可利用零点、最值点之间的横向距离推导周期，求解。 3．单调性角度求ω 三角函数一段完整单调区间的长度等于，结合题干给出的单调区间长度，可计算的值或取值范围。 参数控制图像横向伸缩：越大，周期越短，图像压缩；越小，周期越长，图像拉伸。若要求函数在指定区间单调，可通过限制周期长度确定边界，同时可配套求解区间最值问题。 知识点02 两类高频题型解题方法 1．已知函数在指定区间单调，求范围 ①区间长度约束：函数单调区间长度不能超过半个最小正周期，列出不等式求解初步范围； ②利用标准单调区间解集，算出满足单调条件的限制； ③联立两步结果，取交集得到最终取值范围。 2．根据区间零点个数求范围 给定固定长度区间，根据零点数量分两类分析： 1．区间至少包含个零点：结合周期算出容纳个零点所需最小区间长度，建立不等式； 2．区间至多包含个零点：算出容纳个零点的最小区间长度，以此作为上限约束，求解范围。 【即学即练】 1．（多选）若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是______． 题型速练 题型01 单调性与ω的取值范围 【例1】若函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【例2】已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 【小试牛刀】 【变式1-1】设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【变式1-2】已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【变式1-3】定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是___ 题型02 图象平移与ω的取值范围 【例3】函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4】设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式2-1】若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 【变式2-3】设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是__________． 题型03 对称性与ω的取值范围 【例5】已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例6】若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________. 【小试牛刀】 【变式3-1】已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 函数最值与ω的取值范围 【例7】若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8】若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数，在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______________. 【变式4-3】已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是_______． 题型05 零点或方程的解与ω的取值范围 【例9】将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围 【例11】若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是________. 【例12】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式6-1】）把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内有唯一一个对称中心，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 1．已知函数在单调递增，则的取值范围为_______． 2．已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________. 3．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______. 4．已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数有个零点，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，则的取值范围是______． 7．已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 8．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 9．将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 10．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展05 求三角函数中ω的取值范围 预习精讲 知识点01 求ω取值范围的常用解题思路 1．周期性角度求ω 正弦、余弦型三角函数最小正周期公式： 只要通过题干条件求出周期，代入公式即可反解出，得到的数值。 2．对称性角度求ω （1）图像间距规律 两条相邻对称轴、两个相邻对称中心之间水平间隔为；一条对称轴与相邻对称中心之间水平间隔为。借助对称元素间距求出周期，进一步计算。 （2）图像特征规律 三角函数对称轴必定经过函数最高点或最低点；对称中心是图像与轴交点，即函数零点。可利用零点、最值点之间的横向距离推导周期，求解。 3．单调性角度求ω 三角函数一段完整单调区间的长度等于，结合题干给出的单调区间长度，可计算的值或取值范围。 参数控制图像横向伸缩：越大，周期越短，图像压缩；越小，周期越长，图像拉伸。若要求函数在指定区间单调，可通过限制周期长度确定边界，同时可配套求解区间最值问题。 知识点02 两类高频题型解题方法 1．已知函数在指定区间单调，求范围 ①区间长度约束：函数单调区间长度不能超过半个最小正周期，列出不等式求解初步范围； ②利用标准单调区间解集，算出满足单调条件的限制； ③联立两步结果，取交集得到最终取值范围。 2．根据区间零点个数求范围 给定固定长度区间，根据零点数量分两类分析： 1．区间至少包含个零点：结合周期算出容纳个零点所需最小区间长度，建立不等式； 2．区间至多包含个零点：算出容纳个零点的最小区间长度，以此作为上限约束，求解范围。 【即学即练】 1．（多选）若函数在上单调递减，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，， 在上单调递减，，又，， 即的值可能为和. 故选：AB. 2．已知函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 由函数的图象在区间上有且仅有1条对称轴和1个对称中心，得或 解得或则， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 题型速练 题型01 单调性与ω的取值范围 【例1】若函数在上单调递增，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为的单调递增区间为， 所以， 所以，解得，， 因为且存在，所以， 解得，由，得， 所以，即的取值范围是. 【例2】已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 【小试牛刀】 【变式1-1】设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 【变式1-2】已知函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-3】定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是___ 【答案】 【详解】由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为： 题型02 图象平移与ω的取值范围 【例3】函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 【例4】（第五章真题觉醒&强基自招）设函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 的部分图象如图所示，    要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、两个对称中心， 则，解得，即. 故选：C. 【小试牛刀】 【变式2-1】若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得， 故选：B 【变式2-2】已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 【变式2-3】设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】，, 令，则，， 当时，，则，解得， 此时，可验证此时恰有一条对称轴在内，符合题意， 当时，，则，解得， 此时，不符合题意， 当取其它整数时，不符合题意，所以. 故答案为：. 题型03 对称性与ω的取值范围 【例5】已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得，解得. 故选：D. 【例6】若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】当且时，， 因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值， 则，其中， 所以，，解得，由，可得， 因为且，当时，；当时，；当时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【小试牛刀】 【变式3-1】已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 【变式3-2】若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，由，得， 由函数恰好有5个最大值，4个最小值， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式3-3】已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象经过点， 所以，由于，则，则． 由，可得， 因为在上有且只有两个最值点，则， 所以. 故选：A 题型04 函数最值与ω的取值范围 【例7】若函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 且 ，所以， 又因为恰有3个零点，所以，解得， 的取值范围为． 故选：A． 【例8】若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，解得或， 即或，，则在上一定有一个解是， 有以下两种情况： ①在上有且仅有2个异于的解，即且，，解得， ②在上有且仅有3个解，且其中有一个是，即，且或或，无解. 综上，. 故选：D 【小试牛刀】 【变式4-1】已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数， 由，得，当时，， 由函数在上有且仅有2个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【变式4-2】若函数，在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【详解】 ， 当时，， 又在上有且仅有两个零点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是_______． 【答案】 【详解】对进行化简，可得： 令，则. 根据正弦函数的性质，可得，，解关于的方程： 即，. 当时，；当时，. 因为方程在区间内无实数解，所以或（不成立，舍去）. 解不等式，得，因为，解得. 故答案为：. 题型05 零点或方程的解与ω的取值范围 【例9】将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 因为，所以， 由图可知，，所以． 【例10】把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把函数的图象向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到， 因为函数在上没有零点， 所以或， 解得或， 当时，或， 故选：B 【小试牛刀】 【变式5-1】已知函数，将的图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，将图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 则，时，， 因为函数在区间上单调递增，， 注意到，所以我们不需要讨论时的情形， 所以时，，即，又因为，所以. 当时，四个选项中的取值范围都不符合，综上，只有， 故选：B. 【变式5-2】已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A 【变式5-3】已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有：， 所以， 由有， 又函数在区间上恰有4个零点， 所以，解得，即， 故选：B. 题型06 零点、对称轴、单调性综合性问题与ω的取值范围 【例11】若，函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】当时，， 因为，函数在区间上单调递减， 所以，所以，即， 当时，， 因为，在区间上存在零点， 所以，解得， 综上：， 故答案为： 【例12】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可得， 因为，所以， 因为在恰有2个零点，且，， 所以，解得， 令，，得，， 令，得在上单调递减， 所以， 所以，又，解得． 综上所述，，故的取值范围是． 故选：C. 【小试牛刀】 【变式6-1】）把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内有唯一一个对称中心，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得． 因为在上单调递增，则由，得， 所以，解得． 又在内有唯一一个对称中心，所以由，得， 结合，得，且, 所以对称中心的横坐标可能为或 当时，解得； 当时，无解， 所以的取值范围为， 故选：A． 【点睛】方法点睛：求解三角函数中的取值范围需要综合考虑多种因素．通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等变换以及求解不等式等方法，可以逐步缩小的取值范围，最终得到准确的结果．这些方法不仅适用于处理三角函数的取值问题，也适用于其他类型的数学问题．在具体应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法进行处理． 【变式6-2】将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象， 则， 由，，解得，， 故轴右侧的第一条对称轴为，左侧第一条对称轴为， 函数在区间上单调递增， ，解得，得， 令，得，，解得，， 故最大的负零点为， 的最大负零点在区间上， ，解得， 综上可得，即， 故选：C． 【变式6-3】已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 【答案】(1)8； (2). 【分析】 【详解】（1） 由函数的最小正周期为，得，所以. （2）当时，， 由函数的图象在上存在对称轴，得，解得， 当时，， 由函数在上单调，得， ，整理得， 由，解得，则， 当时，；当时，；当时，， 又，所以实数的取值范围是. 1．已知函数在单调递增，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得， 的取值范围为． 故答案为：. 2．已知函数（其中）在上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为，所以， 因为函数（其中）在上的值域为， 所以，解得. 故答案为： 3．已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意可得， 令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．已知．在内的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）： 可知，所以解得， 故选：D. 5．若函数有个零点，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，而， 则存在，使得，函数在上有个零点， 由函数有4个零点，则函数在有个零点， 由，得， 则，解得，所以正数的取值范围是． 故选：A 6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象， 所以，当时，因为，所以， 因为函数在上有最大值无最小值，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 7．已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 ， 所以. 当时，， 因为在区间上恰有3条对称轴， 所以. 故答案为： 8．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】，且，则， ，所以，则， 由且， 所以或，故或. 9．将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意知， 由，得，由题意知在区间上没有对称轴， 则，即， 解得，由，得，又， 当时，；当时，；当时无解， 综上所述，. 故答案为：. 10．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 设， 当时，， 由函数在上恰有两个零点， 则，解得， 又当，， 则，， 函数在上单调递增， 所以，解得， 综上所述， 故选：C. 11．已知函数在区间上有定义． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）令， 依题意可得，， 所以， ， 又因为，所以当且仅当时符合题意，此时， 所以. 故的最大值为1. （2）令， 由在区间上的对称中心依次为：,,, 所以依题意只需， 此时可得，即， 又由第一问可知. 故的取值范围为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $