专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题 题型一：根据充分条件、必要条件求参数 角度1：根据充分条件求参数（值）取值范围 【例1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【方法总结】 根据充分条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：充分条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、充分条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是q的充分条件. 【变式1-1】集合，若命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 角度2：根据必要条件求参数（值）取值范围 【例2】（1）（多选）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 （2）已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【方法总结】 根据必要条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：必要条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、必要条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的必要条件. 【变式2-1】设集合，集合，其中，若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 角度3：根据充分不必要条件求参数（值）取值范围 【例3】（1）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）已知全集，集合，，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【方法总结】 根据充分不必要条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、充分不必要条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的充分不必要条件. 【变式3-1】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 角度4：根据必要不充分条件求参数（值）取值范围 【例4】（1）已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【方法总结】 根据必要不充分条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、必要不充分条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的必要不充分条件. 【变式4-1】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 角度5：根据充要条件求参数（值）取值范围 【例5】（1）已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. （2）已知，，求的充要条件. 【方法总结】 根据充要条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：充要条件转化为集合之间的相等关系，再依托集合相等列含参数的方程（组）；或者等价转换命题，比如的充要条件，等价：两集合有公共元素，再转化为方程有解. 2、充要条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的充要条件. 【变式5-1】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的取值范围； 题型二：根据命题真假求参数 角度1：根据全称量词命题真假求参数值（取值范围） 【例6】（1）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． （2）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 根据全称量词命题真假求参数值（取值范围）的方法总结： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ①对于全称量词命题“(或)”为假的问题，法一：可以先假设命题为真，求出结果，再取补集；法二：求否定，转化为存在量词命题为真的问题，进一步转化为不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即(或). 【变式6-1】“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【变式6-2】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度2：根据存在量词命题真假求参数值（取值范围） 【例7】（1）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ （2）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【方法总结】 根据存在量词命题真假求参数值（取值范围）的方法总结： ①对于存在量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即(或). ①对于全称量词命题“(或)”为假的问题，法一：可以先假设命题为真，求出结果，再取补集；法二：求否定，转化为全称量词命题为真的问题，进一步转化为不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). 【变式7-1】（多选）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若命题“，”为假命题，写出一组符合条件的和的值：______． 一、单选题 1．集合，，若是的充分条件，则为（  ） A．0 B． C．0或或1 D．0或 2．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 3．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 8．设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 9．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 10．设，是的充分条件，则____________. 11．已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 12．已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为______． 四、解答题 13．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 14．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题 题型一：根据充分条件、必要条件求参数 角度1：根据充分条件求参数（值）取值范围 【例1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【方法总结】 根据充分条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：充分条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、充分条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是q的充分条件. 【变式1-1】集合，若命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 角度2：根据必要条件求参数（值）取值范围 【例2】（1）（多选）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ） A． B． C．- D．0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设，, 因为p是q的必要条件，所以， 当时，由无解可得，符合题意； 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得. 综上，的取值为0，，. （2）已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】 ∵“”是“”的必要条件，∴，∴B⊆A. 当，即 时，，满足 B⊆A． 当时，由 B⊆A，得，解得：. 综上所述，实数 m的取值范围是． 【方法总结】 根据必要条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：必要条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、必要条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的必要条件. 【变式2-1】设集合，集合，其中，若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】 【详解】因为“”是“”的必要条件，故， 若，即时，成立； 若，由得， 综上： 角度3：根据充分不必要条件求参数（值）取值范围 【例3】（1）已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 实数的取值范围是. （2）已知全集，集合，，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 【方法总结】 根据充分不必要条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：充分不必要条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、充分不必要条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的充分不必要条件. 【变式3-1】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 则的取值范围为． 角度4：根据必要不充分条件求参数（值）取值范围 【例4】（1）已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. （2）已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【方法总结】 根据必要不充分条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，再依托集合关系列含参数的不等式（组）求解，最后务必检验区间端点取值； 2、必要不充分条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的必要不充分条件. 【变式4-1】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为集合或，， 是的必要不充分条件，所以， ①若，则，解得， ②若，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 角度5：根据充要条件求参数（值）取值范围 【例5】（1）已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】不存在 【详解】∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. （2）已知，，求的充要条件. 【答案】 【详解】的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得. 上述方程有两个负根的充要条件是且，即， ∴. 于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是. 故的充要条件为. 【方法总结】 根据充要条件求参数（值）取值范围范围方法： 1、解题思路：充要条件转化为集合之间的相等关系，再依托集合相等列含参数的方程（组）；或者等价转换命题，比如的充要条件，等价：两集合有公共元素，再转化为方程有解. 2、充要条件与集合的对应关系：设命题对应集合：，， p是的充要条件. 【变式5-1】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的取值范围； 【答案】 【详解】由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 题型二：根据命题真假求参数 角度1：根据全称量词命题真假求参数值（取值范围） 【例6】（1）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得：，又当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. （2）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“”是假命题， 则成立， 即在实数集上能成立， 当时，上述不等式在实数集上存在解， 当，解得， 综上：实数的取值范围是. 【方法总结】 根据全称量词命题真假求参数值（取值范围）的方法总结： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ①对于全称量词命题“(或)”为假的问题，法一：可以先假设命题为真，求出结果，再取补集；法二：求否定，转化为存在量词命题为真的问题，进一步转化为不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即(或). 【变式6-1】“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________； 【答案】 【详解】因为，要使“恒成立”， 只需，因为的最小值为，即， 故答案为：. 【变式6-2】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 角度2：根据存在量词命题真假求参数值（取值范围） 【例7】（1）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【详解】因为“”为真命题，所以， 因为，所以，即，所以， （2）若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 【方法总结】 根据存在量词命题真假求参数值（取值范围）的方法总结： ①对于存在量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即(或). ①对于全称量词命题“(或)”为假的问题，法一：可以先假设命题为真，求出结果，再取补集；法二：求否定，转化为全称量词命题为真的问题，进一步转化为不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). 【变式7-1】（多选）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】若命题“，”为真命题，则， 因为，，， 所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是BD选项. 【变式7-2】若命题“，”为假命题，写出一组符合条件的和的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为命题“”为假命题， 所以该命题的否定“”为真命题， 即方程在实数范围内没有根，所以， 取满足题意（答案不唯一，满足即可）， 故答案为：． 一、单选题 1．集合，，若是的充分条件，则为（  ） A．0 B． C．0或或1 D．0或 【答案】D 【详解】是的充分条件， ， 则①，解得; ②，解得或（舍去）； 综上，或． 2．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 3．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 4．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，. 5．方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，解得. 6．已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是. 二、多选题 7．已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 8．设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【详解】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 9．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为命题是假命题， 所以可知“,”为真命题， 所以，所以， 又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”， 三、填空题 10．设，是的充分条件，则____________. 【答案】 【详解】 ， 是的充分条件， 令：， ， ，可得， 即 11．已知或.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 故答案为： 12．已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 四、解答题 13．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)已知命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为，所以； 当时，此时满足，则，解得； 当且，则 ，解得，所以 ， 综上所得，实数的取值范围是； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集,则，解得，所以实数的取值范围是； 14．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3)或 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $