第五章 创新培优（四）三角函数中求w的取值范围-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦三角函数中ω范围求解核心知识点，系统梳理对称性、单调性、最值、图象平移、零点五大专题，通过例题解析与“类题通法”构建从具体问题到通用步骤的学习支架，帮助学生掌握周期公式、单调区间等工具的综合应用。 资料以“问题-解析-通法”结构设计，每个专题先呈现典型例题，再提炼分步解题策略，培养学生用数学眼光抽象问题本质、用数学思维逻辑推理的能力，如单调性专题通过整体换元转化为正弦函数单调区间问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生按通法自查，高效弥补知识盲点。

通常利用三角函数的周期公式、单调区间、对称轴与对称中心公式等建立关于ω的等式或不等式(组)，再结合题目中的限制条件进行求解． 培优一　与对称性有关求ω范围 (2025·山东临沂期中)已知函数f(x)＝3cos (ωx＋)(ω>0)图象关于直线x＝对称，且关于点(－，0)对称，则ω的值可能是(　　 ) A．7 B．9 C．11 D．13 解析：选C.根据图象关于直线x＝对称可得ω＋＝k1π，k1∈Z，解得ω＝3k1－1，k1∈Z；又关于点(－，0)对称可得－ω＋＝＋k2π，k2∈Z，解得ω＝－6k2－1，k2∈Z； 经检验，当k1＝4，k2＝－2时，ω＝11符合题意． 类题通法 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,φ>0)的一个对称轴和一个对称中心,且在(x1,x2)上单调，求 ω的取值范围问题，可以按如下步骤进行思考: (1)由对称轴和对称中心确定ω含k的表达式; (2)根据函数在(x1，x2)上单调，确定ω的取值范围; (3)对(1)(2)中的取值进行逐一检验. 培优二　与单调性有关求ω范围 已知函数f(x)＝cos ωx＋sin ωx(ω>0)，若f(x)在(，)上单调递增，则ω的取值范围可以是(　　 ) A．(0，] B．[，] C．[，] D．(0，] 解析：选D.函数f(x)＝cos ωx＋sin ωx＝2sin (ωx＋)，令t＝ωx＋，则t∈(＋，＋). 若f(x)在(，)上单调递增，则y＝2sin t在(＋，＋)上单调递增，所以(＋，＋)⊆(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)，故(k∈Z)，所以－＋4k≤ω≤＋k(k∈Z)，且ω>0. 类题通法 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,φ>0)在(x1,x2)上单调递增(或递减)，求 ω的取值范围问题，可以按如下步骤进行思考: (1)根据题意可知区间(x1,x2)的长度不大于函数最小正周期的一半，即x2一x1≤ = ,解得0<ω≤； (2) 以递增为例，利用(ωx1 + φ，ωx2 +φ)(－＋2kπ,＋2kπ)(k∈Z),解得ω的取值范围; (3)结合(1)求出ω的范围并对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围. 培优三　与函数最值有关求ω范围 已知函数f(x)＝cos ωx－sin (ωx＋)(ω>0)，若f(x)在[0，π]上的值域为[－1，]，则ω的取值范围为(　　 ) A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，] 解析：选B.函数f(x)＝cos ωx－sin (ωx＋)可化为f(x)＝cos ωx－sin ωx cos －cos ωx sin ＝cos ωx－sin ωx＝cos (ωx＋). 因为0≤x≤π，所以≤ωx＋≤ωπ＋， 因为f(x)在[0，π]上的值域为[－1，]，所以π≤ωπ＋≤，所以≤ω≤， 所以ω的取值范围为[，]. 类题通法 根据三角函数的最值或值域求解参数问题时，要灵活运用整体的思想，将问题转化在基本函数y = sin x、y = cos x、y = tan x上,借助函数图象性质来处理会更加明了.注意对ω正负的讨论. 培优四　与图象平移有关求ω范围 (2025·湖北月考)将函数f(x)＝sin (2ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与函数g(x)＝cos (2ωx)的图象重合，则ω的最小值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.将函数f(x)＝sin (2ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝f(x－)＝sin [2ω(x－)＋]＝sin (2ωx－ω＋)的图象， 又g(x)＝cos (2ωx)＝sin (2ωx＋)，k∈Z， 由题可知，－ω＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝－6k－，k∈Z， 又ω>0，∴当k＝－1时，ω取得最小值. 类题通法 1.平移后与原图象重合 思路 1:平移长度即为原函数周期的整倍数; 思路 2:平移前的函数f(x)=平移后的函数g(x). 2.平移后的函数与原图象关于y轴对称:平移后的函数为偶函数. 3.平移后的函数与原函数关于x轴对称:平移后的函数与原函数互为相反数. 4.平移后过定点:将定点坐标代入平移后的函数中. 培优五　与函数零点有关求ω范围 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 解析：因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 答案：[2，3) 类题通法 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $