河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-函数的概念和性质

**基本信息** 以函数性质为核心，通过奇偶性、单调性及创业利润模型等实际应用问题，考查数学抽象与逻辑推理能力，适配高二暑假专项巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义域、偶函数单调性（如第2题解不等式）|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|函数性质综合（如第9题奇偶性判断）|选项分层，考查逻辑严谨性| |填空题|3/15|奇函数解析式（第12题）、抽象函数求值|强调逆向思维| |解答题|5/77|分段函数图像与不等式（15题）、创业利润模型（17题）、抽象函数单调性证明（19题）|情境真实（创业利润），综合考查数学建模与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（10） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知在上为偶函数，则实数a的值为（     ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 5．函数是奇函数，且在上单调递减，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 7．设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 10．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 11．设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 13．已知函数的定义域是，，，当时，，则________. 14．已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数的解析式为 (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 16．(本小题15分）已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若在上没有最大值，求实数m的取值范围． 17．(本小题15分）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18．(本小题17分）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 19．(本小题17分）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D B C C A ACD BD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 2．D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 3．B 【详解】方法一：因为函数在上为偶函数，所以对称轴为，即.方法二：因为函数在上为偶函数， 所以对，恒有.即对恒成立. 所以. 4．D 【详解】由，解得，则的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，故函数与是相同的函数，故A正确，不符合题意； 由，得，所以的定义域为，故B正确，不符合题意； 因，所以，故C正确，不符合题意； 因， 当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故D错误，符合题意． 5．B 【详解】因为函数是上的奇函数，所以且， 由，且定义域为关于原点对称， 所以函数是上的偶函数，即 又在上单调递减，当时，， 设，则， 因为，所以即， 所以， 即对，有，所以当时，函数在上单调递减， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，由题意，因为， 所以，故B正确； 对于C，由，因为， 所以，故C错误； 对于D，由题意，因为， 所以，故D错误. 6．C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 7．C 【详解】因为，所以函数的对称轴为. 又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴.所以函数的最小正周期为.所以 8．A 【详解】因为函数是上的奇函数，且当时，， 当时，，所以，得到，所以时，， 则，其图象如图，由图知在上单调递增，由，得，即，解得或，所以实数的取值范围是. 9．ACD 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数，当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数，不满足为奇函数，故C，D正确. 10．BD 【详解】因为，所以.因为在R上严格单调递增， 所以.选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 11．ABD 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又，即将替换为，可得， 所以，的周期为，即，C错， 当时，，则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确，另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 12． 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，，则时，有，则， 因此. 13．0 【详解】由得：， 又，， ，， . 14． 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增，当时，，则，即； 由，可得， 故得，则有或，解得：， 所以不等式的解集为. 15．【详解】(1)根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） ；单调减区间为，最大值为4 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以；综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 16．【详解】（1）不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. （2）函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，在上单调递减，有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上有最大值，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以在上没有最大值，符合题意； 综上所述：若在上没有最大值，实数m的取值范围为． 17．【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 18．【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以，因为， 则，解得，故. （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且，因为， 则 由， 则即，故函数在上单调递增. （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 19．【详解】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以，所以当时，； （2）任取，则，则，又， 所以，所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得，所以的取值范围为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $