高一数学+课时作业13+基本不等式的应用----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以梯度化设计构建知识巩固路径，从基础公式应用到综合情境建模，适配新授课分层教学需求，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式概念及直接应用|选择1-5题考查公式正向应用，如比较大小、简单最值，夯实运算基础| |进阶层|条件不等式与综合变形|选择6-10题、填空11-14题涉及参数限制、恒成立问题，提升推理能力| |综合层|实际情境与复杂建模|填空15题（车流量）、解答16-19题（成本优化），培养数学建模与应用意识|

课时作业13　基本不等式的应用 一、选择题 1．已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 　　 　B．(a＋)(b＋)≥4 C．≥2 　　 　D．≥ 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 3．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 5．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　) A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2 C．a1b2＋a2b1 D. 7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若＋>m2＋3m＋4恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[4，＋∞) C．(－4,1) D．(－1,4) 8．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) A. B. C. D．1 9．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．当x>0时，＋≥2 B．当x>2时，x＋的最小值是2 C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5 D．当x>0，y>0时，＋≥2 10．已知0<a<1,0<b<1，不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，则＋的最小值为(　　) A. B．4＋ C．4＋ D．4 二、填空题 11．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 12．已知a>1，则，，三个数的大小顺序是________． 13．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 . 14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 . 15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝. (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为 辆/时； (2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流 量增加 辆/时． 三、解答题 16．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 17．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值． 18．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用) (1)求y2的表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值． 19．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 课时作业13　基本不等式的应用 （答案） 一、选择题 1．已知a，b是正实数，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 　　 　B．(a＋)(b＋)≥4 C．≥2 　　 　D．≥ 解析：由≥得a＋b≥2，∴A成立；＝ab＋＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立，∴B成立；∵≥＝2 ，∴C成立；∵≤＝，∴D不一定成立． 答案：D 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 解析：∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s. 答案：A 3．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：x＋y＝(x＋y)·(＋)＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2 ＝5＋4＝9.当且仅当即时等号成立，故x＋y的最小值为9. 答案：C 4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 解析：(1＋x)(1＋y)≤＝＝()2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B. 答案：B 5．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：由ab＝1，知，m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ＝4， 当且仅当a＝b＝1时取等号， 故m＋n的最小值为4.故选B. 答案：B 6．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是(　　) A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2 C．a1b2＋a2b1 D. 解析：由0<a1<a2,0<b1<b2， 易知a1a2＋b1b2<2＋2＝. 又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0， 所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>. 综上可知a1b1＋a2b2最大．故选A. 7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若＋>m2＋3m＋4恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[4，＋∞) C．(－4,1) D．(－1,4) 解析：×1＝(x＋2y)＝4＋＋≥8，即m2＋3m＋4<8恒成立，m2＋3m－4<0的解集为(－4,1)．故选C. 8．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值为(　　) A. B. C. D．1 解析：由题意，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤x2＋y2＋z2＋(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(x2＋z2)＝3(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥＝(当且仅当x＝y＝z＝时取等号)，所以x2＋y2＋z2的最小值为，故选A. 9．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．当x>0时，＋≥2 B．当x>2时，x＋的最小值是2 C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5 D．当x>0，y>0时，＋≥2 解析：在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD. 10．已知0<a<1,0<b<1，不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，则＋的最小值为(　　) A. B．4＋ C．4＋ D．4 解析：因为不等式ax2＋x＋b≥0对于一切实数x恒成立，所以对应方程的根的判别式Δ1＝1－4ab≤0，即4ab≥1.又存在x0∈R，使bx＋x0＋a＝0成立，所以Δ2＝1－4ab≥0，即4ab≤1，所以4ab＝1，即b＝(1<4a<4)．所以＋＝＋＝＋＋2＝(4－4a＋4a－1)×＋(4－4a＋4a－1)×＋2＝2＋＋2≥4＋×2＝4＋(当且仅当＝时，等号成立)．所以＋的最小值为4＋. 故选B. 二、填空题 11．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝. 答案：≤ 12．已知a>1，则，，三个数的大小顺序是________． 解析：当a，b是正数时，≤≤≤，令b＝1，得≤≤.又a>1，即a≠b，故上式不能取等号． 答案：<< 13．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是 . 解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有 ＝≤＝，即的最大值为，故a≥. 答案：a≥. 14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 . 解析：注意到消元有难度，而目标式为x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以－≤x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取最大值. 答案：. 15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝. (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为 辆/时； (2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流 量增加 辆/时． 解析：(1)当l＝6.05时， F＝≤＝1 900， 当且仅当v＝，即v＝11时等号成立． (2)当l＝5时，F＝≤＝2 000，当且仅当v＝，即v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100(辆/时)． 答案：1900；100 三、解答题 16．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0， 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝(＋)·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 17．已知正常数a，b和正实数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值． 解：因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝，即＝时，等号成立， 所以x＋y的最小值为(＋)2＝18， 又a＋b＝10，所以ab＝16. 所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， 所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 18．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：y1＝(0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用) (1)求y2的表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值． 解：(1)依题意，当x＝0时，y1＝6，∴6＝，∴k＝30. 故y1＝，y2＝4x＋·15＋10＝4x＋＋10(0≤x≤10)． (2)y2＝4x＋＋10＝(4x＋10)＋＝2(2x＋5)＋≥2＝60， 当且仅当2(2x＋5)＝，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60， ∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元． 19．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2(a＝b时等号成立)．即ab≥(a＝b时等号成立)． ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1(a＝b时等号成立)． ∴a2＋b2的最小值为1. (2)∵＋＝2 ， ∴a＋b＝2 ab，∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3， 即(2 ab)2－4ab≥4(ab)3. 即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0， ∵a，b为正实数，∴ab＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $