专题03 函数（3年汇编）（广西专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦广西中考函数专题，整合2024-2026年真题及模拟题，以文化情境（如绣球叶瓣设计）、真实问题（如体育风速建模、农产品销售）为载体，突出数形结合与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|平面直角坐标系、函数图像分析、一次/反比例函数|结合生态种群曲线、激光测距等情境，考查图像识读与模型应用| |填空题|4|反比例函数性质、二次函数最值|设置阶梯双曲线、平移抛物线等创新问题，强化变量分析| |解答题|9|二次函数综合、函数建模|以体育训练风速模型、羽毛球飞行轨迹为背景，设计分层探究题，融合分类讨论与坐标法思想|

专题03 函数 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 以选择题、解答题形式考查；侧重点的坐标识别、对称与平移变换，常融合轴对称、反比例函数与几何综合，突出数形结合，结合地域与文化情境命题，梯度清晰，兼顾基础与素养考查。 考点02 函数及函数图象的分析与判断 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 均以选择题形式考查；函数及图像分析题分层命题、素养导向，侧重函数建模与图像判断，结合行程、数量变化等真实情境建立关系式。命题突出数形结合，强化图像识读、变量分析与模型应用能力，梯度清晰。 考点03 一次函数的图象、性质及应用 2025广西卷 以选择题形式考查，每年必考；无复杂情境，考查待定系数法求解析式，是基础送分题。 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 2026广西卷 2024广西卷 以选择题形式考查；侧重增减性判断，对数形结合、反比例函数推理能力要求明显提高 考点05 二次函数的图象、性质及应用 2026广西卷 2024广西卷 以填空题、解答题形式考查，每年必考；核心考查对称轴、开口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含参数取值范围；试卷最后一道几何代数综合大题，常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交等进行探究。核心思想：数形结合、坐标法、分类讨论。 考点01 平面直角坐标系 1．（2026年广西中考数学试题）如图所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于轴对称，点与点是对应点，则下列选项中的点，到，两点的距离相等的是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据蝴蝶图关于轴对称，点与点是对应点，所以线段被轴垂直平分，结合选项，即可求解． 【详解】解：因为蝴蝶图关于轴对称，且点与点是对应点，所以线段被轴垂直平分． 根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等． 选项中只有位于轴上，因此到M，N两点的距离相等．故选C． 2．（2025年广西中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 3．（2024年广西中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为， 故选：C． 4．（2025年广西中考数学真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1．（2026年广西中考数学试题）我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示： 年份 国内生产总值/亿元 国内生产总值随年份的变化而变化，当时，（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查表格数据的读取，只需从表格中找到对应的值即可得到答案． 【详解】解：由题中表格可知，表示年份，表示对应年份的国内生产总值． 当时，． 2．（2025年广西中考数学真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 3．（2024年广西中考数学试题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【详解】解：， 故选：A． 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1．（2025年广西中考数学真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1．（2026年广西中考数学试题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 2．（2024年广西中考数学试题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 考点05 二次函数的图象、性质及应用 1．（2026年广西中考数学试题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 2．（2024年广西中考数学试题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 3．（2026年广西中考数学试题）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【答案】(1) (2) 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）略 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． 4．（2024年广西中考数学试题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 一、单选题 1．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出一次函数与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 令，得， 令，即，解得， 一次函数与轴、轴交点分别为，， 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和， 面积为． 2．（2026年初中学业水平考试第一次适应性检测数学）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， 将，代入中，得， 故选D． 3．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 4．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 5．（广西钦州市钦北区2026年九年级中考模拟考试数学试题）某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（     ） A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为 C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为 【答案】C 【分析】根据图像获取点、的坐标，利用待定系数法求出线段的函数解析式，进而求出点的坐标，结合图像性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：设线段对应的函数解析式为 ∵图像过点， ∴， 解得 ∴线段的解析式为，故B选项错误 当时，，即点坐标为 ∵射线平行于轴 ∴50天后该植物停止长高，且最高高度为，故A、D选项错误 当时，，即第40天植物高度为，故C选项正确． 6．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（     ） A．小宇从家到景区，小宇的路程为公里 B．小宇途中停车观光的时间为分钟 C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时 D．小宇全程一共用时分钟 【答案】D 【分析】根据函数图象的信息，结合路程、速度、时间的关系，对各选项逐一进行分析． 【详解】对于A，由函数图象可知，从家到景区，小宇的路程为公里，故A正确，不符合题意； 对于B，小宇途中停车观光的时间为分钟，故B正确，不符合题意； 对于C，小宇到景区的整个过程中，共花了分钟，即个小时，平均速度是公里/小时，故C正确，不符合题意； 对于D，小宇全程一共用时分钟，故D错误，符合题意. 7．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（     ） A．当时，该港口水深最深，水深为 B．当时，的值是2或4 C．3时到8时，海水水位一直在下降 D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的实际应用，通过观察图象获取水深随时间变化的信息，结合题意及安全规定进行判断即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，该港口水深最深，但纵坐标明显高于7，即， 故A错误； 当时，对应的值为1或5， 故B错误； 从到，图象呈下降趋势，即水深随时间增加而减小， 则从3时到8时，海水水位一直在下降， 故C正确； 由信息窗②可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能小于， 则该船进出港口要求水深， 由图象可知，当时，，且当时，随的增大而减小， 则当时，，此时不可以进出该港口， 故D错误． 8．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于点，作轴于点，容易证明四边形是矩形，则，，，结合题干可证明，则，，因此四边形是正方形．利用正方形的性质和、的值可计算出，则点，代入求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， 又∵， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得． 9．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 10．（2026年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由抛物线对称轴为，即，可判断②；由抛物线开口向下，，，再根据与y轴交于正半轴，即，则，故可判定①；由，则，将代入可得，即可判定③；当时，，则，将代入，即可判断④． 【详解】解：由图像可知：抛物线对称轴为，即，则，故②错误； 抛物线开口向下，即，所以，与y轴交于正半轴，即，则，故①错误； 由，则，将代入，因为，即，故③错误， 当时，，则，将代入，即，故④正确． 综上，错误的有①②③． 故答案为：A． 二、填空题 11．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是___． 【答案】 【分析】直接利用反比例函数的增减性得出，进而求出答案． 【详解】解：∵反比例函数图像经过、，且， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性．反比例函数的增减性：当时，函数的图像在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；当时，函数的图像在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．正确得出关于的不等式是解题关键． 12．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 13．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系，则清洗游泳池所用的时间为____． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的应用，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出排水的速度，从而可以求得排水用的时间，最后即可求得清洗游泳池所用的时间． 【详解】解：由图象可得， 排水的速度为：， ∴排水用的时间为：， 清洗游泳池所用的时间为：． 故答案为：． 14．（2026年广西壮族自治区南宁市中考三模数学试题）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 三、解答题 15．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． (1)当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； (2)已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为元，则单件利润为元，分段求解关于的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设日销售数量关于销售单价的函数关系式为 代入点， 则 解得 ∴日销售数量关于销售单价的函数关系式为； （2）解：设日销售利润为元，则单件利润为元， ①当时， ∴ ∵ ∴随着的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当时， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时， 而 ∴农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元． 16．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，，．经过，两点的直线的表达式为． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先确定A点的坐标以及C点纵坐标，即可求双曲线解析式，再代入C点纵坐标，问题得解； （2）根据，，即可求解； （3）关于的不等式的解集在坐标系中的含义为：一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时，自变量的取值范围，数形结合即可作答． 【详解】（1）解：∵点和的刻度分别为和， ∴， ∵，，直尺平行于轴， ∴，， ∵在双曲线上， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵，点在双曲线上， ∴，解：， ∴； （2）解：如图，连接 根据题意可知：四边形是梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴； （3）解：关于的不等式的解集在坐标系中的含义为：一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时，自变量的取值范围， ∵，，且， ∴结合图象有：解集为：或． 17．（2026年广西壮族自治区南宁市中考三模数学测试卷）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）； （2）A； （3）① ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②略 18．（广西钦州市钦北区2026年九年级中考模拟考试数学试题）综合与实践——爱心饮水站 学校组织爱心活动，在操场设置饮水站．饮水机有温水（）和开水（）两个按钮，出水流速分别为和．志愿者用容量为的水杯为学生接水．接水时，只能先按一种按钮，再按另一种（不能同时按）．为了得到适宜饮用的温水（比如），需要合理分配时间． 设接温水的时间为秒（），接开水的时间为秒（），总接水时间秒．水杯接满时总体积满足（单位：）．根据能量守恒定律，温水和开水的热量变化相等，有其中为混合后的水温（单位：）． 【问题提出】 小明同学想探究如何分配时间使得混合水温恰好为，以及在不同限制下的最优方案． (1)【直观感知】若只接温水（即），水温为多少？若只接开水（即），水温能否直接饮用？说明理由． (2)【初步探究】小明先接了40秒温水，再接开水直到水杯满，求接开水的时间以及混合后的水温． (3)【深入研究】由于开水温度太高，为防止烫伤，规定开水的接取时间不得超过温水时间的2倍．设混合后水温为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (4)【问题解决】若要求混合后水温恰好为，且水杯刚好接满，求接温水和开水的时间各为多少？并求出总接水的时间． 【答案】(1)若只接温水，水温为；适宜直接饮用的水温范围是，若只接开水，水温为，超出适宜范围，因此不能直接饮用 (2)接开水的时间为秒，混合后水温为 (3) (4)接温水的时间为秒，接开水的时间为秒，总接水时间为秒 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）先根据水杯接满满足求出，再根据求出时间； （3）先列不等式组求解的取值范围，再把代入热量公式，整理求解即可； （4）由题意得，然后列出方程组求解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，温水本身温度为，只接温水时，因此水温为；若只接开水，不能饮用，理由见答案； （2）解：已知接温水时间秒，水杯接满满足， 代入得， 解得 将代入热量公式， 得， 整理得， 解得 因此接开水时间为秒，混合后水温为； （3）解：由水杯接满条件得， 由题意得， 代入得 ， 解得 将代入热量公式， 整理得，； （4）解：由题意得，可得方程组 ， 解得， 总接水时间（秒） 答：接温水的时间为秒，接开水的时间为秒，总接水时间为秒． 19．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴与的函数解析式为． （2）解：． ∵， ∴当时，有最大值为． 答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是． 20．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）【综合与实践】一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知，与时间（s）的关系为． 方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： （s） 1 2 3 （cm） 10 20 30 （cm）    解决问题： (1)根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度________，重力加速度________； (2)写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)10；10 (2)它在水平方向上前进了 (3) 【分析】（1）根据表格解题即可； （2）根据待定系数法即可求出解析式，计算当时自变量的值，即可得解； （3）推出小球进入纸箱时的高度，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，代入到中，得：； 代入到中， 得， 解得； （2）解：设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得（负值舍去）， 即它在水平方向上前进了； （3）解：由题意可得：小球要在时进入纸箱， 将代入得， 解得（负值舍去）， ∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为， ∴L的取值范围为． 21．（2026年广西壮族自治区玉林市中考第三次阶段测试数学试题）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 【答案】(1) (2) (3)共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是 【分析】（1）由题意易得桥拱最高点的坐标为，，则有，设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （3）由题意易知矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）：①：②；③；④；⑤；⑥，然后根据拱桥的最高点到的距离为进行分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：桥拱最高点的坐标为，， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 令，则有， ∴桥墩的高度； （3）解：∵矩形广告牌的面积为且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）： ①：②；③；④；⑤；⑥， ∵拱桥的最高点到的距离为， ∴方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑤： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑥： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是． 22．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)请写出抛物线的顶点坐标 ； (3)如图3，抛物线上两点、之间的部分记作抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）因为抛物线经过点和，所以将两点坐标代入抛物线交点式，即可得到抛物线解析式． （2）如果已经得到抛物线的一般式，那么可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点坐标． （3）首先求出点的坐标，再根据的横坐标为得到的纵坐标；因为在第一象限，所以分不大于顶点横坐标和大于顶点横坐标两种情况，分别确定抛物线弧的最高点、最低点的纵坐标，以及特征矩形的长和宽，结合矩形周长公式得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点 和 ， ∴抛物线的解析式为 ． ∴． （2）解：对抛物线配方： ， 因此顶点坐标为 ． （3）解：抛物线与y轴交点，点P在第一象限，故， 抛物线顶点为弧最高点，分两种情况讨论最低点： ①当时：弧最低点为， 特征矩形的长为t，宽为，周长， ②当时：，弧最低点为P， 特征矩形的长为t，宽为， 周长． 23．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 (1)若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” (2)当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： (3)在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)小组成员的结论成立．理由如下： ， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值为； ②当时，在顶点处取得最小值， ∴当时，取得最小值为； ③当时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为， ∴当或时，函数的最小值在端点处取得，而不是顶点处， ∴小组成员的结论成立． (3) 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）先根据二次函数的图象与性质确定开口方向和对称轴，再分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性计算函数的最小值即可； （3）结合（2）的结论容易计算出，将代入，求出与，进而求出线段的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值； （2）略 （3）解：由（2）可知，当时，的最小值为， ∵，与题干的最小值为矛盾， ∴， 又∵， ∴， 由（2）可知，此时的最小值为， ∴， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 3年真题1年模拟 考点分类 广西考情（2024-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 以选择题、解答题形式考查；侧重点的坐标识别、对称与平移变换，常融合轴对称、反比例函数与几何综合，突出数形结合，结合地域与文化情境命题，梯度清晰，兼顾基础与素养考查。 考点02 函数及函数图象的分析与判断 2026广西卷 2025广西卷 2024广西卷 均以选择题形式考查；函数及图像分析题分层命题、素养导向，侧重函数建模与图像判断，结合行程、数量变化等真实情境建立关系式。命题突出数形结合，强化图像识读、变量分析与模型应用能力，梯度清晰。 考点03 一次函数的图象、性质及应用 2025广西卷 以选择题形式考查，每年必考；无复杂情境，考查待定系数法求解析式，是基础送分题。 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 2026广西卷 2024广西卷 以选择题形式考查；侧重增减性判断，对数形结合、反比例函数推理能力要求明显提高 考点05 二次函数的图象、性质及应用 2026广西卷 2024广西卷 以填空题、解答题形式考查，每年必考；核心考查对称轴、开口方向、点到对称轴距离与函数值大小比较、含参数取值范围；试卷最后一道几何代数综合大题，常综合顶点、判别式、坐标交点、直线相交等进行探究。核心思想：数形结合、坐标法、分类讨论。 考点01 平面直角坐标系 1．（2026年广西中考数学试题）如图所示，在平面直角坐标系中，蝴蝶图案关于轴对称，点与点是对应点，则下列选项中的点，到，两点的距离相等的是（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2025年广西中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 3．（2024年广西中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025年广西中考数学真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1．（2026年广西中考数学试题）我国“十四五”期间每年的国内生产总值如下表所示： 年份 国内生产总值/亿元 国内生产总值随年份的变化而变化，当时，（  ） A． B． C． D． 2．（2025年广西中考数学真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 3．（2024年广西中考数学试题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1．（2025年广西中考数学真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1．（2026年广西中考数学试题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 2．（2024年广西中考数学试题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 考点05 二次函数的图象、性质及应用 1．（2026年广西中考数学试题）二次函数的最小值为__________． 2．（2024年广西中考数学试题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 3．（2026年广西中考数学试题）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 4．（2024年广西中考数学试题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 一、单选题 1．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026年初中学业水平考试第一次适应性检测数学）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 3．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 4．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 5．（广西钦州市钦北区2026年九年级中考模拟考试数学试题）某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（     ） A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为 C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为 6．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（     ） A．小宇从家到景区，小宇的路程为公里 B．小宇途中停车观光的时间为分钟 C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时 D．小宇全程一共用时分钟 7．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（     ） A．当时，该港口水深最深，水深为 B．当时，的值是2或4 C．3时到8时，海水水位一直在下降 D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 8．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026年广西来宾市九年级中考三模数学试题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（   ） ①②③④ A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．以上说法都正确 二、填空题 11．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是___． 12．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 13．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系，则清洗游泳池所用的时间为____． 14．（2026年广西壮族自治区南宁市中考三模数学试题）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 三、解答题 15．（2026年广西壮族自治区贺州市二模数学试题）随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量（）与销售单价（元）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价超过元时，此农产品下市不再销售． (1)当时，求日销售数量关于销售单价的函数关系式； (2)已知此农产品种植成本为每千克元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 16．（广西南宁市2026年中考二模考试数学试题）如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，，．经过，两点的直线的表达式为． (1)求的值和点的坐标； (2)求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 17．（2026年广西壮族自治区南宁市中考三模数学测试卷）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 18．（广西钦州市钦北区2026年九年级中考模拟考试数学试题）综合与实践——爱心饮水站 学校组织爱心活动，在操场设置饮水站．饮水机有温水（）和开水（）两个按钮，出水流速分别为和．志愿者用容量为的水杯为学生接水．接水时，只能先按一种按钮，再按另一种（不能同时按）．为了得到适宜饮用的温水（比如），需要合理分配时间． 设接温水的时间为秒（），接开水的时间为秒（），总接水时间秒．水杯接满时总体积满足（单位：）．根据能量守恒定律，温水和开水的热量变化相等，有其中为混合后的水温（单位：）． 【问题提出】 小明同学想探究如何分配时间使得混合水温恰好为，以及在不同限制下的最优方案． (1)【直观感知】若只接温水（即），水温为多少？若只接开水（即），水温能否直接饮用？说明理由． (2)【初步探究】小明先接了40秒温水，再接开水直到水杯满，求接开水的时间以及混合后的水温． (3)【深入研究】由于开水温度太高，为防止烫伤，规定开水的接取时间不得超过温水时间的2倍．设混合后水温为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． (4)【问题解决】若要求混合后水温恰好为，且水杯刚好接满，求接温水和开水的时间各为多少？并求出总接水的时间． 19．（2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 20．（2026年广西柳州市城中区中考二模考试数学试题）【综合与实践】一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知，与时间（s）的关系为． 方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： （s） 1 2 3 （cm） 10 20 30 （cm）    解决问题： (1)根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度________，重力加速度________； (2)写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 21．（2026年广西壮族自治区玉林市中考第三次阶段测试数学试题）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 22．（2026年广西壮族自治区梧州市二模数学试题）如图1，在物理实验中，某小组用传感器记录了一个小球从斜轨滑下后，再向上抛出，其运动轨迹可近似看成抛物线（如图2）．已知小球从斜轨末端抛出，轨迹经过轴上的点，再经过点．设是抛物线上的动点，的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)请写出抛物线的顶点坐标 ； (3)如图3，抛物线上两点、之间的部分记作抛物线弧（含端点）．过、分别作轴的垂线，，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，，直线，，，围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第一象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为，求关于的函数解析式． 23．（2026年广西壮族自治区柳州鱼峰区数学中考二模试题）某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 (1)若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” (2)当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： (3)在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 3年真题1年模拟·答案版 考点01 平面直角坐标系 1．C 2．B 3．C 4．(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1．D 2．B 3．A 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1．D 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1．A 2．A 考点05 二次函数的图象、性质及应用 1． 2． 3．(1) (2) 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 4．（1）①；②当时，有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．D 9．D 10．A 11． 12． 13． 14． 15．(1) (2)农产品销售单价定为每千克元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润为元 16．(1)， (2) (3)或 17．（1）； （2）A； （3）① ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 18．(1)若只接温水，水温为；适宜直接饮用的水温范围是，若只接开水，水温为，超出适宜范围，因此不能直接饮用 (2)接开水的时间为秒，混合后水温为 (3) (4)接温水的时间为秒，接开水的时间为秒，总接水时间为秒 19．(1) (2) 20．(1)10；10 (2)它在水平方向上前进了 (3) 21．(1) (2) (3)共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是 22．(1) (2) (3)当时，；当时， 23．(1)； (2)小组成员的结论成立．理由如下： ， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值为； ②当时，在顶点处取得最小值， ∴当时，取得最小值为； ③当时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为， ∴当或时，函数的最小值在端点处取得，而不是顶点处， ∴小组成员的结论成立． (3) 试卷第1页，共3页 2 / 2 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