专题04 函数（5年汇编）（天津专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦初中函数模块，整合2022-2026年天津中考真题及模拟题，覆盖8个核心考点，分层设计适配中考难度梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约3-6分/题|平面直角坐标系与几何折叠（2026真题）、反比例函数比大小（2022-2026每年必考）|基础题占70%+，聚焦符号特征、增减性等核心概念| |解答题|6-12分/题|一次函数实际应用（行程问题2026第4题）、二次函数压轴题（含参函数与几何综合2026第25题）|分层设计，第(1)问送分，第(3)问考查最值/存在性，体现数形结合与分类讨论思想|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01平面直角坐标系 1.(①12,03，-33 包0DF=483-45,3<t<6:②435≤5≤723 3 5 2013,2-3,多 3<ts3:®3 2 16 S≤3 3.D 考点02从函数图象获取信息 4.(1)填表如下： 小杰离开家的时 6 20 50 65 间/min 小杰离家的距离 1.2 2 2 /km -0.2x+1250≤x≤55 ②)y= 155<x<75 -0.2x+1675≤x≤80 3)52.5或65或7.5 1/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0.1x0≤x≤6 5.(1①0.1,0.6,1.8②0.12③y= 0.66<x≤18 0.1x-1.218<x≤30 (2)12<x<24 6.(1)①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当0≤x≤4时，y=0.15x;当4<x≤19时，y=0.6:当19<x≤25 时，y=0.15x-2.25 (2)1.05km 7.(1)①0.12,1.2,0.6②0.06：③y=0.650≤x≤60 y=-0.03x+2.460<x≤80 (2)0.3km 8.(1)0.8,1.2,2 (2)①0.8：②0.25；③10或116 3)当0≤x≤12时，y=0.1x;当12<x≤82时，y=1.2;当82<x≤92时，y=0.08x-5.36 考点03一次函数的图象 9.1(答案不唯一，满足b>-2即可) 10.2(答案不唯一，满足m>1即可) 11.5 12.1(答案不唯一，满足b>0即可) 13.2(答案不唯一) 考点04二次函数的图象与性质 14.1)1,4) 2)02,-1) ②5132 4 15.C 考点05二次函数的最值 16.C 17.C 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.1)①(1，-4)：②点M的坐标为2，-3)，点G的坐标为2，-2)： o点E号o和点F0,9 考点06二次函数的应用 19.D 20. )_33331 2222 (2)①3t-1, 31<52983s5533 16 21.1,3,4,3 2)①BE=-2t+5; 2 2:② s593 V3,。 91 22.C 考点07二次函数的综合 23.1)点P的坐标为-1,4： 20的值为6：②的值为/15 24.(1)该抛物线顶点P的坐标为1，-2 (2)10 (3)1 25.(1)①点P的坐标为-1,4；点A的坐标为-3,0：②点M的坐标为-2,3 (2)_521 2’4 考点08比较反比例函数或自变量的大小 26.C 27.D 28.B 319 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29.D 30.B 一年摸拟练测园 1.C 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.D 13.B 14.B 15.B 16.B 17.C 18.B 19.B 20.C 21.C 22.C 23.B 24.y=5x-3 25.三 26.1(答案不唯一，满足k>0即可) 419 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.4 28.-3 29.2 30.4(答案不唯一) 31. 22 515 33 32.7(答案不唯一，满足b≥6即可) 33.1(答案不唯一，满足m<2即可) 34.10(答案不唯一) 35.1)①1.5,3,1.6；②1.4；③当85≤x≤121时，小亮离家的距离y关于x的函数解析式 1.685≤x≤105 y= -0.1x+12.1105<x≤121 (2)98<x<112 36.(1)① 小夏离开家的时间 4 7 /min 小夏离家的距离/km 1.75 3.5 3.5 2 ②1.5 1.75x,0≤x≤2 ③y= 3.5,2<x≤5 -1.5x+11,5<x≤6 (2)5.5<x<7 37.1)①0.6；1.2；2：②0.125；③y= (2)15<x<20 38.1)5,400,100,9 100x0≤x≤4 Qy= 4004<x≤5 -100x+9005<x≤9 (3)0<x<6 39.(1)①0.1,1.6,0.8；②2或62.5 5/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0.1x0≤x<4 ②)y= 0.44≤x<10 0.24x-210≤x≤15 (3)5<x<12.5 40.1)①2.6,1.6,0.6；②0.12；③当0≤x≤5时，y=0.12x+2:当5<x≤35时，y=2.6;当 35<x≤45时，y=-0.2x+9.6 13km 15 0.15x0≤x≤8 41.0①0.151.22.7②0.09：③y= 1.28<x≤18 0.15x-1.518<x≤28 ②)2.1km 42.1)①0.6,3,1.6：②1.4；③当85≤x≤121时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 1.685≤x≤105 y= -0.1x+12.1105<x≤121 (2)98<x<112 43.0)010,12,20:②40③当0≤x<0.6时，y=20x:当0.6<X≤1时，y=12:当1<X≤1.5时， y=16x-4: ②)3<x<4.25 44.1)-6,0,6V3 a0DP=223t-3,13<t<61:@6≤ts6 3 45.a0c6,23'B12,23 20AB=103-3t6<t<8:②当4<t<10时，25<5≤153 4 46.1)①2，-9；②点M1,-8: 喝 619 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .号 2y -3x+0sxs号 昌r 64x+128L<x≤4 X+ 335 30或亏或- -9+6V6 48.1)①y=x2-2x-3,P|1,-4,②Q2,-3,PQ=V2 (2)m=3 49.1)①顶点坐标为2,9；②点P坐标为3,8： 50.a)2,4,(6,0 ®0R=2-21<t2北®哈ss1 51. 0)2,0 3 2HF=3 ,3<t<4 63 8s3 24 7 52.1)123,0r3,1月 20s=-3+3t-3,25<t<43:® 3 ≤S≤ 21 2 3 3 32 4 53.1)2/2,15,2 a0s=-t+3t-13<t4:@4s5 224 9 8 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,0≤Ks15 1 54.1)①0.5,2.5,1.5；②0.05；③y= 2.5,15<x≤30 1 +2,30<x≤45 (2)65≤x≤80 55.1)-1,2 o012,2ky=+号x+9g 19-2 7 7:② 15 56.0)2,234,2P3 23≤5≤3 20BF=6-2t2<t<3:② 57.1)1,9 )a=-37 7 6M1, 3, 3 a=-2+83 58.)2,23),(3,3) 2)0s=- 32+33 8 2 其中t的取值范围是1≤t<3.②273≤S≤73 128 5 59.1)1,2)； ②)2,1) 3)b=2 60.(1)2,9 2)①b=1②b=2 61.133,9-63,6 20AN=123-t,6/3<t<83:②63≤S≤813 5 819 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 62.0)顶点P的坐标为号 2)①a=- ;②点M的坐标为 -2, 2 63.1)P1,4 a02.®29 4.08,6-3,3+3 2)0S=63- 16-f3<t6:®兰93<5s65 3 65. 4V38 33 (2)① PQ=- 33t-88<t<4 3 3s5≤163 2 7 6a0p14r@-号号肉-音-号 (2)c=V5 67.1)①抛物线解析式为y=-x+2x+3,顶点P坐标为1,4：②点M的坐标为1，-3 (2)m=1 6g-2rg23 (2)00N= 3 V32三<t)②6asSs1 2 t-4’2 8 919 专题04 函数 5年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2022-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 2022-2026年每年均有考查，以选择题、填空题为主，常结合几何图形（矩形、三角形、旋转、平移）考查点的坐标特征、对称点坐标、两点间距离公式，2024年、2025年在解答题第24题结合几何变换考查坐标系下的图形运动，分值约3-6分/年，是函数模块的基础必考考点。 1. 基础考查聚焦象限内点的坐标符号特征、坐标轴上点的坐标规律、对称点坐标求解，多为基础送分题；2. 中档考查结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、两点间距离公式，常与几何图形边长、面积计算结合；3. 综合考查在解答题中结合旋转、平移、折叠等几何变换，考查坐标系下点的坐标求解、图形位置关系，是几何综合题的基础载体；4. 命题趋势稳定，侧重数形结合思想，难度梯度清晰，基础题占比超70%。 考点02 从函数图象获取信息 2022-2026年每年必考，以选择题为主，常出现在选择题第7-10题，2025年新增动态几何结合函数图象判断的题型，分值约3分/年，是函数模块的高频基础考点，偶尔在填空题中结合分段函数考查。 1. 基础考查聚焦一次函数、反比例函数、二次函数的图象识别，根据解析式判断图象形状、位置、增减性，多为基础题；2. 核心考查结合实际情境（行程、工程、销售）的函数图象，考查从图象中提取起点、拐点、终点、交点等信息，求解函数解析式、变量取值范围、实际意义；3. 中档考查结合几何动态问题（动点、动线、图形运动），判断对应的函数图象形状，侧重“以图析图”的能力，2025年首次考查后成为2026年备考热点；4. 命题趋势稳定，侧重数形结合和信息提取能力，难度逐年小幅提升，实际情境与几何动态结合是核心方向。 考点03 一次函数的图象 2022-2026年每年必考，是函数模块的核心基础考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题，填空题第16题固定考查一次函数图象与性质，解答题第23题常结合实际应用考查，分值约6-10分/年，占函数模块总分的20%-30%。 1. 基础考查聚焦一次函数图象与系数k、b的关系，根据k、b的符号判断图象经过的象限、增减性，以及图象与坐标轴的交点坐标求解，多为选择题、填空题基础题；2. 核心考查一次函数图象的平移变换，遵循“左加右减、上加下减”的规律，2023年、2025年、2026年均在填空题第16题考查，是高频固定考点；3. 中档考查结合一次函数图象与方程、不等式的关系，利用图象求解不等式解集、方程的解，常与反比例函数结合考查交点问题；4. 综合考查在解答题中结合实际情境（行程、销售、方案选择），考查一次函数解析式求解、图象分析、实际应用，是解答题必考题型；5. 命题趋势稳定，考点覆盖全面，基础题与中档题占比超90%，平移变换、图象与系数关系是每年固定考查的核心。 考点04 二次函数的图象与性质 2022-2026年每年必考，是函数模块的核心重难点考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题，选择题第10-12题、填空题第15-16题常考查基础性质，解答题第25题压轴题核心考查，分值约8-12分/年，占函数模块总分的30%-40%。 1. 基础考查聚焦二次函数的三种解析式（一般式、顶点式、交点式）、对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、与坐标轴的交点坐标，多为选择题、填空题基础题，2022-2026年每年均有考查；2. 核心考查二次函数图象的平移、对称变换，结合顶点式分析图象变换规律，常与几何图形的对称、平移结合考查；3. 中档考查结合二次函数图象与一元二次方程的关系，利用判别式判断图象与x轴的交点个数，结合韦达定理考查根与系数的关系；4. 综合考查在解答题压轴题中，结合含参二次函数，考查图象性质的综合应用，是压轴题的基础载体；5. 命题趋势稳定，基础性质考查每年固定，含参函数、图象与几何结合是难度提升的核心方向，是区分高分段的核心考点之一。 考点05 二次函数的最值 2022-2026年每年必考，是二次函数模块的核心考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题，选择题第12题常结合实际应用考查最值，解答题第25题压轴题固定考查最值问题，分值约4-8分/年，是二次函数综合题的核心得分点。 1. 基础考查聚焦二次函数顶点式的最值求解，根据开口方向和顶点坐标确定函数的最大值或最小值，多为填空题基础题，2022-2026年每年均有考查；2. 核心考查结合自变量取值范围的二次函数最值求解，区分顶点在取值范围内、外的不同情况，是中档题的核心考查方向；3. 实际应用考查结合销售利润、面积最大、材料最省等实际情境，建立二次函数模型求解最值，2023年、2024年、2025年选择题第12题均有考查，是高频考点；4. 综合考查在解答题压轴题中，结合几何图形（三角形、四边形、圆），考查线段最值、面积最值、周长最值，是压轴题第（3）问的固定考查内容，2022-2026年每年压轴题均有涉及；5. 命题趋势稳定，基础最值求解是必考点，结合几何图形的动态最值是难度提升的核心方向，是区分高分段的关键考点。 考点06 二次函数的应用 2022-2026年每年必考，是二次函数模块的高频考点，题型以选择题、解答题为主，选择题第12题固定考查实际应用，解答题第23题偶尔结合考查，分值约3-6分/年，是联系实际生活的核心函数考点。 1. 核心考查结合实际生活情境的二次函数建模，常见情境包括：销售利润问题（涨价/降价与销量、利润的关系）、面积最值问题（围篱笆、矩形面积）、抛体运动问题（抛小球、喷泉）、刹车问题、工程问题等，2023年围篱笆、2024年抛球、2025年动点面积问题均在选择题第12题考查；2. 基础考查聚焦根据实际情境建立二次函数解析式，求解函数的最值、自变量取值范围，多为选择题基础题；3. 中档考查结合实际情境的分段函数应用，区分不同区间的函数关系，求解最优方案、最大利润等；4. 综合考查在解答题中结合一次函数、不等式，考查方案设计、决策优化，是解答题的常考题型；5. 命题趋势稳定，贴近生活实际，情境新颖，侧重数学建模能力，难度逐年小幅提升，结合几何动态的实际应用是2026年备考热点。 考点07 二次函数的综合 2022-2026年每年必考，是天津中考数学的终极压轴考点，固定出现在解答题第25题，分值约10分/年，占全卷总分的8%左右，是区分满分、高分段的核心考点，难度为全卷最高。 1. 核心考查以含参二次函数为载体，融合几何图形（三角形、四边形、圆）、几何变换（旋转、平移、折叠、对称），考查综合应用能力，2022-2026年每年压轴题均遵循此模式；2. 问题设计梯度清晰，第（1）问固定考查二次函数解析式、顶点坐标、对称轴等基础性质，为送分题；第（2）问考查含参函数的性质、几何条件转化、坐标求解，为中档题；第（3）问考查最值问题、存在性问题、角度条件、线段和差等综合问题，为难题，是区分高分的核心；3. 核心考查的几何元素包括：等腰直角三角形、全等三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆的切线与性质，2024年考查等腰直角三角形、2025年考查平行四边形、2026年预测考查矩形/菱形存在性；4. 核心思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、方程思想，是考查的核心能力；5. 命题趋势稳定，“二次函数+几何”的核心模式不变，几何条件越来越综合，含参函数的灵活度提升，最值问题、存在性问题是永恒的压轴核心。 考点08 比较反比例函数或自变量的大小 2022-2026年每年必考，是反比例函数模块的核心基础考点，题型以选择题为主，常出现在选择题第6-8题，2026年真题第6题直接考查此考点，分值约3分/年，是函数模块的送分必考点。 1. 基础考查聚焦反比例函数的增减性，根据k的符号判断函数图象所在象限，以及在每个象限内y随x的变化规律，是解题的核心基础；2. 核心考查分两类：①已知反比例函数解析式和点的横坐标，比较函数值的大小；②已知反比例函数解析式和点的函数值，比较自变量的大小，2022-2026年每年均有考查；3. 解题规律固定，遵循“先定象限、再分象限、最后比大小”的三步法：先根据k的符号判断函数图象所在象限，再区分点在同一象限还是异象限，异象限直接根据正负判断，同一象限根据增减性判断；4. 中档考查结合含参反比例函数，根据函数值大小关系求解参数的取值范围，是难度提升的唯一方向；5. 命题趋势极其稳定，考点固定，难度低，是必拿分的基础考点，2026年仍将延续此命题规律。 考点01 平面直角坐标系 1．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 3．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点02 从函数图象获取信息 4．（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 5．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 6．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 7．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 8．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为___________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2 考点03 一次函数的图象 9．（2026·天津·中考真题）将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 10．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 11．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 12．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 13．（2024·天津·中考真题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 考点04 二次函数的图象与性质 14．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 15．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点05 二次函数的最值 16．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 考点06 二次函数的应用 19．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 20．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 22．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点07 二次函数的综合 23．（2026·天津·中考真题）已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． (1)当，，时，求点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 24．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 25．（2023·天津·中考真题）已知抛物线 ，为常数， 的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 考点08 比较反比例函数或自变量的大小 26．（2026·天津·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 27．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 28．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 29．（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·天津西青·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津西青·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津红桥·一模）若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津东丽·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津滨海新区·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河东·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·天津和平·三模）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026·天津和平·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·天津河东·三模）如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2026·天津·二模）在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2026·天津·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·天津河西·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ）． A． B． C． D． 13．（2026·天津东丽·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·天津滨海新区·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 17．（2026·天津东丽·二模）如图，在中，，，．动点P从点B出发，以的速度沿边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以为边作正方形，使点D，A始终在边同侧，设点P运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，y关于x的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点A重合时，． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2026·天津红桥·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 22．（2026·天津东丽·一模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2026·天津南开·三模）如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 24．（2026·天津和平·三模）将直线向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为________． 25．（2026·天津西青·一模）函数的图象不经过第______象限． 26．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 27．（2026·天津西青·二模）函数的图象向下平移2个单位后经过点，则的值是______． 28．（2026·天津滨海新区·二模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 29．（2026·天津东丽·二模）若将直线向下平移2个单位，平移后的直线经过原点，则m的值是_________． 30．（2026·天津东丽·一模）把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 31．（2026·天津和平·三模）如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 32．（2026·天津河西·二模）将直线向下平移了6个单位长度，若平移后的直线不经过第四象限，则的值可以是_______（写出一个即可）． 33．（2026·天津·二模）若将直线向下平移个单位，平移后的直线经过第三、第四、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 34．（2026·天津河西·一模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 三、解答题 35．（2026·天津河东·三模）已知小亮家、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离小亮家，体育场离小亮家，小亮从家骑车匀速骑行到体育场锻炼，在那里停留了后，又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速慢跑返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小亮离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开家的时间 离家的距离/ ②填空：体育场到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小亮离家的距离关于的函数解析式； (2)小亮的哥哥和小亮同时从体育场出发，小亮的哥哥以的速度散步直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个的值，小亮离家的距离为，小亮的哥哥离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 离开家的时间 离家的距离/ 3 36．（2026·天津和平·三模）已知小夏的家、书店、文具店依次在同一条直线上，书店离家，文具店离家．小夏从家出发，先匀速驾车到文具店，在文具店停留了，之后匀速驾车到书店，在书店停留了后，再用匀速驾车返回家．下面图中表示小夏离开家的时间，表示小夏离家的距离．图象反映了这个过程中小夏离家距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小夏离开家的时间 1 2 4 7 小夏离家的距离 3.5 ②填空：小夏从文具店到书店的速度为________； ③当时，请直接写出小夏离家的距离关于时间的函数解析式． (2)若小夏的爸爸在小夏离开家后从文具店出发，以的速度骑电动车回家．在他从文具店返回家的过程中，对于同一个的值，小夏离家的距离为，小夏的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 小夏离开家的时间 1 2 4 7 小夏离家的距离 1.75 3.5 3.5 2 37．（2026·天津·二模）已知学生宿舍、书店、体育场依次在同一条直线上，书店离宿舍，体育场离宿舍，李明从宿舍出发，匀速骑行到书店买书，在书店停留了后，又匀速步行到体育场，在体育场锻炼了后，用了匀速步行返回宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 1.2 ②填空：李明从体育场返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式． (2)同宿舍的张华与李明同时从宿舍出发，张华以的速度步行直接到体育场，在从宿舍到体育场的过程中，对于同一个x的值，李明离宿舍的距离为，张华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 0.6 1.2 1.2 2 38．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 39．（2026·天津红桥·一模）已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．小亮从宿舍出发，先匀速步行了到超市；在超市停留了后，匀速骑行了到书店；在书店停留了后，匀速步行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小亮离开宿舍的时间 1 10 30 55 小亮离宿舍的距离 0.4 ②填空：当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为________； (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到书店．在从宿舍到书店的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 40．（2026·天津东丽·一模）已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 41．（2026·天津·一模）已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 42．（2026·天津滨海新区·一模）已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 43．（2026·天津河西·一模）已知宿舍、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离宿舍，图书馆离宿舍．小华从宿舍出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小华离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 ②填空：小华从图书馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离宿舍的距离关于时间的函数解析式； (2)在小华离开图书馆之前，同宿舍的小明也从图书馆以的速度跑回宿舍，且小明比小华早离开图书馆．那么在从图书馆到宿舍的过程中，对于同一个的值，小华离宿舍的距离为，小明离宿舍的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 10 12 20 44．（2026·天津和平·三模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，点为轴负半轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)填空：如图①，当过点时，点的坐标为_____，线段的长为_____； (2)点从原点出发沿水平方向向左移动，设． ①如图②，若与边相交于点，与相交于点，与相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； ②设与重叠部分面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 45．（2026·天津南开·三模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，． (1)填空：如图1，点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)若为轴的正半轴上一动点，点在第一象限，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点，点的对应点为．设． ①如图2，若折叠后点落在直线上，点落在线段上，直线与，分别相交于点和点，当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 46．（2026·天津红桥·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 47．（2026·天津河东·三模）如图，在矩形中，，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点重合），且点刚好落在的延长线上，与相交于点． (1)求矩形与重叠部分（图①中阴影部分）的面积； (2)将以的速度沿直线向右平移，如图②，当点移动到点时停止移动，设矩形与重叠部分的面积为，移动的时间为，求关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若在（2）的平移过程中，存在这样的时间，使得为等腰三角形，请你直接写出满足条件的的值． 48．（2026·天津南开·三模）抛物线（a，b，c为常数，且）顶点，其中，抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，过点P作，交抛物线于点Q（点P与点Q不重合）． (1)当时． ①求抛物线的解析式和顶点P的坐标； ②求点Q的坐标和线段的长； (2)若y轴上一点，直线与直线相交于点N，在的边，和上分别有动点E，F，G．当的周长取得最小值时，求m的值． 49．（2026·天津和平·三模）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 50．（2026·天津和平·三模）将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，点B在第一象限，点C，D在x轴的正半轴上，且，． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点C的坐标为________． (2)若E为x轴的正半轴上一动点，过点E作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点的对应点落在射线上，设． ①如图②，若直线l与边相交于点P，直线l与边相交于点Q，当折叠后纸片重叠部分为四边形且点Q在点B左侧时，与边相交于点R，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 51．（2026·天津河西·二模）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点．动点从点出发沿轴负方向运动，为边上的点，且，以所在直线为折痕折叠该纸片，点的对应点为，点的对应点为．设． (1)如图①，当时，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，折痕与边交于点，分别与边，相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)设折叠后重合部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 52．（2026·天津·二模）将一个三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点 在 轴正半轴上，点 在第一象限， ， ． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)点 为 上一动点，过点 作直线 直线 ，垂足为，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点为．设折叠后重叠部分的面积为S， ． ①如图②，当折叠后重叠部分为四边形时，与 交于点，试用含的式子表示S，并直接写出的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 53．（2026·天津滨海新区·二模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点B在第一象限． (1)填空：如图①，线段的长为________，点B的坐标为________； (2)点P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l，直线l与射线交于点Q，°，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在第一象限，设． ①如图②，若直线l与边相交于点N，当折叠后四边形与平行四边形重叠部分为五边形时，与边和分别相交于点E和点M，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求折叠后重叠部分的面积S的取值范围（直接写出结果即可）． 54．（2026·天津滨海新区·二模）已知刘伟家、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离刘伟家，体育场离刘伟家，刘伟从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了，之后又匀速步行到文具店，在文具店停留了后，再用匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中刘伟离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 刘伟离开家的时间 3 15 30 50 刘伟离开家的距离 2.5 ②填空：刘伟从文具店匀速散步回家的速度为________； ③当时，请直接写出刘伟离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)刘伟离开家30分钟时，刘伟的哥哥也从体育场出发，以速度匀速步行直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个x的值，刘伟离家的距离为，刘伟的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 55．（2026·天津河北·一模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，． (1)若，，求抛物线顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． ①当时，求点的坐标与拋物线的解析式； ②当时，求的值． 56．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 57．（2026·天津东丽·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 58．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，的顶点，且轴，顶点在边上． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设．与重叠部分的面积为． ①如图②，若边，分别与边相交于点，点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 59．（2026·天津河西·一模）已知抛物线，（，，为常数，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，点和点在该抛物线上，点为抛物线与轴的交点，且，，求点的坐标； (3)当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求的值． 60．（2026·天津西青·一模）已知抛物线（b，c为常数，）经过点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点． ①当时，求b的值； ②若点是x轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求b的值． 61．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 62．（2026·天津红桥·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）经过点． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点． ①当时，若，求a的值； ②M为第三象限内抛物线上一点，若，，当时，求点M的坐标． 63．（2026·天津滨海新区·一模）已知抛物线（b，c为常数，）． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接，，当的最小值为时，求b的值． 64．（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 65．（2026·天津滨海新区·三模）在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，，点，射线上有一个动点，线段上有一个动点，沿直线折叠，点对应点为，轴． (1)如图①，若点落轴上，则点坐标为__________，点坐标为__________． (2)设． ①如图②，折叠后的与重叠部分为四边形，和分别与轴交于，两点，试用含的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积，当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 66．（2026·天津滨海新区·二模）已知抛物线（，，为常数，）．点，点为抛物线与轴两个交点，点为抛物线与轴交点． (1)当时， ①求抛物线顶点的坐标； ②若点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． (2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交线段于点，连接，当时，求的值． 67．（2026·天津·二模）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴的交点为D． (1)若，，， ①求抛物线的解析式及顶点P的坐标； ②M为抛物线对称轴上一点，且在第四象限，E为抛物线上的点，且在第三象限，当，时，求点M的坐标； (2)若，(m为常数，)，，N为直线上的动点，且在x轴上方，过N作，与对称轴交于点F，当的最小值为时，求m的值． 68．（2026·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 试卷第1页，共3页 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数 5年真题1年模拟 考点分类 天津考情（2022-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 2022-2026年每年均有考查，以选择题、填空题为主，常结合几何图形（矩形、三角形、旋转、平移）考查点的坐标特征、对称点坐标、两点间距离公式，2024年、2025年在解答题第24题结合几何变换考查坐标系下的图形运动，分值约3-6分/年，是函数模块的基础必考考点。 1. 基础考查聚焦象限内点的坐标符号特征、坐标轴上点的坐标规律、对称点坐标求解，多为基础送分题；2. 中档考查结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、两点间距离公式，常与几何图形边长、面积计算结合；3. 综合考查在解答题中结合旋转、平移、折叠等几何变换，考查坐标系下点的坐标求解、图形位置关系，是几何综合题的基础载体；4. 命题趋势稳定，侧重数形结合思想，难度梯度清晰，基础题占比超70%。 考点02 从函数图象获取信息 2022-2026年每年必考，以选择题为主，常出现在选择题第7-10题，2025年新增动态几何结合函数图象判断的题型，分值约3分/年，是函数模块的高频基础考点，偶尔在填空题中结合分段函数考查。 1. 基础考查聚焦一次函数、反比例函数、二次函数的图象识别，根据解析式判断图象形状、位置、增减性，多为基础题；2. 核心考查结合实际情境（行程、工程、销售）的函数图象，考查从图象中提取起点、拐点、终点、交点等信息，求解函数解析式、变量取值范围、实际意义；3. 中档考查结合几何动态问题（动点、动线、图形运动），判断对应的函数图象形状，侧重“以图析图”的能力，2025年首次考查后成为2026年备考热点；4. 命题趋势稳定，侧重数形结合和信息提取能力，难度逐年小幅提升，实际情境与几何动态结合是核心方向。 考点03 一次函数的图象 2022-2026年每年必考，是函数模块的核心基础考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题，填空题第16题固定考查一次函数图象与性质，解答题第23题常结合实际应用考查，分值约6-10分/年，占函数模块总分的20%-30%。 1. 基础考查聚焦一次函数图象与系数k、b的关系，根据k、b的符号判断图象经过的象限、增减性，以及图象与坐标轴的交点坐标求解，多为选择题、填空题基础题；2. 核心考查一次函数图象的平移变换，遵循“左加右减、上加下减”的规律，2023年、2025年、2026年均在填空题第16题考查，是高频固定考点；3. 中档考查结合一次函数图象与方程、不等式的关系，利用图象求解不等式解集、方程的解，常与反比例函数结合考查交点问题；4. 综合考查在解答题中结合实际情境（行程、销售、方案选择），考查一次函数解析式求解、图象分析、实际应用，是解答题必考题型；5. 命题趋势稳定，考点覆盖全面，基础题与中档题占比超90%，平移变换、图象与系数关系是每年固定考查的核心。 考点04 二次函数的图象与性质 2022-2026年每年必考，是函数模块的核心重难点考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题，选择题第10-12题、填空题第15-16题常考查基础性质，解答题第25题压轴题核心考查，分值约8-12分/年，占函数模块总分的30%-40%。 1. 基础考查聚焦二次函数的三种解析式（一般式、顶点式、交点式）、对称轴、顶点坐标、开口方向、增减性、与坐标轴的交点坐标，多为选择题、填空题基础题，2022-2026年每年均有考查；2. 核心考查二次函数图象的平移、对称变换，结合顶点式分析图象变换规律，常与几何图形的对称、平移结合考查；3. 中档考查结合二次函数图象与一元二次方程的关系，利用判别式判断图象与x轴的交点个数，结合韦达定理考查根与系数的关系；4. 综合考查在解答题压轴题中，结合含参二次函数，考查图象性质的综合应用，是压轴题的基础载体；5. 命题趋势稳定，基础性质考查每年固定，含参函数、图象与几何结合是难度提升的核心方向，是区分高分段的核心考点之一。 考点05 二次函数的最值 2022-2026年每年必考，是二次函数模块的核心考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题，选择题第12题常结合实际应用考查最值，解答题第25题压轴题固定考查最值问题，分值约4-8分/年，是二次函数综合题的核心得分点。 1. 基础考查聚焦二次函数顶点式的最值求解，根据开口方向和顶点坐标确定函数的最大值或最小值，多为填空题基础题，2022-2026年每年均有考查；2. 核心考查结合自变量取值范围的二次函数最值求解，区分顶点在取值范围内、外的不同情况，是中档题的核心考查方向；3. 实际应用考查结合销售利润、面积最大、材料最省等实际情境，建立二次函数模型求解最值，2023年、2024年、2025年选择题第12题均有考查，是高频考点；4. 综合考查在解答题压轴题中，结合几何图形（三角形、四边形、圆），考查线段最值、面积最值、周长最值，是压轴题第（3）问的固定考查内容，2022-2026年每年压轴题均有涉及；5. 命题趋势稳定，基础最值求解是必考点，结合几何图形的动态最值是难度提升的核心方向，是区分高分段的关键考点。 考点06 二次函数的应用 2022-2026年每年必考，是二次函数模块的高频考点，题型以选择题、解答题为主，选择题第12题固定考查实际应用，解答题第23题偶尔结合考查，分值约3-6分/年，是联系实际生活的核心函数考点。 1. 核心考查结合实际生活情境的二次函数建模，常见情境包括：销售利润问题（涨价/降价与销量、利润的关系）、面积最值问题（围篱笆、矩形面积）、抛体运动问题（抛小球、喷泉）、刹车问题、工程问题等，2023年围篱笆、2024年抛球、2025年动点面积问题均在选择题第12题考查；2. 基础考查聚焦根据实际情境建立二次函数解析式，求解函数的最值、自变量取值范围，多为选择题基础题；3. 中档考查结合实际情境的分段函数应用，区分不同区间的函数关系，求解最优方案、最大利润等；4. 综合考查在解答题中结合一次函数、不等式，考查方案设计、决策优化，是解答题的常考题型；5. 命题趋势稳定，贴近生活实际，情境新颖，侧重数学建模能力，难度逐年小幅提升，结合几何动态的实际应用是2026年备考热点。 考点07 二次函数的综合 2022-2026年每年必考，是天津中考数学的终极压轴考点，固定出现在解答题第25题，分值约10分/年，占全卷总分的8%左右，是区分满分、高分段的核心考点，难度为全卷最高。 1. 核心考查以含参二次函数为载体，融合几何图形（三角形、四边形、圆）、几何变换（旋转、平移、折叠、对称），考查综合应用能力，2022-2026年每年压轴题均遵循此模式；2. 问题设计梯度清晰，第（1）问固定考查二次函数解析式、顶点坐标、对称轴等基础性质，为送分题；第（2）问考查含参函数的性质、几何条件转化、坐标求解，为中档题；第（3）问考查最值问题、存在性问题、角度条件、线段和差等综合问题，为难题，是区分高分的核心；3. 核心考查的几何元素包括：等腰直角三角形、全等三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆的切线与性质，2024年考查等腰直角三角形、2025年考查平行四边形、2026年预测考查矩形/菱形存在性；4. 核心思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、方程思想，是考查的核心能力；5. 命题趋势稳定，“二次函数+几何”的核心模式不变，几何条件越来越综合，含参函数的灵活度提升，最值问题、存在性问题是永恒的压轴核心。 考点08 比较反比例函数或自变量的大小 2022-2026年每年必考，是反比例函数模块的核心基础考点，题型以选择题为主，常出现在选择题第6-8题，2026年真题第6题直接考查此考点，分值约3分/年，是函数模块的送分必考点。 1. 基础考查聚焦反比例函数的增减性，根据k的符号判断函数图象所在象限，以及在每个象限内y随x的变化规律，是解题的核心基础；2. 核心考查分两类：①已知反比例函数解析式和点的横坐标，比较函数值的大小；②已知反比例函数解析式和点的函数值，比较自变量的大小，2022-2026年每年均有考查；3. 解题规律固定，遵循“先定象限、再分象限、最后比大小”的三步法：先根据k的符号判断函数图象所在象限，再区分点在同一象限还是异象限，异象限直接根据正负判断，同一象限根据增减性判断；4. 中档考查结合含参反比例函数，根据函数值大小关系求解参数的取值范围，是难度提升的唯一方向；5. 命题趋势极其稳定，考点固定，难度低，是必拿分的基础考点，2026年仍将延续此命题规律。 考点01 平面直角坐标系 1．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中， 为原点，点 在 轴的正半轴上，点 ， 分别在第一、第四象限，且关于 轴对称，，，． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点落在 轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线 分别与边，相交于点 ， ，当折叠后重叠部分为五边形时，点 ， 的对应点分别为，，与 相交于点 ，与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）连接交 轴于点，然后解，再根据轴对称的性质即可求解； （2）①导角得到，则，那么，然后解，即可求解，然后找出两个临界位置求解的取值范围即可； ②分三种情况讨论，分别画出图形，求出函数关系式，再利用二次函数的性质求解的取值范围． 【详解】（1）解：连接交 轴于点， ∵，，． ∴由对称可得，，， ∴，，， ∴，， ∵点A，C关于x轴对称， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴ ∴ ∴， 由得，， 在中，，得 ∴ 当点重合时，如图： 此时由（1）可得，； 当点重合时，如图： 此时，则， ∴的取值范围为； ②当时，如图，记直线 与交于点，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴由对称可得，，， ∴， ∵，对称轴为直线 ∴当时，随着的增大而增大 ∴时，；时，， ∴时，； 当，重叠部分为五边形，延长交直线于点， 在中，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴， 即 ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为， 当时，可求；当时，可求， ∴当时，； 当时，重叠部分为， 此时， 在中，， ∴， ∴由对称可得，， ∴， 即， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，可求；时，可求， ∴当时， 综上：． 2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________； (2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．    ①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围： ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，． (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积S；②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴， ∴； 连接，交于一点H，如图所示：    ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：①∵点，点，点， ∴矩形中，轴，轴，． ∴矩形中，轴，轴，． 由点，点，得． 在中，，得． 在中，由，得． ∴．同理，得． ∵，得． 又， ∴， 当时，则矩形和菱形重叠部分为， ∴的取值范围是． ②由①及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的， ∴当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    此时面积S最大，最大值为； 当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：    由（1）可知B、D之间的水平距离为，则有点D到的距离为， 由①可知：， ∴矩形和菱形重叠部分为等边三角形， ∴该等边三角形的边长为， ∴此时面积S最小，最小值为； 综上所述：当时，则． 【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键． 3．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴∠ACO=∠BCO=90°， ∵OA=OB，OC=OC， ∴△ACO≌△BCO(HL)， ∴AC=BC=AB=3， ∵OA=5， ∴OC=4， ∴点A的坐标是（4，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点02 从函数图象获取信息 4．（2026·天津·中考真题）已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家，体育公园离家．小杰从家出发，先匀速骑行了到体育公园，在体育公园停留了，之后匀速骑行了到民俗文化馆，在民俗文化馆停留后，再匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2)当时，请直接写出小杰离家的距离关于时间的函数解析式； (3)当小杰离开家时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了直接回到家．在的时段内，对于同一个的值，小杰离家的距离为，小杰的爷爷离家的距离为，当时，求的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)填表如下： 小杰离开家的时间 小杰离家的距离 (2) (3)或或 【分析】（1）先求出小杰骑行到体育公园的速度，得到小杰离开家时离家的距离；再根据图象分别得到小杰离开家和时离家的距离，即可填表； （2）分三种情况讨论：、、，结合图象，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意与满足一次函数关系，利用待定系数法求出，再分三种情况讨论：、、，令，即可求出的值． 【详解】（1）解：小杰骑行到体育公园的速度为， ∴当小杰离开家时，离家的距离为； 由图象得，当小杰离开家时，离家的距离为； 当小杰离开家时，离家的距离为； 填表略； （2）解：当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时，由图象得，， ∴； 当时，小杰离家的距离与时间的满足一次函数关系， 设， 代入和得，， 解得， ∴； 综上，小杰离家的距离关于时间的函数解析式为； （3）解：当小杰的爷爷回到家时，小杰离开家时间为， 由题意得，与满足一次函数关系，设， 代入和得，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的值为或或． 5．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 6．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 7．（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2) 【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可． 【详解】（1）①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； 当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的， ∴ 解得， 当时，， 所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 1.6 (2)填空： ①阅览室到超市的距离为___________； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________； ③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)0.8，1.2，2 (2)①0.8；②0.25；③10或116 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整； （2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整； （3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式． 【详解】（1）由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min, 故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8； 在时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km 故当x=50时，距离不变，都是1.2km； 在时，离学生公寓的距离不变，都是2km， 所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km 故填表为： 离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112 离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2 （2）①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8； ②小琪从超市返回学生公寓的速度为： 2÷（120-112）=0.25； ③分两种情形： 当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： 1÷0.1=10； 当小琪返回与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为： 112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min； 故答案为：①0.8；②0.25；③10或116 （3）当时，设直线解析式为y=kx， 把（12，1.2）代入得，12k=1.2, 解得，k=0.1 ∴； 当时，； 当时，设直线解析式为， 把（82，1.2），（92，2）代入得， 解得， ∴， 由上可得，当时，y关于x的函数解析式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 考点03 一次函数的图象 9．（2026·天津·中考真题）将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、四象限， ∴，， 解得， 的值可以取，符合题意（答案不唯一）． 10．（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 11．（2023·天津·中考真题）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】5 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 12．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案为：1答案不唯一，满足即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 13．（2024·天津·中考真题）若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则的值可以等于___________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握：在正比例函数中，当时，随的增大而增大，图象经过第一、三象限；当时，随的增大而减小，图象经过第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴的值可以等于． 故答案为：（答案不唯一）． 考点04 二次函数的图象与性质 14．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，， 解得 ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ， ． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在 中，， ． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 15．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， ， ，即，得出，故①正确； ， 对称轴， ， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确； ， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解． 考点05 二次函数的最值 16．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 17．（2023·天津·中考真题）如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 18．（2022·天津·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 【答案】(1)①；②点M的坐标为，点G的坐标为； (2)点和点； 【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标； （2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标； 【详解】（1）①∵抛物线与x轴相交于点， ∴．又，得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴点P的坐标为． ②当时，由， 解得． ∴点B的坐标为． 设经过B，P两点的直线的解析式为， 有解得 ∴直线的解析式为． ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示： ∴点M的坐标为，点G的坐标为． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时，点M的坐标为，点G的坐标为． （2）由（1）知，又， ∴． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点P的坐标为． ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为． 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示： 得点的坐标为，点的坐标为． 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值， 此时，． 延长与直线相交于点H，则． 在中，． ∴． 解得（舍）． ∴点的坐标为，点的坐标为． 则直线的解析式为． ∴点和点． 【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键． 考点06 二次函数的应用 19．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 20．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 考点07 二次函数的综合 23．（2026·天津·中考真题）已知抛物线（，，为常数，，）的顶点为． (1)当，，时，求点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若，求的值； ②若点，，为线段的中点，点在线段上（不与点，重合），点在线段上，且，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①的值为6；②的值为． 【分析】（1）利用配方得到顶点式，即可求解； （2）①求得顶点的坐标为，作轴于点，得到和都是等腰直角三角形，推出，求得，把，代入求解即可； ②根据题意求得，，作轴于点，则是等腰直角三角形，得到四边形是平行四边形，推出，过点作，且，证明，得到，推出，则当共线时，有最小值，即有最小值，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴点的坐标为； （2）解：①由题意得， 对称轴为直线， 顶点的坐标为， 作轴于点， 如图，由题意得点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得（舍去），， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为6； ②∵点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为线段的中点，， 作轴于点，则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，即有最小值， ∵，，，且取得最小值为， ∴，即， 解得， ∴的值为． 24．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 25．（2023·天津·中考真题）已知抛物线 ，为常数， 的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 考点08 比较反比例函数或自变量的大小 26．（2026·天津·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据k的正负判断函数图象所在象限，再结合同一象限内y随x的变化规律，即可比较横坐标的大小． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， ∵点 的纵坐标， ∴点 在第三象限，可得， ∵点 、的纵坐标都大于， ∴点 、都在第一象限， 又∵， ∴ 综上可得 ． 27．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 28．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 29．（2023·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 30．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得： ，解得； ，解得； ，解得； ∵-8<2<4， ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量． 一、单选题 1．（2026·天津西青·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出各横坐标的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上 ∴， 解得：； ， 解得：； ， 解得：； ∵， ∴． 2．（2026·天津西青·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后直接比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ∵ ， ∴ ． 3．（2026·天津红桥·一模）若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先确定反比例函数比例系数的符号，再根据各点横坐标判断点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较y值大小． 【详解】解：∵反比例函数为，且 ∴比例系数 ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，可得 ∵ ∴点、都在第一象限， ∴ ∴． 4．（2026·天津东丽·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入解析式求出对应y值，再比较大小即可. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵， ∴. 5．（2026·天津滨海新区·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应y值，再比较大小即可得到结果． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵， ∴． 6．（2026·天津河东·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式计算出对应的，再比较大小即可得到结果． 【详解】解 点，，都在反比例函数的图象上. 将代入得 ， 将代入得 ， 将代入得 ， ， ． 7．（2026·天津和平·三模）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 8．（2026·天津和平·三模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 9．（2026·天津河东·三模）如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 10．（2026·天津·二模）在中，，，．动点P从点A出发，以的速度沿折线运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先根据题意确定点的运动时间及位置分段点； 对于①，当时，判断点在上，利用三角形三边关系比较与的大小，进而与比较； 对于②，当时，点在上，点在上，利用平行线间距离处处相等求出的高，列出面积关于的函数关系式，利用一次函数性质求最大值； 对于③，分和两种情况，分别列出面积方程求解，判断解的个数． 【详解】解：由题意得，点到达点的时间为，到达点的时间为； 点到达点的时间为， 运动时间为． 对于①，当时，点在上， 此时，． 在中，， ，故①错误． 对于②，当时，点在上，点在上， 四边形是平行四边形， ， 点到的距离等于点到的距离． 如图，过点作于点， 在中，，， ， 的高为， ， ， ，随的增大而减小． 当时，最大，最大值为，故②正确． 对于③，当时，点在上，点在上，， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 令，整理得， 解得， ， （舍去）， 此时有一个解． 当时，点在上，点在上， 由（2）知，令，解得， ， 此时有一个解． 综上，有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确的结论有②③，共2个． 11．（2026·天津·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标直接代入函数解析式求出横坐标，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ， ， ， ∵， ∴． 12．（2026·天津河西·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在反比例函数图象上，得到，，关于的表达式，结合的条件比较大小即可得到结果． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， 分别将各点代入解析式得： ，解得， ，解得， ，解得， 又 ， ，，可得， ，两边同乘得，即， ． 13．（2026·天津东丽·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出横坐标的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 14．（2026·天津滨海新区·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将三个点的坐标分别代入反比例函数，求出、、的值，再比较大小即可，也可以根据反比例函数的性质进行求解． 【详解】方法一：把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ， ， 方法二：，， 当时，， , 和的纵坐标均大于， ， 时，函数单调递减，则有值越大，值越小， , ， 综上：． 15．（2026·天津和平·三模）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 16．（2026·天津滨海新区·二模）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，动点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．有下列结论：①当时，；②的面积的最大值为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据题意表示出和，对于①，使用勾股定理进行计算即可；对于②，容易得到，根据二次函数的性质计算最值即可；对于③，在②的基础上，写出四边形的面积的表达式，代入求值并比较大小即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 对于①，当时，，， 由勾股定理可得，，故①错误； 对于②，， ∵， ∴当时，取得最大值，故②正确； 对于③，由②可知，， ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴③正确； 综上，正确的结论有2个． 17．（2026·天津东丽·二模）如图，在中，，，．动点P从点B出发，以的速度沿边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以为边作正方形，使点D，A始终在边同侧，设点P运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，y关于x的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点A重合时，． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点F，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点D在线段上运动时；当点D在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边,根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：设点P运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为， 过点A作于点F， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确，符合题意； 当点D在线段上运动时， ∵由题意可得：运动到终点停止运动，点P运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点D与点A重合时，点P与点F重合， 此时， ∴； 当点D在线段的延长线上运动时，如图，设交于点G， 此时点P在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ∴当时，y关于x的函数关系式为，故结论②正确，符合题意； 当正方形的对称中心与点A重合时， 此时点A为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确，不符合题意； 综上，正确的结论是①②，共2个． 18．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 19．（2026·天津红桥·一模）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标和抛物线上一点坐标，所以可先设抛物线的顶点式，代入点的坐标求出抛物线的解析式，这是解题的突破口．对于结论①，因为要判断球是否经过区域，所以将代入抛物线解析式，求出对应的y值，再与的长度比较．对于结论②，因为要比较水平距离和时的高度，求出对应的y值并比较大小．对于结论③，因为球员向正后方移动2m，抛物线形状和最大高度不变，所以先确定新抛物线的顶点坐标，设出新的顶点式，代入新的射门点坐标求出解析式，再将代入求出y值，与、的长度比较． 【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ，解得， ∴原抛物线解析式为：； 判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误． 判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误． 判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确． 综上，正确结论为③，共1个． 20．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 21．（2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】当时，点M在上，求出，，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将代入的面积表达式求出结果，再由可推断点M在上，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 22．（2026·天津东丽·一模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】判断点Q在上，求得，得到四边形是平行四边形，即可判断①正确；利用三角形面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可判断②错误；分两种情况讨论，可判断③正确． 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，①正确； ②当时，点Q在上， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时， 则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 23．（2026·天津南开·三模）如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别表示出， 等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③． 【详解】解：∵正方形边长为， ，P的速度为，Q的速度为， ∴ ，， 当时，Q在上，； 当时，Q在上，； ①如图：当时，P在上，，则 ，Q走过的路程为，此时Q在上，， ∵， ∴不垂直于，即不平行于，故①错误； ②如图：当时，Q在上，； ∵， ∴，即P在E右侧； ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，故②正确； ③当时，由②可得， 令，解得或（不符合题意舍去）； 当时，Q在上，的高为8，， ∴， 令，解得或． ∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误． 综上，正确的结论只有②，个数为1． 二、填空题 24．（2026·天津和平·三模）将直线向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的平移规律即可求解. 【详解】解：向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为. 25．（2026·天津西青·一模）函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【详解】解：在一次函数中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 26．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数图像与系数的关系，判断的取值范围，选取一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限， ， k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）． 27．（2026·天津西青·二模）函数的图象向下平移2个单位后经过点，则的值是______． 【答案】4 【分析】先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，即可求得的值. 【详解】解：根据一次函数图象平移“上加下减”的原则，函数向下平移个单位后，所得解析式为 因为平移后的图象经过点， 将代入解析式得： ， ∴. 28．（2026·天津滨海新区·二模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线与轴交于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，解题思路是先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再代入交点坐标计算得到的值． 【详解】根据一次函数图象平移规则，直线上下平移时，一次项系数不变，只改变常数项，向下平移个单位长度，常数项减，原直线解析式为，向下平移个单位长度后，平移后直线的解析式为：， 已知平移后的直线与轴交于点，将代入平移后的解析式得：， 因此， 故答案为：． 29．（2026·天津东丽·二模）若将直线向下平移2个单位，平移后的直线经过原点，则m的值是_________． 【答案】2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：直线向下平移个单位后，得到的直线解析式为， 平移后的直线经过原点， 将代入得： ， 解得． 30．（2026·天津东丽·一模）把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限求参数的范围，先根据平移规则求出平移后的直线解析式，再根据一次函数图象经过的象限与系数的关系列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，根据一次函数图象平移规则，平移后的解析式为： ， 平移后的直线经过第二、第一、第四象限，一次函数中，只需满足， ， 解得， 的值可以是. 31．（2026·天津和平·三模）如图，在正方形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）的长为________； （2）连接并延长与交于点，为的中点，则的长为________． 【答案】 / 【分析】以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，然后求出相关点的坐标，求出直线的表达式，再结合两点间距离公式以及中点坐标公式求解即可． 【详解】解：（1）以正方形的顶点为原点，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 当时，，解得 ∴ ∴； （2）同理可求直线，直线 ∴联立直线与直线，得， 解得， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 32．（2026·天津河西·二模）将直线向下平移了6个单位长度，若平移后的直线不经过第四象限，则的值可以是_______（写出一个即可）． 【答案】7（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后的直线解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，在取值范围内任写一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，可得平移后直线的解析式为：， 平移后直线不经过第四象限，且一次项系数，说明直线与轴交点的纵坐标非负， 因此：， 解得， 故答案可以为7（答案不唯一，只要满足即可）． 33．（2026·天津·二模）若将直线向下平移个单位，平移后的直线经过第三、第四、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】先根据一次函数平移法则求出平移后的直线解析式，再根据直线经过第三、第四、第一象限的性质得到得到的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线向下平移个单位长度， 平移后的直线解析式为， 平移后的直线经过第三、第四、第一象限，， ，解得， 的值可以取（答案不唯一，满足即可）． 34．（2026·天津河西·一模）将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】10（答案不唯一） 【详解】解：向下平移个单位长度后得到，此时随着的增大而减小，且不经过第一象限， 则当时，，解得． ∴的值可以是10 三、解答题 35．（2026·天津河东·三模）已知小亮家、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离小亮家，体育场离小亮家，小亮从家骑车匀速骑行到体育场锻炼，在那里停留了后，又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速慢跑返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小亮离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开家的时间 离家的距离/ ②填空：体育场到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小亮离家的距离关于的函数解析式； (2)小亮的哥哥和小亮同时从体育场出发，小亮的哥哥以的速度散步直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个的值，小亮离家的距离为，小亮的哥哥离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，3，1.6；②1.4；③当时，小亮离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【分析】（1）①从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，由体育场离小亮家的距离减去超市离小亮家的距离即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小亮在最初的内的速度为， 当时，小亮在去体育场的路上，， 当时，小亮在体育场锻炼，， 当时，小亮在超市，； 填表： 离开家的时间 离家的距离/ 3 ②体育场到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小亮离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小亮的哥哥从体育场到家所用时间为， ∴小亮的哥哥从体育场出发时的时间为，到家的时间为， ∴小亮的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小亮的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 36．（2026·天津和平·三模）已知小夏的家、书店、文具店依次在同一条直线上，书店离家，文具店离家．小夏从家出发，先匀速驾车到文具店，在文具店停留了，之后匀速驾车到书店，在书店停留了后，再用匀速驾车返回家．下面图中表示小夏离开家的时间，表示小夏离家的距离．图象反映了这个过程中小夏离家距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小夏离开家的时间 1 2 4 7 小夏离家的距离 3.5 ②填空：小夏从文具店到书店的速度为________； ③当时，请直接写出小夏离家的距离关于时间的函数解析式． (2)若小夏的爸爸在小夏离开家后从文具店出发，以的速度骑电动车回家．在他从文具店返回家的过程中，对于同一个的值，小夏离家的距离为，小夏的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)① 小夏离开家的时间 1 2 4 7 小夏离家的距离 1.75 3.5 3.5 2 ②1.5 ③ (2) 【分析】（1）①②根据函数图象即可求解；③根据函数图象分段求解函数表达式即可； （2）先求出，再画出函数图象，即可根据函数图象求解． 【详解】（1）解：①时，速度为，则时，； 时，，则当时，； 时，，则当时，， 则填表见答案； ②由图象可得，速度为； ③由①得，时，；时，；时， 综上：； （2）解：由题意得，当时，， 当时，，解得， ∴， 可画函数图象如图： 当时，解得； 当时，解得， ∴由函数图象可得，当时，． 37．（2026·天津·二模）已知学生宿舍、书店、体育场依次在同一条直线上，书店离宿舍，体育场离宿舍，李明从宿舍出发，匀速骑行到书店买书，在书店停留了后，又匀速步行到体育场，在体育场锻炼了后，用了匀速步行返回宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 1.2 ②填空：李明从体育场返回宿舍的速度为________； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式． (2)同宿舍的张华与李明同时从宿舍出发，张华以的速度步行直接到体育场，在从宿舍到体育场的过程中，对于同一个x的值，李明离宿舍的距离为，张华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1)①；；；②；③ (2) 【分析】（1）①先计算到分钟的骑行速度，再根据不同时间段的运动状态，分别求出对应时间点离宿舍的距离，完成表格填写；②用体育场到宿舍的路程除以返回所用的时间，即可求出李明从体育场返回宿舍的速度；③先确定时函数分为三段，分别设出每段的函数解析式，代入对应已知点的坐标求解系数，最后写出完整的分段函数解析式即可； （2）先写出张华离宿舍的距离关于时间的函数解析式，再分李明运动的三个时间段，分别列出的不等式并求解，结合每个时间段的取值范围舍去不符合实际的解，最后合并所有符合条件的的取值，即可得到最终的的取值范围． 【详解】（1）解：①：骑行速度为，故当时，； ：在书店停留，距离不变，故当时，； ：在体育场锻炼，距离不变，故当时，； 填表： 离开宿舍的时间 2 10 16 35 离宿舍的距离 0.6 1.2 1.2 2 ②体育场到宿舍距离为，返回用时，故速度为； ③由图像可知，当时，函数分为三段： ：函数图像为直线，经过原点和点， 设函数解析式为，代入点得 ，解得， ∴函数解析式为； ：停留阶段，； ：函数图像为直线，经过点和点， 设函数解析式为，代入点和点得 ，解得， ∴函数解析式为； 综上，当时，李明离宿舍的距离y关于x的函数解析式为； （2）解：的取值范围为； 张华离宿舍的距离， 李明离宿舍的距离， 当时，分三段讨论： ：，解得，不符合题意； ：，解得； ：，解得； 综上，的取值范围为． 38．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 39．（2026·天津红桥·一模）已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．小亮从宿舍出发，先匀速步行了到超市；在超市停留了后，匀速骑行了到书店；在书店停留了后，匀速步行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小亮离开宿舍的时间 1 10 30 55 小亮离宿舍的距离 0.4 ②填空：当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为________； (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到书店．在从宿舍到书店的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.1，1.6，0.8；②2或 (2)； (3) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； （2）理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （3）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小亮去超市的速度为， 1分钟时小亮离宿舍的距离为； 由图可知30分钟时，小亮离宿舍的距离为； 小亮从书店回宿舍的速度为， 55分钟时，小亮离宿舍的距离为； ②小亮去超市时：； 小亮从书店回宿舍时：， ， ∴当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为2或； （2）解：由①得小亮去超市的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴； 综上，； （3）解：根据题意可知，小华的速度为， 所以小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时，， 得， 解得； 当时，， 得， 解得； 如图所示，为小华的函数图象，    结合图形，当时，． 40．（2026·天津东丽·一模）已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②；③当时，； 当时，；当时， (2) 【分析】（1）①根据函数图象得出对应时间点的距离值，或者求得对应一次函数的表达式，代入时间值，得到对应的距离值． ②根据小明从超市返回家的路程和时间，根据速度路程时间，得到答案． ③根据不同时段的运动状态（匀速、静止），利用待定系数法求解一次函数表达式． （2）根据两人的行进路线和运动时间，判断两人相遇时所在的时间段，进而根据两人运动的时间相同建立一元一次方程得到答案． 【详解】（1）解：①由图可知，离开家，距家的距离为， 由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数为一次函数， 设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：， 解得：， ∴函数表达式为：， ∴离开家即为当时，， ∴离开家时，距家的距离为， 由图可知，离开家，距家的距离为 ； ②小明从超市返回家的路程为：，匀速步行返回家， 小明从超市到家的速度为：； ③由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数分三段组成： 当时，设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：，解得：， ∴当时，函数表达式为：， 由图可知，当时，， 由①可知，当时，函数表达式为：， ∴小明离家的距离关于时间的函数解析式为： 当时，；当时，；当时，； （2）解：∵小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，小亮的速度为， 此时小明从体育馆到超市，小明的骑行时间为：，骑行距离为：， ∴小亮在内的步行距离为：， 又∵， ∴内两人已经相遇，此时小明在从体育馆到超市的途中， 设小亮步行了两人相遇， 则小明骑行的速度为：， ∴根据题意可列方程为：， 解得， ∴小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是． 41．（2026·天津·一模）已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1) ，，； ； ； (2)． 【分析】（）求出速度为 ，再结合图象即可求解； 根据题意列出算式即可求解； 分当时；当时；当时，求出解析式即可； （）求出妈妈的速度为 ，设分钟两人相遇，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，速度为（）， ∴当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 故答案为：，，； 小明从人工智能科普馆返回家的速度为：（）， 故答案为：； 当时，设， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，； 当时，设， 把，代入得： ，解得：， ∴； 综上可得：； （2）解：妈妈的速度为（），设分钟两人相遇， 根据题意得：，解得：， ∴两人相遇时离家的距离是． 42．（2026·天津滨海新区·一模）已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，由书店离小华家的距离减去超市离小华家的距离即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 43．（2026·天津河西·一模）已知宿舍、书店、图书馆依次在同一条直线上，书店离宿舍，图书馆离宿舍．小华从宿舍出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达图书馆；在图书馆停留了一段时间，然后匀速骑行回到宿舍．下图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小华离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 ②填空：小华从图书馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离宿舍的距离关于时间的函数解析式； (2)在小华离开图书馆之前，同宿舍的小明也从图书馆以的速度跑回宿舍，且小明比小华早离开图书馆．那么在从图书馆到宿舍的过程中，对于同一个的值，小华离宿舍的距离为，小明离宿舍的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，；②③当时，；当时，；当时，； (2)． 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图象即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 时小华离宿舍的距离为； 由图可知小时时，小华离宿舍的距离为； 3小时时，小华离宿舍的距离为； 小华离开宿舍的时间 小华离宿舍的距离 10 12 20 ②小华从图书馆返回宿舍的速度为， ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴； 综上，； （2）解：根据题意可知，小明的速度为， 小明从图书馆回去宿舍需要：（小时）， 小明出发时，（小时）， 小明到达宿舍时，（小时）， 依题意，当时，，当时，， 设的解析式为，代入，， ∴， 解得： ， ∴； 设，代入，， ∴， 解得： ， ∴； 当时，， 解得：， 如图所示，为小明的函数图象， 结合图象，当时，． 44．（2026·天津和平·三模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，点为轴负半轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)填空：如图①，当过点时，点的坐标为_____，线段的长为_____； (2)点从原点出发沿水平方向向左移动，设． ①如图②，若与边相交于点，与相交于点，与相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； ②设与重叠部分面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）过点作交于点,根据正切值可知的长度，进而可知，，即可求解坐标； （2）①根据解三角形，可用来表示的坐标，根据待定系数法可求得直线和的解析式，进而可知点的坐标，即可求解长度；②分类讨论，当和，根据面积公式联立二次函数即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴ ∴,, 过点作交于点, ∴，， ∴点， ∴； （2）①解：过点作交于点, 由题可知，, ∴, ∵点， ∴ 则， 则 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 则， ∴,, ∴，， ∴点， 设直线的解析式为：， 将点，代入得 则， 联立方程得： 解得：， 则点的坐标为：，点， 则， 当点在直线上时，则， 则，则； 当直线与轴交于点时，则，则 当或时，重叠面积为三角形， 则； ②设直线的解析式为： 将代入得： 解得： 则直线的解析式为：， 联立方程得： 解得：， 则点， 则 第一种情况，当，则与重叠部分面积为, 则， 则二次函数对称轴为，取得最大值， 则时，随着的增大而增大， 当时，, 当时，, 则时， 第二种情况，当时， 则与重叠部分面积为, ∵，， ， 则二次函数的对称轴为， 则时，随着的增大而增大， 当时， 当时，， 解得或（舍去） 则当 综上所述，． 45．（2026·天津南开·三模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，． (1)填空：如图1，点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)若为轴的正半轴上一动点，点在第一象限，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点，点的对应点为．设． ①如图2，若折叠后点落在直线上，点落在线段上，直线与，分别相交于点和点，当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；②当时，． 【分析】解∶延长交轴于点， 推导出， ，求出，，得到，，则，即可解答； （2）①先推导出，得到， ，由折叠得，则，再求出，即可解答； ②分类讨论：第1种情况：当时， 第2种情况：当时， 第3种情况：当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解∶延长交轴于点，如图 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ； （2）解∶①如图 ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 由折叠得 ， ， ， ， 当点与点重合时， ， ， ， 即， 当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，， ②第1种情况：当时，如图 由折叠得，， ， ，， ，则 过点作于点，如图 ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随着t的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，， 第2种情况：当时，如图 由①，可得，，，， ∴， 由第1种情况，可得，， ∴， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S取得最大值，为， 当或8时，， ∴当时，； 第3种情况：当时，如图 令与所在的直线的交点为K，由①，可知，当时， ， 解得， ∴当时，点K始终在线段上，点始终在线段上， 由图可知，当时，S随着t的增大而减小， 当时，如图 有，， ∴， ， ∴当时，， 综上所述，当时，． 46．（2026·天津红桥·三模）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且．过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． (1)若，． ①求该抛物线的顶点P的坐标； ②点M在抛物线上，以为边的的顶点E在直线上，求点M的坐标； (2)若点，点F在抛物线的对称轴上，以为边作，当取得最小值时，求a的值． 【答案】(1)①；②点； (2) 【分析】（1）①先求解出函数解析式，并化为顶点式求解顶点坐标即可； ②先求解出直线的函数表达式，设出点E的坐标，根据的性质得到点M的坐标，再由点M在抛物线上，列式求解即可； （2）先得到抛物线的解析式和对称轴，再添加辅助线，平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点，根据平移的性质得到四边形为平行四边形，则有当点A，点F，点三点共线时，取得最小值，得到点的坐标，利用，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，，且． ∴，可得， ∴抛物线为， 化为顶点式为， 则该抛物线的顶点P的坐标为； ②由①知，抛物线为， 令，即，解得或， ∴点，点， 令，可得， ∴点， ∵过点C作x轴的平行线与抛物线相交于点D． ∴点D的纵坐标为， 则，解得或， ∴点， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入函数表达式， 则，可得， ∴直线的函数表达式为， 以为边的如图， 则有， ∵顶点E在直线上， 设点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点， ∵点M在抛物线上， ∴， 整理可得，解得（舍）或， ∴点； （2）解：∵，则． ∴抛物线为， ∵点， ∴，可得， ∴抛物线为（）， ∴抛物线的对称轴为，点，点， 点F在抛物线的对称轴上，以为边作， 平移至，使得点G的对应点为点F，点B的对应点为点， 连接，，，如图， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点F在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 当点A，点F，点三点共线时，取得最小值， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∵， ∴， ∵点， ∴点， ∴，即， 可得，解得（负值舍掉） 即当取得最小值时，a的值为． 47．（2026·天津河东·三模）如图，在矩形中，，，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点重合），且点刚好落在的延长线上，与相交于点． (1)求矩形与重叠部分（图①中阴影部分）的面积； (2)将以的速度沿直线向右平移，如图②，当点移动到点时停止移动，设矩形与重叠部分的面积为，移动的时间为，求关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若在（2）的平移过程中，存在这样的时间，使得为等腰三角形，请你直接写出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由矩形性质得直角与对应边长，用勾股定理求，根据旋转性质得对应边相等，求出，证明，利用对应边成比例得出的长，由得到重叠部分面积； （2）过点作于点，由面积法求高，勾股定理求，计算落在上、到达点两个分界时刻，分两段讨论，第一段利用相似求，用得函数关系式，第二段证明相似求，用三角形面积公式得函数关系式，综合即可得关于的函数解析式； （3）过点作于点，作于点，构造矩形，由平移性质表示出水平与竖直距离，利用勾股定理分别表示与，分、、三种情况列方程求解，即可得到符合取值范围的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 矩形与重叠部分面积为： ； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵平移速度为，运动时间为， ∴平移距离为， 当点落在边上时，，解得； 当到达点时，，解得； 分两种情况讨论： ①当时，如图② ， ∵， ∴，即， 解得， ∴； ②当时， ， 如图，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，关于的函数解析式为； （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， 在中，， 在中，， 若为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时， ，即， 解得，符合的取值范围； ②当时， ，即， 解得，符合的取值范围； ③当时， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 符合的取值范围； 综上，满足条件的的值为或或． 48．（2026·天津南开·三模）抛物线（a，b，c为常数，且）顶点，其中，抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，过点P作，交抛物线于点Q（点P与点Q不重合）． (1)当时． ①求抛物线的解析式和顶点P的坐标； ②求点Q的坐标和线段的长； (2)若y轴上一点，直线与直线相交于点N，在的边，和上分别有动点E，F，G．当的周长取得最小值时，求m的值． 【答案】(1)①，，②， (2) 【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，表示出b、c，以及抛物线的对称轴，即可表示出点D的坐标，①代入，即可求出顶点坐标、抛物线解析式；②先用待定系数法求出直线的解析式，根据，可设出直线的解析式，且其自变量系数与直线的解析式中自变量系数相同，在利用的坐标求出直线的解析式，将其与抛物线解析式进行联立，即可作答； （2）根据已有的坐标，先表示出、的关系，消掉a，用m表示出抛物线解析式，同（1）中方法求出点坐标，再求出直线、的解析式，进而求出N点坐标，连接，根据点的坐标，证明是等腰直角三角形，进而求出的度数；过点G分别作关于直线、Q的对称点、，连接、、、、、，可得出当、、、四点共线有最小值，再证明是等腰直角三角形，接着证明在中，当，即为中边上的高时，有最小值，问题随之得解． 【详解】（1）解：将化为顶点式，得：， ∵顶点， ∴，， ∴，即， ∵顶点， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线的对称轴与x轴相交于点D， ∴， ①当时， ∵，顶点，，， ∴，，，， ∴， 将代入，解得：， ∴； ②当时，，即， 将化为顶点式：， ∵，， ∴设直线的解析式为：， 即：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 将代入， 有：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：，得：， 解得：，， ∴，， ∴， ∴； （2）在（1）中已经表示出，即， ∴， 将代入， 得：，即有：， ∴，， 当时，，即， ∵，， ∴设直线的解析式为：， 即：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 将代入， 有：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴同理可得：直线的解析式为：， 当时，，解得：， ∴， 连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 过点G分别作关于直线、Q的对称点、，连接、、、、、， 根据对称有：，，，， ∴的周长：， 由图可知：， 有且仅有当、、、四点共线时取等号， 根据对称有：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 即， 在中，当，即为中边上的高时，有最小值， ∵， ∴点D在x轴上， ∵点G在直线上，且，直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵的周长取得最小值， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，对称的性质，勾股定理，一元二次方程以及求解一次函数解析式等知识，利用对称的性质，作出辅助线，找到的周长取最小值的情况，是解答本题的关键． 49．（2026·天津和平·三模）已知抛物线（，，是常数，）与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，为第一象限内的抛物线上一动点． (1)若，， ①求该抛物线的顶点坐标； ②过点作轴的垂线，垂足为，交线段于点，若，求点的坐标． (2)若，是直线与抛物线的交点，若，（点在点的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为时，求点，的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为；②点坐标为； (2)， 【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解； ②先求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，用t表示出，，根据求出t值，即可求解； （2）根据题意，抛物线的解析式可写为，则点的坐标为，点的坐标为，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，即可确定当的最小值时，点M的位置，根据勾股定理求出c的值，进而求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①， 抛物线 ， 抛物线 与轴相交于点， ，解得 ， 抛物线的解析式为． 顶点坐标为 ； ②对于， 令 ，得 ，令 ，得 或 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 如图，设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 轴于点，交于点， 设点的坐标为， 点的坐标为， ，， ， ， 解得，(舍去)， 当时，， 点的坐标为． （2）解：抛物线与轴相交于点， ，又， ， 抛物线的解析式为， 直线与抛物线相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在线段上截取，连接与轴交于点，在上截取，连接，易得点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形为平行四边形， ， 又∵的长为是定值， 当满足条件的点落在上时，的最小值为，即取得最小值， 的最小值为， 在中，，， ， 解得，(舍去)， 点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式为， 当时，，解得， 点的坐标为，点的坐标为． 50．（2026·天津和平·三模）将一张平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，，点B在第一象限，点C，D在x轴的正半轴上，且，． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点C的坐标为________． (2)若E为x轴的正半轴上一动点，过点E作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点的对应点落在射线上，设． ①如图②，若直线l与边相交于点P，直线l与边相交于点Q，当折叠后纸片重叠部分为四边形且点Q在点B左侧时，与边相交于点R，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形的性质结合平面直角坐标系即可得出结果； （2）①根据题意利用平行四边形的性质，矩形的性质，折叠的性质及解直角三角形即可得出结果； ②根据题意分情况进行讨论，根据t在不同情况下结合图象并利用等腰直角三角形的性质及二次函数最值问题即可得出最终结果． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∵， ∴． （2）解：①由（1）知，平行四边形中，，，，，且， ∴， 由折叠知，，， ∴四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在A右侧、B左侧）； ②由题意知，此时S需分情况讨论： 如图，当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， 当时，；当时，， 此时； 如图，当时， 由①知，是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， ∴最大值在处，；最小值在端点处，， 此时； 如图，当时， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点B代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，此时S为定值1； 如图，当时， ∴，， 由折叠可知，， ∴， 由上述结论可知，是等腰直角三角形， ∴， ∵点Q在直线上， ∴， ∴ ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， ∴最大值在处，；最小值在端点处，， 此时， 综上所述，S的取值范围是． 51．（2026·天津河西·二模）将一个直角三角形纸片，放置在平面直角坐标系中，点，点，点．动点从点出发沿轴负方向运动，为边上的点，且，以所在直线为折痕折叠该纸片，点的对应点为，点的对应点为．设． (1)如图①，当时，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，折痕与边交于点，分别与边，相交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (3)设折叠后重合部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】(1) 由可直接写出点坐标，再在中利用角度关系得，作垂线构造含角的直角三角形，利用求出，进而求解． (2)先证明，过作于，则，在中， 求出，，再证明，通过分析临界点得到t的范围； (3) 分与两段讨论重合部分的形状，前者为三角形，后者为四边形，分别用t表示出面积表达式，再结合二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：，动点从点出发沿轴负方向运动，且， ， ，， ，， ， ， 在边上，且， ， ， 过作于，则是底边上的中线， ， 在中，， ， ， ∴，， ． （2）解：对于任意，， 在中，， ， 过作于，则， 在中，， ， ， ∴， 由折叠性质，，， ，， ， ， ∴， ∴当点E刚好到O时，重叠部分恰好为三角形，此时，当重叠部分为四边形，随着点E向左移动，点G、H逐渐靠近，并向B移动，直到过点B时，重叠部分为三角形，故； （3）解：当时，重合部分为， 由（1）可知，，，， ∴， ∴，， 当时，随的增大而增大， 时，， 当时，重合部分为四边形， 由折叠可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）， ∴, ∴, ∴, 二次项系数为， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时，， 又∵时，，时，， 当时，，， ． 52．（2026·天津·二模）将一个三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点 在 轴正半轴上，点 在第一象限， ， ． (1)填空：如图①，点 的坐标为________，点 的坐标为________； (2)点 为 上一动点，过点 作直线 直线 ，垂足为，沿直线 折叠该纸片，折叠后点 的对应点为．设折叠后重叠部分的面积为S， ． ①如图②，当折叠后重叠部分为四边形时，与 交于点，试用含的式子表示S，并直接写出的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)①，；② 【分析】（1）过点 作 轴垂线，构造直角三角形，利用等腰 边角性质得底角，结合三角函数求出线段长度，换算得出 、 坐标； （2）①利用折叠、轴对称性质推导角度，判定直角三角形，用整体减局部列出重叠面积二次函数，结合图形临界确定范围；②在范围内分三段讨论函数最值：第一段，重叠为三角形，；第二段，重叠为四边形，开口向下的二次函数在处取最大值；第三段，重叠为三角形，，再综合三段的最值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：如图：过点 作 ，垂足为， ∵ ， ， ∴ ， ， 在中， ∵，，， ， ∴， 解得 ，， ∴， ∵点 在 轴正半轴上，点 在第一象限， ∴点 的坐标为，点 的坐标为； （2）解：①由题可知 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴， 当时，如图，此时 ， 则点B与重合，即当时，重叠部分为三角形，为； 当时，如图，此时 ， 则点B与重合，即当时，重叠部分为三角形，为 ； ∴当时，重叠部分为四边形， ∵ ， ∴由折叠的性质知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ， ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ②当时，由折叠可得，， 当时，设 与 交于点E，如图， 由①得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 当时，， ∴当时，最大值为； 当时，最小值为； 当时，， ∴当时，S有最大值，，无最小值； 当时，， ∴当时，最大值为； 当时，最小值为； 综上所述，当时，S的最小值为，最大值为，即． 【点睛】折叠抓轴对称等量关系，不规则面积多用整体减局部，二次函数区间最值不可只看对称轴，需比对区间端点数值，临界位置决定自变量范围． 53．（2026·天津滨海新区·二模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点B在第一象限． (1)填空：如图①，线段的长为________，点B的坐标为________； (2)点P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l，直线l与射线交于点Q，°，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在第一象限，设． ①如图②，若直线l与边相交于点N，当折叠后四边形与平行四边形重叠部分为五边形时，与边和分别相交于点E和点M，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求折叠后重叠部分的面积S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据两点间距离公式求出，根据平行四边形的性质即可求出点B的坐标； （2）①过点C作轴于，根据平行四边形的性质，折叠的性质等可判断、、都是等腰直角三角形，则，，然后根据求解即可； ②分情况讨论：；；；分别作图，运用数形结合思路列式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点，点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：过点C作轴于， 则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠知：，，， ∴， ∴、、都是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ， 当时，P和A重合，此时重叠部分是四边形；当时，Q和C重合，此时重叠部分是四边形； ∴， ∴； ②当时，如图，重叠部分是， ∴， 当时，S随t的增大而增大， ∴当时，S取最小值为； 当时，S取最大值为， ∴； 当时，如图，重叠部分是四边形， ∴， 当时，S随t的增大而增大， ∴当时，S取最小值为； 当时，S取最大值为， ∴； 当时， 由①知：， ∴当时，S取最大值为；当或时，S取最小值为， ∴； 当时，如图，重叠部分为四边形， ∴， 当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S取最小值为； 当时，S取最大值为， ∴； 综上，当时，折叠后重叠部分的面积S的取值范围． 54．（2026·天津滨海新区·二模）已知刘伟家、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离刘伟家，体育场离刘伟家，刘伟从家匀速跑步到体育场，在体育场锻炼了，之后又匀速步行到文具店，在文具店停留了后，再用匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中刘伟离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 刘伟离开家的时间 3 15 30 50 刘伟离开家的距离 2.5 ②填空：刘伟从文具店匀速散步回家的速度为________； ③当时，请直接写出刘伟离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)刘伟离开家30分钟时，刘伟的哥哥也从体育场出发，以速度匀速步行直接回家，在从体育场到家的过程中，对于同一个x的值，刘伟离家的距离为，刘伟的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.5，2.5，1.5；②0.05；③ (2) 【分析】（1）①②结合函数图象分析即可；②根据函数图象结合待定系数法进行分段求解函数关系式； （2）分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①时的速度为：， 故当时，刘伟离开家的距离为：； 由图象可得，当时，刘伟离开家的距离为：； 当时，刘伟离开家的距离为：； ②由图象可得，刘伟从文具店匀速散步回家的速度为：； ③由①可得，当时，； 由图象可得，当时，； 当时，设，代入，， 则 解得 ∴ ∴ （2）解：由题意得，， 当，，解得， ∴ 当时，，解得，不符合题意，舍去； 当，，解得，符合题意； 当时，设，代入， 则 解得 ∴， ∴， ∴中任意实数均符合题意， 综上：x的取值范围是． 55．（2026·天津河北·一模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，． (1)若，，求抛物线顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． ①当时，求点的坐标与拋物线的解析式； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据题干条件写出抛物线的解析式，化为顶点式后得出顶点坐标； （2）①根据题干可得二次函数的表达式为，从而得到点的坐标为，则，容易得到，结合计算出的值，最后写出点的坐标和抛物线的解析式即可； ②由①可知，，结合可得，分析函数的图象与性质可知，点在点的右侧，因此点的坐标为，将点代入，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴抛物线为， ∴顶点的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴， ∴， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点的坐标为，抛物线的解析式为； ②由①可知，，， ∵， ∴， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为或， 如图， ∵抛物线过点，图象开口向上， ∴点在抛物线内部， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴直线与抛物线在第一象限只有一个交点， ∴点在点的右侧，即点的坐标为， 将点代入，得： ， 整理，得， ∵， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴． 56．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)① ；② 【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标． （2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值． 【详解】（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． (2) ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 57．（2026·天津东丽·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先根据，求出，再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点的坐标； （2）先由得，则抛物线对称轴为直线，再将代入抛物线解析式得出，则，再用表示出、的坐标，再根据列方程求解； （3）由（2）知，且对称轴为直线，则点，如图，过点作，过点作，垂足为，连接，则，再根据抛物线的对称性得，则，得点，，共线，即时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又∵， ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图①，， ，且， ，且对称轴为直线， ∵， ∴， ， 即， ，， 又∵， ， 即， 又∵， ； （3）解：如图②，，由（2）知，且对称轴为直线， ， 又∵点在对称轴上， 点， 如图，过点作，过点作，垂足为，连接， ， 又∵， ， 点，，共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又∵， ， ， ， 又∵， ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 58．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，的顶点，且轴，顶点在边上． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设．与重叠部分的面积为． ①如图②，若边，分别与边相交于点，点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①．其中的取值范围是．② 【分析】（1）作于，作于，根据等边三角形的性质和含的直角三角形的性质，可以求出，到轴，轴的距离，再根据它们所在的象限即可确定它们的坐标； （2）①先求出的面积，然后用的代数式表示的面积，再把的面积减去的面积便得到，延长交于点，当与重合时，得到的最小值，当与重合时，得到的最大值，这样即可确定的范围； ②根据三角形形平移过程中与正三角形重叠部分的不同形状，进行分类讨论，求出每一种情况下对应的的函数解析式，通过函数的性质，求出相应的的范围，最后便能确定的范围． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， ，为等边三角形， ，，， ， ∴的坐标为， ∵的坐标为，轴， ， 在中，， ， ， ∴的坐标为； （2）解：①如图： ，， ，， ，，， ， 如图：由平移性质可知， ， 是含的直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图：延长交于点，交轴于， 则， ， 综上所述； ②第一种情况，当时，如下图： 设交于点， 则，， ， ， ∵， ， ∴当时，， 当时，， ； 第二种情况，如下图所示： 当时， ∵时，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， ； 第三种情况，如下图所示： 当时，设交于点， ， ， ， ， 当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， ； 综上所述． 59．（2026·天津河西·一模）已知抛物线，（，，为常数，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，点和点在该抛物线上，点为抛物线与轴的交点，且，，求点的坐标； (3)当时，点在该抛物线上，且有点在抛物线上，点是轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把点A的坐标代入解析式，结合a的值可推出，再由，推出，求出点C的坐标，得到；过点作轴于点，证明，得到，，则点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）根据题意可得抛物线的解析式为，则可求出点，且点M一定在第四象限；如图所示，取点，过点N作交直线于点T，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，则可得到，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值；如图所示，当三点共线时，过点M作轴于点S，则，证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，进而得到，由勾股定理得，则，则可得到方程，可得． 【详解】（1）解：，，， 该抛物线的解析式为 ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：点在抛物线上， ∴，，即， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， 在中，当时，， ∴， ； 如图所示，过点作轴于点，   ， ∴． ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ，， ∵， 点的坐标为． 点在抛物线上， ， 即， 解得，（舍）． 点的坐标为； （3）解：，点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴点M一定在第四象限； 如图所示，取点，过点N作交直线于点T，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值； 如图所示，当三点共线时，过点M作轴于点S， 则，    ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵的最小值为， ∴， ∴． 60．（2026·天津西青·一模）已知抛物线（b，c为常数，）经过点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点． ①当时，求b的值； ②若点是x轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）待定系数法求函数解析式，然后利用顶点式求顶点坐标； （2）①表示出点的坐标，过点D作轴，则，得出相关线段的长度，然后列方程求解； ②在x轴上方构造，使得，，则，确定何时取得最小值，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，然后列出方程求解． 【详解】（1）解：拋物线经过点， ，即， 当时，． 拋物线的顶点坐标为； （2）解：①如图所示， 由（1）知，抛物线的解析式为， 点是拋物线上一点， ， 由，得，， 点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧． 过点D作轴，则， ∵， ∴． ． 当时，则，解得或， 当时，， ∴抛物线与x轴交点，与y轴交点， 可得． ． ， ． 解得； ②如图所示，在x轴上方构造，使得，，则． 由可知，点D，M，N在一条直线上且时，取得最小值，此时． 在中，， ． 在中，，， ，． 由（1）知，即， 可得．则． ， ． 将代入上式， 解得． 61．（2026·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过A作于H，解直角三角形求出、、的长度，即可求解； （2）①求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而求出，然后在中，解直角三角形即可；求出当和O重合时和当在上时两种情况下t的值即可求出t的取值范围 ②分，讨论，根据割补法求出S关于t的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过A作于H， ∵等边的顶点， ∴，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴， ∵的顶点， ∴， ∵，， ∴， 又点C在第二象限， ∴； （2）解：①∵平移， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 当和O重合时，如图， 当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，如图， 此时重叠部分为五边形， ②当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，重叠部分为五边形，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值为， 当时，，当时，， ∴S的最小值为 ∴； 当时，如图，过P作于Q， 此时重叠部分为四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S有上限为，当时，S有最小值为， ∴， 又， ∴． 62．（2026·天津红桥·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）经过点． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点． ①当时，若，求a的值； ②M为第三象限内抛物线上一点，若，，当时，求点M的坐标． 【答案】(1)顶点P的坐标为 (2)①；②点M的坐标为 【分析】（1）先求解函数的解析式，化为顶点式即可求解； （2）①先表示出函数解析式，添加合适的辅助线，根据勾股定理求解的长度，再根据点B的坐标求解即可； ②先证明得到直线与直线关于x轴对称．再表示出点M的坐标，添加辅助线，根据三角形面积的关系求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． ，， ． 该抛物线的解析式为． ． 该抛物线顶点P的坐标为． （2）（2）①，， ，． ，， 该抛物线的解析式为． 如图，在x轴上取点，连接． ， ， ． ，， ， ． ， ． 点B的坐标为． 点B在抛物线上， ．解得． ②由，得点C的坐标为，． ， 点B的坐标为．可得的解析式为． 点B在抛物线上， ．得． ．又，得． ， 直线与直线关于x轴对称． 直线的解析式为．设点． ．可得． 解得，（舍）． ． 如图，过点M作轴，垂足为H． 设直线与y轴相交于点N，可得． ． ， ．即． ． 解得，（舍）． 点M的坐标为． 63．（2026·天津滨海新区·一模）已知抛物线（b，c为常数，）． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接，，当的最小值为时，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线顶点式，进而得到顶点坐标； （2）①利用待定系数法求出，则抛物线解析式为，利用抛物线对称轴得到点坐标，令得到点坐标，利用两点间距离公式求出、，列出等式求解即可； ②将点代入抛物线解析式求出点坐标，根据垂直于对称轴得到，作点关于轴的对称点，则，进而得到，将点向左平移个单位长度得到，求出点坐标，证明四边形是平行四边形，进而得到，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线解析式为， 则抛物线顶点P的坐标为； （2）解：①将点代入抛物线得：， ， 抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为， 点和点B为抛物线与x轴两个交点， ， ， ， 令得：， ， 、， ， ， 解得；或， ， 的值为； ②将点代入抛物线得： ， ， 由①知，抛物线的对称轴为， 垂直于对称轴， ， 作点关于轴的对称点，连接，则， 、， 轴与轴互相垂直， 轴垂直平分， ， 将点向左平移个单位长度得到，连接、，即， 垂直于对称轴、， 垂直于对称轴、， 、， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，即， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、两点间距离公式、利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 64．（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，由（1）证得是等边三角形，利用正切的定义求得，通过三角形面积公式求得的表达式，进而得到S与t的关系式，此时要使菱形与矩形重叠部分为五边形，则t的取值范围是； ②根据得出时S有最大值，再将代入表达式进行计算，最后结合图象讨论时的S，通过计算并对时的S值进行比较，确定出S的最小值，从而得出S的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且，， ∴，， ∴； 如图，连接，交于点K， ∵四边形是菱形，且，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； ②当时，， 由可知，当时，， 当时，如图，设，分别交于点T，S，交于点R， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最小值， ∴S的取值范围是． 65．（2026·天津滨海新区·三模）在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，，点，射线上有一个动点，线段上有一个动点，沿直线折叠，点对应点为，轴． (1)如图①，若点落轴上，则点坐标为__________，点坐标为__________． (2)设． ①如图②，折叠后的与重叠部分为四边形，和分别与轴交于，两点，试用含的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积，当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)① ② 【分析】（1）根据折叠的性质与平行的判定与性质证得四边形是菱形，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）①根据是菱形和“在直角三角形中，所对的边是斜边的一半”将线段用含的代数式表示出来，再利用相似将用含的代数式表示出来即可；②利用相似将线段用含的代数式表示出来，通过分类讨论，当时，与重叠部分为，当时，四边形等于的面积减去的面积，用线段的代数式求出关于的解析式，利用二次函数的增减性求得答案，再分析和时的面积重叠情况，从而求出答案． 【详解】（1）解：∵是由沿折叠而成， ∴， ∵轴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵轴，， ∴， 设， 则， 解得， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点； （2）解：①由（1）知，四边形是菱形，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得， ∴，解得， ∵折叠后的与重叠部分为四边形， ∴， ∴，解得， ∵点在射线上运动，且，折叠后的与重叠部分为四边形， 当点与点重合时，与重叠部分为三角形，不符合题意， ∴ ∴ ∴； ②如图所示，过点作交于点， ， ∵由（1）可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得， ∴， 当时，与重叠部分为， 此时，随的增大而增大， ∴在取得最小值，, 当时，， 则. 当时， 由①可知：，， ∵， ∴，即，解得， ∵， ∴， 即， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵， ∴二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，二次函数上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴在处取得最小值， 在处取得最大值， ∴的取值范围为； 当时，点与点重合， 如图所示： ，与重叠部分为， ∵为等边三角形，轴， ∴， ∴， 当时， ，与重叠部分为， 此时随着的增大而减小， ∴当时取得最小值， 则，， ∵，即，解得， ，即，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴, ∴； 综上所述：的取值范围为． 66．（2026·天津滨海新区·二模）已知抛物线（，，为常数，）．点，点为抛物线与轴两个交点，点为抛物线与轴交点． (1)当时， ①求抛物线顶点的坐标； ②若点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． (2)点为第一象限抛物线上的一点，连接，交线段于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标； ②分类讨论，点在轴上方时，设直线交轴于点，容易证明，则，从而得到点的坐标为，从而直线的解析式后，与抛物线联立求出点的坐标；点在轴下方时，使用同样的解法算出直线的解析式，再求出点的坐标； （2）先根据，在函数的图象上推导出，进而得到，由点、不重合可得，因此，从而得到点．由可得，容易证明，从而求出，．容易判断和都是等腰直角三角形，则，结合构造方程并求解出的值即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴点的坐标为，， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，设直线交轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； 当点在轴下方时，如图，设直线交轴于点， 同理可得，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （2）解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， 将点代入，得， ， ∴， 当时，点与点重合，与题意矛盾， ∴，即， 将点代入，得， ， 将代入，得， ， ∴， ∵点与点不重合，即， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得或， ∵抛物线开口向下，且经过第一象限， ∴点在轴的正半轴，即， ∴． 67．（2026·天津·二模）已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴的交点为D． (1)若，，， ①求抛物线的解析式及顶点P的坐标； ②M为抛物线对称轴上一点，且在第四象限，E为抛物线上的点，且在第三象限，当，时，求点M的坐标； (2)若，(m为常数，)，，N为直线上的动点，且在x轴上方，过N作，与对称轴交于点F，当的最小值为时，求m的值． 【答案】(1)①抛物线解析式为，顶点坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线一般式换成顶点式即可求出顶点坐标． ②过点E作直线，垂足为G，设，证明，由全等三角形的性质得出，，进一步求出点E的坐标，把点E的坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值． （2）过点N作，垂足为H，求出，通过解直角三角形得出，，将线段向下平移个单位，再向右平移个单位，得到，则可求出点K的坐标，，当K，F，A三点共线时，最小，即为，结合已知条件得出，连接，则，利用勾股定理求出，进而得出关于m的方程，解方程即可求出m的值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 把代入， 则， 解得， ∴， 把， ∴． ②过点E作直线，垂足为G， 由①可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵对称轴与x轴的交点为D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得或， ∵点M在第四象限， ∴． （2）解：如图，过点N作，垂足为H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 将线段向下平移个单位，再向右平移个单位，得到， ∴，， ∵， ∴， 当K，F，A三点共线时，最小，即为， ∵的最小值为， ∴， 连接，则， 在中， ， ∴， ∴， 解得． 68．（2026·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）延长交轴于，过作轴于，根据得到轴，，，，，，则四边形是矩形，，则，，即可求出，，得到；根据是等腰直角三角形，得到，则； （2）①先证明，当过点时，，则边与边交于点时，，再证明是等腰直角三角形，得到； ②根据，，分情况讨论，分别表示出，求出最大值和最小值，最后得到的取值范围． 【详解】（1）解：延长交轴于，过作轴于， ∵的顶点，，， ∴轴，，，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； ∵是等腰直角三角形，，点， ∴， ∴； （2）解：①∵将沿水平方向向右平移，得到， ∴，， ∵边与边交于点， ∴， ∴， 当过点时，， 由（1）可得，， ∴， ∴，，， ∴边与边交于点时， ∴， ∴； ②当时，如图所示， 此时， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，与轴、分别交于点、， 此时，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，、与分别交于点、，过作于， 此时，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，最小值为，当时，最大值为； 综上所述，当时，最小值为，最大值为，即的取值范围为． 试卷第1页，共3页 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $