河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-基本不等式

**基本信息** 高二暑假数学专项测试，聚焦不等式与函数应用，通过“活水围网”养鱼、企业人员调整等真实情境题，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式解集、命题真假判断、函数最值|基础概念辨析，如含参不等式求解| |多选题|3/18|命题真假、函数最值条件|多选项设计，考查逻辑推理，如函数最小值判定| |填空题|3/15|最值、不等式解集、方程根范围|简洁计算，如二次方程根的分布| |解答题|5/77|命题与集合、实际函数模型、企业工资调整|综合应用，如“活水围网”养鱼生长量计算，体现数学建模与应用意识|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（9） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．当时，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若，则的最大值是______． 13．已知的解集为，则的解集是_______________. 14．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 16．(本小题15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高，经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均增长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等问题，v的值为0（千克/年）． (1)当时，求出函数的表达式： (2)当养殖密度x多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值． 17．(本小题15分）已知关于的不等式的解集记为集合，集合． (1)当时，求，； (2)已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围． 18．(本小题17分）已知函数. (1)当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，，，求的最小值. 19．(本小题17分）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C D D C D CD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】方法一：由，得，化简得，即， 等价于，解得.所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 2．A 【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，由题意可得，解得，故实数的取值范围是. 3．B 【详解】因为，所以，则， s时，等号成立，故函数的最小值为5. 4．C 【详解】对于选项A，取，，，，满足，，但，A错误；对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，，满足，但，D错误； 5．D 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即，即，得最大值为8． 6．D 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立则的最小值为. 7．C 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且，则，故有， 则原不等式等价于，所以原不等式的解集为. 8．D 【详解】由题可知，已知， 则，，由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 9．CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10．BCD 【详解】对A：，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11．ABD 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 12． 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 13． 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，，∴，∴. 14． 【详解】方程，解得， 依题意，，解得，所以a的取值范围为. 15．【详解】（1）要使为真命题，则集合，且，所以. （2）若真则，即，解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 16．【详解】（1）依题意，当时，； 当时，是关于的一次函数，假设， 则，解得，所以． （2）当时，，则，易得， 当时，，则， 当时，取得最大值． 因为，所以当时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米． 17．【详解】（1）， 当时，的解集为， 所以， ； （2）存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题的否定为“，”， 因为是假命题，所以，是真命题，即，因为，所以， 所以的解集为， 因为，所以，解得，所以，即的取值范围是． 18．【详解】（1）当时，，不等式的解集为， 当时，，这是一次函数，解集不可能为，舍去； 当时，二次函数开口向下，的解集不可能为，舍去； 当时，需要满足， 展开并整理：， 因式分解：，解得，所以实数的取值范围是。 （2）已知，代入函数得：，整理得：， 因为，所以，且可变形为， 令，则，目标式变为：， ， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 代入，得，，此时，， 因此：，所以的最小值为. 19．【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得，解得， 因为且，所以，所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为，当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以．所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $