3.1列代数式表示数量关系（讲义，知识点&8大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦代数式的核心知识点，从代数式的概念及规范书写入手，系统梳理列代数式表示实际问题中数量关系的方法，进而延伸至反比例关系的识别与表示，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 资料通过“知识点+随学随练+题型分类”的设计，结合行程、销售等实际情境，引导学生分析数量关系，提升抽象能力与符号意识。规律探索题型（如数式、图形规律）培养创新意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化用数学语言表达现实世界的能力。

第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系 课标要点 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，体验用数学符号表达数量关系的过程，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与生活的密切联系. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示. 3.初步培养学生的观察、分析能力，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与实际生活的密切联系. 4.探索简单实例中的数量关系和变化规律，结合具体情境体会反比例关系. 5.初步了解反比例关系的表现形式，并能在实际问题中识别反比例关系，发展学生的抽象能力和应用意识. 学习重难点 重点： 1.代数式的概念及意义，用代数式表示实际问题中的数量和数量关系. 2.代数式的规范书写格式； 3.分析简单实际问题中的数量关系，准确列出代数式（如行程问题、工程问题、销售问题中的基本数量关系）。 4.反比例关系的概念及识别. 难点： 1.相同代数式在不同实际问题中的意义不同. 2.根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式. 3.在实际问题中识别反比例关系. 知识点 代数式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 2.单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式. 3.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘. 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式. （1）如2×m写成2·m或2m. （2）如m×n写成m·n或m n. m·m写成m2. 数字因数是1或-1. “1”常省略不写. 如1×a写成a，﹣1×a写成﹣a. 带分数与字母相乘. 将带分数化成假分数. 如 t 应写成 t. 除法运算. 用分数线. 如2÷x（x≠0）应写成. 代数式是和或差的形式且后面有单位. 把式子用括号括起来. 如（a﹣b）千克. 随学随练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 知识点 列代数式 1、列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 2、列代数式的步骤： (1)分析条件，找出数量关系. (2)用含有数、字母和运算符号的式子表示出来. 随学随练 1．某公司今年月份的利润为万元，月份比月份减少，则该公司2月份的利润（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 2．买一支铅笔需要a元，买一块橡皮需要b元，则买5支铅笔、2块橡皮共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2026·山西阳泉·三模）忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 知识点 反比例关系 1、 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 2、反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用x y=k或y= 来表示，其中k叫作比例系数. 3、两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小. 4、正比例与反比例关系的区别 正比例关系 反比例关系 两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.即y= =k（k是一个确定的值，且k≠0）. 两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.即 x y=k（k是一个确定的值，且k≠0）. 随学随练 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 2．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 题型一 代数式的识别 ▌例1 （23-24七年级上·上海·阶段检测）下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解题贴士 用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式． ▌对点练1-1 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·全国·期末）在，，，，，，中，代数式 有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 ▌对点练1-3 （25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 题型二 代数式的规范书写 ▌例2下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题贴士 1．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 2．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 3．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． ▌对点练2-1（2026七年级上·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练2-2 （24-25七年级上·广东云浮·期中）下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的是______（填序号）． ▌对点练2-3（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 题型三 代数式表示的意义 ▌例3 下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 解题贴士 代数式的实际意义主要从两个方面考虑：①联系实际生活，对代数式的字母赋予实际意义；②结合几何背景，如从图形的周长、面积、体积等方面考虑。 ▌对点练3-1 （2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 ▌对点练3-2 （25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 ▌对点练3-3（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列代数式的意义： (1)一个三角形的一边长是，该边上的高是，那么表示什么？ (2)汽车每小时行驶，那么表示什么？ 题型四 用代数式表示数量关系 ▌例4 （24-25七年级上·湖南益阳·期中）用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)x的与y的差的； 解题贴士 用含字母的式子表示数量关系，要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ▌对点练4-1 用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． ▌对点练4-3（2025七年级上·全国·专题练习）用代数式表示： (1)的平方与的倍的差； (2)的倍的三分之一与的一半的差； (3)比除以的商的倍小的数． 题型五 成反比例的量 ▌例5（25-26七年级下·广西南宁·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 解题贴士 先找题目里两个相关联、会同步变化的量；再计算两组对应数值的乘积，若乘积始终固定不变，二者就成反比例关系。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·广西河池·期末）若梯形的面积一定时，则它的上底与下底的和与高_______成反比例关系（填“是”或“不是”）． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ ▌对点练5-3（25-26七年级上·陕西榆林·期末）某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 题型六 用代数式表示图形的面积 ▌例6如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 通过用含字母的式子来表示图形的面积，需要用到面积公式以及割补法，正确分析图形并解答是解题关键． ▌对点练6-1 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·河南郑州·期中）某房地产开发商购买了一块边长为的正方形地皮，现计划一边留出米，另一边留出米修建两条道路，则所剩用于建商品房的面积表示正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 ▌对点练6-3（24-25七年级上·广西玉林·期中）用字母表示图中阴影部分的面积： 图①中________________，图②中________________． 题型七 用代数式表示数的变化规律 ▌例7 （2026·云南昆明·二模）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 数式的变化类的规律题 首先应找出数或式哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． ▌对点练7-1 （25-26九年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-2 （2026·黑龙江佳木斯·一模）观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． ▌对点练7-3 观察下列算式：；；；；；若字母表示自然数，请你观察到的规律用含式子表示出来： ． 题型七 用代数式表示图形的变化规律 ▌例6 （2026·广东河源·二模）/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 解题贴士 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． ▌对点练8-1 （25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌对点练8-2 （2026·甘肃白银·一模）如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） ▌对点练8-3观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 基础通关 1．（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 5．（2026·河北沧州·三模）某光伏发电站的年发电量（单位：度）与光伏板面积（单位：平方米）的关系为：年发电量（为常数），若一块面积为平方米的光伏板，年均维护成本为元，则该光伏板每度电的平均维护成本化简后为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 7．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）如图所示是一个长方形，根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积，正确的为（   ） A． B． C． D． 8．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 素养提升 9．（2026·内蒙古通辽·三模）中国是茶的故乡，传统茶艺文化源远流长．某茶社准备购进甲、乙两种茶叶礼盒，已知甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的2倍，若设乙种礼盒每盒的进价为元，则购3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒一共需要的费用为________元． 10．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）观察下列由字母“”和“”组成的图形规律： 已知“”表示碳原子，“”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第个图形对应的烷烃化学式为：（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南南阳·一模）如图，图1中有3个圆点，图2中有6个圆点，图3中有9个圆点，……按照这一规律，图中的圆点个数为____． 12．（2026·江西九江·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 13．（26-27七年级上·北京·课后作业）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 迁移创新 14．（25-26七年级上·云南昭通·期中）一本书有280页，每天看页，看了4天，还剩余多少页没有看？ (1)用含的代数式表示剩余页数； (2)已知代数式的意义是的3倍与2的和，请写出代数式的意义． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）用字母表示图中阴影部分的面积： 16．（2025七年级上·全国·专题练习）某工厂要生产一批电动车，平均每天生产的辆数和所需的天数如下表： 平均每天生产的辆数      所需的天数      (1)这批电动车共多少辆？ (2)所需的天数是怎样随着平均每天生产的辆数的变化而变化的？ (3)用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系？ 17．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，用表示三角形每条边上的花盆数，请用表示摆放成三角形的花盆总数． (1)请根据上图完成下表： a/盆 2 3 4 5 6 7 … w/盆 … (2)请写出用表示的代数式． 18．观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 3.1列代数式表示数量关系 课标要点 1.借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，体验用数学符号表达数量关系的过程，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与生活的密切联系. 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示. 3.初步培养学生的观察、分析能力，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与实际生活的密切联系. 4.探索简单实例中的数量关系和变化规律，结合具体情境体会反比例关系. 5.初步了解反比例关系的表现形式，并能在实际问题中识别反比例关系，发展学生的抽象能力和应用意识. 学习重难点 重点： 1.代数式的概念及意义，用代数式表示实际问题中的数量和数量关系. 2.代数式的规范书写格式； 3.分析简单实际问题中的数量关系，准确列出代数式（如行程问题、工程问题、销售问题中的基本数量关系）。 4.反比例关系的概念及识别. 难点： 1.相同代数式在不同实际问题中的意义不同. 2.根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式. 3.在实际问题中识别反比例关系. 知识点 代数式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式. 2.单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式. 3.代数式的书写要求： 类型 书写规定 示例 数与字母相乘或字母与字母相乘. 通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式. （1）如2×m写成2·m或2m. （2）如m×n写成m·n或m n. m·m写成m2. 数字因数是1或-1. “1”常省略不写. 如1×a写成a，﹣1×a写成﹣a. 带分数与字母相乘. 将带分数化成假分数. 如 t 应写成 t. 除法运算. 用分数线. 如2÷x（x≠0）应写成. 代数式是和或差的形式且后面有单位. 把式子用括号括起来. 如（a﹣b）千克. 随学随练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的定义，解题的关键是熟记代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式，据此判断即可． 【详解】解：A．是代数式； B．是代数式； C．0是代数式； D．不是代数式． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·暑假作业）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦．属于代数式的有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查代数式的判断．代数式是由数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成的式子，单独的数或字母也是代数式，据此求解即可． 【详解】解：由代数式的定义可得①②④⑤都是代数式，③⑥⑦不是代数式， 故选：A． 3．下列单项式书写规范的有（   ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的规范书写要求，根据代数式的规范书写格式要求进行判断即可求解；理解要求是解题的关键． 【详解】解：①的正确书写格式为；②书写格式正确；③书写格式正确；④正确书写格式为； 书写规范的有②③， 故选：B． 知识点 列代数式 1、列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式. 2、列代数式的步骤： (1)分析条件，找出数量关系. (2)用含有数、字母和运算符号的式子表示出来. 随学随练 1．某公司今年月份的利润为万元，月份比月份减少，则该公司2月份的利润（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵月份的利润为万元，月份比月份减少， ∴减少的利润为万元， ∴月份利润为万元． 2．买一支铅笔需要a元，买一块橡皮需要b元，则买5支铅笔、2块橡皮共需（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，根据单价和数量，分别计算铅笔和橡皮的总价，然后求和即可． 【详解】解：∵铅笔单价为a元，买5支， ∴铅笔总价为元， ∵橡皮单价为b元，买2块， ∴橡皮总价为元； ∴共需元． 故选：C． 3．（2026·山西阳泉·三模）忻州五台山台蘑种植基地种植100公顷台蘑，原计划每公顷收获台蘑，后因暴雨使总产量减产，则最终收获台蘑的总质量为________kg．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】先求出原计划的台蘑总产量，再根据减产比例得到实际总产量占原计划的比例，化简代数式得到最终结果． 【详解】解：由题意可得，原计划收获台蘑的总产量为， 因为总产量减产，所以实际总产量为原计划总产量的， 计算最终收获台蘑的总质量：． 知识点 反比例关系 1、 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 2、反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用x y=k或y= 来表示，其中k叫作比例系数. 3、两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小. 4、正比例与反比例关系的区别 正比例关系 反比例关系 两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.即y= =k（k是一个确定的值，且k≠0）. 两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.即 x y=k（k是一个确定的值，且k≠0）. 随学随练 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 2．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的应用． 从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a． 【详解】解：由表可知，， 故货物总吨数为300吨， 若每天运输吨，则运输天数为天． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【答案】(1)，； (2)越来越少； (3)与成反比例关系． 【分析】本题主要考查了有理数的运算的应用，成反比例关系，理解题意，根据表格得出结果是解题的关键． （）用表格中的一组数据，求出两数的积即可； （）观察表格数据即可求解； （）根据书的总页数等于每天读的页数乘以天数，得到与的关系，根据积一定，两个变量成反比例关系，作答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：观察表格数据可得：随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会越来越少； （3）解：∵， ∴与的关系是， ∴与成反比例关系． 题型一 代数式的识别 ▌例1 （23-24七年级上·上海·阶段检测）下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 解题贴士 用运算符号把数与字母连接而成的，叫做代数式．单独的一个数或者一个字母也是代数式． ▌对点练1-1 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，需依据代数式的概念判断各选项，代数式是不含等号、不等号等关系符号的式子． 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式， 选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式， ∴不是代数式的是A选项， 故选：A． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·全国·期末）在，，，，，，中，代数式 有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握“代数式是由数字、字母和运算符号组成，不含等号或不等号”是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐个判断所给式子是否符合代数式的特征，统计符合条件的数量，从而选出正确答案． 【详解】解：∵π是常数，属于代数式， ∵是方程，不是代数式， ∵是分式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∵是单项式，属于代数式， ∵是多项式，属于代数式， ∵是不等式，不是代数式， ∴代数式有π、、、，共4个， 故选：D． ▌对点练1-3 （25-26七年级上·河南周口·阶段检测）下列各式：，其中是代数式的有____________个． 【答案】 6/六 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解．代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：是代数式；是代数式；是方程，不是代数式；是代数式；0是代数式；是代数式；是代数式；是不等式，不是代数式；是不等式，不是代数式，则，其中是代数式的有个． 故答案为：6． 题型二 代数式的规范书写 ▌例2下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 解题贴士 1．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 2．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 3．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． ▌对点练2-1（2026七年级上·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解： ① 中使用了“”号，不符合规范； ② 中数字1未省略，不符合规范； ③米，代数式中含有单位，不符合规范； ④书写正确； ⑤中使用了除号，不符合规范； ⑥ 中使用了带分数，不符合规范， ∴不符合规范的有①②③⑤⑥，共5个， 故选：D． ▌对点练2-2 （24-25七年级上·广东云浮·期中）下列式子：①；②；③；④，其中格式书写正确的是______（填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了代数式的书写要求，①在代数式中出现的乘号通常简写成“”或省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；④带分数要写成假分数的形式． 【详解】①应表示为，故书写错误； ②应表示为，故书写错误； ③，书写正确； ④，书写正确， 故答案为：③④． ▌对点练2-3（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 题型三 代数式表示的意义 ▌例3 下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的相关知识． 根据代数式的定义，以及代数式的书写，然后进行判断即可． 【详解】解：A，应写为假分数，代数式书写不规范，该选项不符合题意； B，表示除以的商，描述正确，该选项符合题意； C，1是单独的数，属于代数式，该选项不符合题意； D，“平方的和”指，其4倍应为，而非，该选项不符合题意． 故选B． 解题贴士 代数式的实际意义主要从两个方面考虑：①联系实际生活，对代数式的字母赋予实际意义；②结合几何背景，如从图形的周长、面积、体积等方面考虑。 ▌对点练3-1 （2026·河北保定·二模）代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. ▌对点练3-2 （25-26七年级上·四川凉山·期末）下列代数式的意义叙述错误的是（    ） A．的意义是的倍与的和 B．的意义是的平方与的差 C．的意义是与的积的倍 D．的意义是与的和的平方 【答案】D 【分析】根据运算顺序准确理解代数式所表达的数量关系，需逐一分析各选项的叙述是否匹配代数式的运算逻辑． 【详解】解：选项A：的意义是的2倍与3的和，叙述正确； 选项B：的意义是的平方与1的差，叙述正确； 选项C：的意义是与的积的5倍，叙述正确； 选项D：表示与的平方的和，而“与的和的平方”对应的代数式是，两者运算顺序不同，该叙述错误． ▌对点练3-3（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列代数式的意义： (1)一个三角形的一边长是，该边上的高是，那么表示什么？ (2)汽车每小时行驶，那么表示什么？ 【答案】(1)的意义是三角形面积的倍 (2)表示汽车行驶所用的时间 【分析】本题考查了代数式所表示的实际意义，根据题意，正确得出整式的具体意义是解题的关键． （1）先根据三角形的面积公式得出：，然后乘以即可得出，进而得出答案； （2）行程问题中，时间=路程÷速度，由此得出． 【详解】（1）解：由题意得，三角形的面积，， 所以的意义是三角形面积的倍； （2）解：汽车每小时行驶，则表示汽车行驶所用的时间． 题型四 用代数式表示数量关系 ▌例4 （24-25七年级上·湖南益阳·期中）用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)x的与y的差的； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，先写出a与b的和，然后再平方即可． （2）根据题意，先写出减去，然后再乘以即可． 【详解】（1）解：a与b的和的平方，用代数式表示为：； （2）解：x的与y的差的，用代数式表示为：． 解题贴士 用含字母的式子表示数量关系，要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； ▌对点练4-1 用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求的倍，再求其与的差，最后对差取平方． 【详解】解：∵的倍可表示为， ∴的倍与的差可表示为， ∴的倍与的差的平方可表示为， 故选：B． ▌对点练4-2 填空： （1）x 的 3 倍与 5 的和是_________； （2）a 与 b 的差的平方是_________； （3）m 的一半与 n 的 的和是_________； （4）某商品原价为 p 元，打 8 折后的售价是_________元． 【答案】 / 【详解】对于文字描述转化为代数式的问题，先明确每个描述对应的运算：“倍”对应乘法，“和”对应加法，“差”对应减法，“平方”对应乘方运算，“打折”对应按比例乘法． 处理运算顺序相关表述时，如果描述是“某两个数的差/和的平方”，那么先算差/和，再对结果做乘方，需要用括号明确运算优先级． 处理分数、比例类表述时，“m的一半”对应m乘以，“打8折”对应原价乘以0.8或，按对应比例写出乘法表达式后，再按描述组合加法即可． 【分析】解：（1）x的3倍即为，再与5相加（和），可得，故填； （2）a与b的差为，其平方需对整体进行乘方，即，注意不要误写为，故填； （3）m的一半为，n的为（即），两者求和，可得，故填； （4）打8折即售价为原价的（或），原价为p元，所以售价为元（也可写作元），故填（或）元． ▌对点练4-3（2025七年级上·全国·专题练习）用代数式表示： (1)的平方与的倍的差； (2)的倍的三分之一与的一半的差； (3)比除以的商的倍小的数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； （）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； （）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； 本题考查了列代数式，代数式书写规范，理解题意，准确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由的平方与的倍的差得：； （2）解：由的倍的三分之一与的一半的差得：； （3）解：由比除以的商的倍小的数得：． 题型五 成反比例的量 ▌例5（25-26七年级下·广西南宁·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 【答案】C 【分析】根据表格得到，根据确定两个变量成反比例，即可判断各选项． 【详解】解：由表格数据可得，， 故这个水池共有10吨水；时间t与出水速度v成反比例关系；出水速度v随着时间t的增大而减小， 故C正确，A、B、D错误． 解题贴士 先找题目里两个相关联、会同步变化的量；再计算两组对应数值的乘积，若乘积始终固定不变，二者就成反比例关系。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·广西河池·期末）若梯形的面积一定时，则它的上底与下底的和与高_______成反比例关系（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】反比例关系的定义：两种相关联的量，若乘积为定值，则二者成反比例关系， 【详解】梯形面积公式： ，其中是梯形面积，是上底与下底的和，是高． 当面积一定时，整理可得（是定值），因此上底与下底的和与高成反比例关系． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·河北唐山·期末）某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． ▌对点练5-3（25-26七年级上·陕西榆林·期末）某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 【答案】(1)每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少 (2)，与成反比例关系 (3)每小时录入万字 【分析】本题考查变量的变化关系，反比例关系的判定与表达式，函数关系式的应用，识别两个变量之间的变化趋势是解题关键． （1）观察表格里每小时录入字数和所需时间的数值变化，可得出录入字数增加时，所需时间随之减少的结论； （2）根据报道的总字数为定值，可知为定值，与成反比例关系，设反比例关系式，代入一组数据求出的值，确定具体关系式； （3）把已知的时间代入第（2）问求出的反比例关系式中，通过解方程计算对应的每小时录入字数． 【详解】（1）解：据图表可知，每小时录入的字数从，，，不断增加， 所需时间从，，，不断减少， 故每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少． （2）解：根据题意可知，报道的总字数为定值，即为定值， 故与为反比例函数关系，设反比例函数的解析式为， 将，代入，可得， 则与的函数关系为． 答：，与成反比例关系． （3）解：令，代入， 解得， 故当所需时间为小时时，每小时需录入的字数为万字． 答：每小时录入万字． 题型六 用代数式表示图形的面积 ▌例6如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察窗框可知，共有3根横档，每根横档长为，因此所有横档总长度为， 剩余木料是2根竖直边框，总长度为， 因此单根竖直边框长度为， ∴窗框的面积是． 解题贴士 通过用含字母的式子来表示图形的面积，需要用到面积公式以及割补法，正确分析图形并解答是解题关键． ▌对点练6-1 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·河南郑州·期中）某房地产开发商购买了一块边长为的正方形地皮，现计划一边留出米，另一边留出米修建两条道路，则所剩用于建商品房的面积表示正确的有（   ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据图形分不同的方法表示出图形的面积即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，用于建商品房的长方形的边长分别为米和米， ∴用于建商品房的长方形面积可表示，故①正确； 如图，用于建商品房的长方形面积可表示，故②正确； 如图，用于建商品房的长方形面积可表示，故③正确； 如图，用于建商品房的长方形面积可表示，故④错误； 综上，表示正确的有个， 故选：． ▌对点练6-3（24-25七年级上·广西玉林·期中）用字母表示图中阴影部分的面积： 图①中________________，图②中________________． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，结合图形的特点，计算是解题关键． 图①中根据长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 图②中的阴影面积为正方形的面积减去圆的面积，计算即可． 【详解】解：图①阴影的面积为：； 图②中的阴影面积为． 故答案为：；． 题型七 用代数式表示数的变化规律 ▌例7 （2026·云南昆明·二模）一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别从符号、系数绝对值、x的次数三个方面分析规律，整合后即可得到第n个代数式． 【详解】解：符号规律： 第1项为正，第2项为负，第3项为正……， ∴符号规律为； 系数绝对值依次为，且，，， ∴系数绝对值规律为； 的次数依次为， ∴的次数规律为； 整合得第个代数式为． 解题贴士 数式的变化类的规律题 首先应找出数或式哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． ▌对点练7-1 （25-26九年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键． 观察分子和分母的规律，分子为奇数序列，分母为平方数加1，由此推导第n个数的表达式，即可解题． 【详解】解：∵分子序列：1，3，5，7，9，…为奇数， ∴第n个分子为， ∵分母序列第1个分母为， 第2个分母为， 第3个分母为，…以此类推， 分母序列第n个分母为， ∴第n个数为， 故选：C． ▌对点练7-2 （2026·黑龙江佳木斯·一模）观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个部分归纳变化规律，整合后即可得到第个数的代数式． 【详解】解：符号规律：当序号为奇数时该数为正，序号为偶数时该数为负，所以符号可表示为； 分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，所以第个数的分子为； 分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，所以第个数的分母为； 综上，第个数为． ▌对点练7-3 观察下列算式：；；；；；若字母表示自然数，请你观察到的规律用含式子表示出来： ． 【答案】 【分析】观察算式可得，等式左边是两个相邻自然数的平方的差，等式右边是这两个相邻自然数的和，据此规律求解即可． 【详解】解：观察算式可得，等式左边是两个相邻自然数的平方的差，等式右边是这两个相邻自然数的和， 若字母表示自然数，则有：． 题型七 用代数式表示图形的变化规律 ▌例6 （2026·广东河源·二模）/规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知图形，得到后一个图形比前一个图形多8根小木棒，列出代数式即可． 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． 解题贴士 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． ▌对点练8-1 （25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察示例图形，探索规律是解题的关键．由所给图形，可推出第n个图形黑子的个数即可． 【详解】解：依题意，观察图形，得第1个图案，黑子有个； 第2个图案，黑子有个； 第3个图案，黑子有个； …… 第n个图案，黑子个 ▌对点练8-2 （2026·甘肃白银·一模）如图，分形树是一种体现自然生长规律的数学模型，其“自相似、渐繁茂”的生长特征既蕴含着简洁统一的数学美，也隐喻着自然界高效有序的生长智慧．分形树的生长规律如下：第1个图形由1条主干组成，第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，…，以此类推，每个新图形都是在前一个图形的每条末端树枝顶端生长出2条新树枝，那么第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】由前面几个特殊情况，分析得到规律即可． 【详解】解：第1个图形由1条主干组成，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第2个图形是在第1个图形的主干顶端生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第3个图形是在第2个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； 第4个图形是在第3个图形的每条树枝顶端各生长出2条新树枝，图形中所有树枝（含主干）的总条数是，规律表示为； … 以此类推，第个图形中所有树枝（含主干）的总条数是． ▌对点练8-3观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【答案】 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【分析】根据题意可得露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，据此列式求解即可． 【详解】解：①4个正方体的立体包含一个顶面和4组侧面，也就是（个）面； ②先从个面中减去顶面：（个），再根据一个正方体有4个侧面，用除法得出正方体的个数：（个）； ③露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，顶面数是1，当小正方体的个数为时，侧面数是小正方体个数的倍即，此时露在外面的面数为． 基础通关 1．（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列式子中属于代数式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式，掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式． 【详解】解：代数式定义为由数字、字母和运算符号组成的式子，不含关系符号， 选项A含“=”，是方程； 选项B含“>”，是不等式； 选项C含“≠”，是不等式； 选项D仅含数字、字母和运算符号“+”和“×”，属于代数式． 故选D． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确． ∴ 答案选D． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 4．（25-26七年级上·福建厦门·期末）某平台外卖员的计薪规则为：收入=底薪＋每单提成×（当月总送单量基本单量）．完成基本单量才享有底薪，超过的部分按提成计薪，若未完成则按比例扣底薪．某外卖员月送单量超过基本单量后，总收入可表示为（其中为该月总送单量）．若该外卖平台的基本单量是300，则下列说法正确的是（） A．该平台外卖员的底薪为1800元 B．外卖员当月送单量为400时，收入为2380元 C．超过基本单量后，每单提成为6元 D．外卖员当月送单量为200时，收入为1680元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义和求值，解题的关键是通过对比计薪规则和给定公式，求出底薪和每单提成，再用代数式求值的方法逐一验证选项． 【详解】解：根据题意，基本单量为300单，当送单量时，总收入：， 收入构成是：收入=底薪+每单提成， A．当时，刚好完成基本单量，此时收入为元，不是1800元，故本选项不符合题意； B．送单量为400时，收入为，不是2380元，故不符合题意； C．从公式中的系数可以直接看出，超过基本单量后，每单提成就是6元，故说法正确，符合题意； D．送单量为200时，没有达到300单的基本量，需要按比例扣底薪，实际收入为元，不是1680，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（2026·河北沧州·三模）某光伏发电站的年发电量（单位：度）与光伏板面积（单位：平方米）的关系为：年发电量（为常数），若一块面积为平方米的光伏板，年均维护成本为元，则该光伏板每度电的平均维护成本化简后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均成本的定义：每度电的平均维护成本年均维护成本总年发电量，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵面积为平方米的光伏板年发电量（度）， ∴面积为平方米的光伏板的年发电量为度， ∵年均维护总成本为元， ∴每度电的平均维护成本为． 6．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列两种量成反比例关系的是（     ） A．单价一定，总价和数量 B．路程一定，速度和时间 C．身高和体重 D．正方形的边长和周长 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随之变化，若对应两个数的乘积一定，则两种量成反比例关系；若比值一定，则成正比例关系．据此分析各选项的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：A、单价总价数量，当单价一定时，总价与数量的商一定，故二者成正比例，不符合题意； B、路程速度时间，当路程一定时，速度与时间的乘积一定，故二者成反比例，符合题意； C、身高与体重不成比例，不符合题意； D、正方形的周长边长，即周长与边长的商一定，故二者成正比例，不符合题意． 7．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期中）如图所示是一个长方形，根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积，正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，能够将所求阴影部分面积转化为三角形面积求解是关键．根据图中所示可知，阴影部分面积长方形面积减去两个三角形面积． 【详解】解：， 故选：A． 8．有一块长为，宽为的长方形铝片，四个角上各剪去一个边长为的相同的正方形后，折成一个无盖的盒子，则此盒子的容积的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列代数式，解题关键是确定折成无盖长方体盒子后，盒子的长、宽、高，再利用长方体容积公式推导表达式． 【详解】解：∵原长方形铝片长为，四个角各剪去一个边长为的正方形， ∴折成盒子后，盒子的长为，同理可得盒子的宽为，盒子的高为， ∵长方体容积公式为， ∴，故选D． 素养提升 9．（2026·内蒙古通辽·三模）中国是茶的故乡，传统茶艺文化源远流长．某茶社准备购进甲、乙两种茶叶礼盒，已知甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的2倍，若设乙种礼盒每盒的进价为元，则购3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒一共需要的费用为________元． 【答案】 【分析】先根据甲、乙两种礼盒进价的数量关系，表示出甲种礼盒每盒的进价，再根据“总费用=甲种礼盒总进价+乙种礼盒总进价”列式，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：由题意得，乙种礼盒每盒进价为元， 因为甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的倍， 所以甲种礼盒每盒进价为元， 则购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒的总费用为： ． 10．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）观察下列由字母“”和“”组成的图形规律： 已知“”表示碳原子，“”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第个图形对应的烷烃化学式为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．列举每个图形中“C”、“”的个数，找到规律即可得出答案． 【详解】解：第①个图中“C”的个数为1，“”的个数为， 第②个图中“C”的个数为2，“”的个数为， 第③个图中“C”的个数为3，“”的个数为， …… 则第个图形中“C”的个数为，字母“”的个数是，即． 故选：B． 11．（2026·河南南阳·一模）如图，图1中有3个圆点，图2中有6个圆点，图3中有9个圆点，……按照这一规律，图中的圆点个数为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图n的圆点个数为，据此可得答案． 【详解】解：图1中有个圆点， 图2中有个圆点， 图3中有个圆点， ……， 以此类推，可知图n中有个圆点 12．（2026·江西九江·模拟预测）将边长为1的正方形纸片按图①的方法进行对折，记第1次对折后得到的图形的面积为；第2次按图②的方法对折，记第2次对折后得到的图形的面积为；第3次按图③的方法对折，记第3次对折后得到的图形的面积为；…，依此规律，第n次对折后得到的图形的面积S为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求出前三次对折后的面积，再归纳规律即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， …， ，即选项B符合题意． 13．（26-27七年级上·北京·课后作业）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 迁移创新 14．（25-26七年级上·云南昭通·期中）一本书有280页，每天看页，看了4天，还剩余多少页没有看？ (1)用含的代数式表示剩余页数； (2)已知代数式的意义是的3倍与2的和，请写出代数式的意义． 【答案】(1) (2)表示与2的和的3倍 【分析】本题考查了列代数式，代数式的意义，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）用总页数减去已经看了的页数即可得解； （2）表示与2的和，乘以表示3倍，由此即可得解． 【详解】（1）解：∵一本书有280页，每天看页，看了4天， ∴剩余页数为页； （2）解：代数式的意义为与2的和的3倍． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）用字母表示图中阴影部分的面积： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了列代数式，将不规则图形的面积转化为规则图形（如长方形、圆、三角形等）的面积的和或差是解决求阴影部分面积问题的关键． （1）用正方形的面积减去圆的面积即可； （2）用长方形的面积减去4个正方形的面积即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是， ∴阴影部分的面积为：； （2）∵长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x， ∴阴影部分的面积为：． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）某工厂要生产一批电动车，平均每天生产的辆数和所需的天数如下表： 平均每天生产的辆数      所需的天数      (1)这批电动车共多少辆？ (2)所需的天数是怎样随着平均每天生产的辆数的变化而变化的？ (3)用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系？ 【答案】(1)这批电动车共辆 (2)所需的天数随着平均每天生产的辆数的增加而减少 (3)，与成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例的应用，掌握当两个变量乘积一定时这两个量成反比例关系是解题的关键． （1）根据通过 “每天生产的辆数 × 所需天数” 计算，结果均为，即可得到答案； （2）观察表格可知，每天生产的辆数依次增加，所需的天数依次减少即可得到答案； （3）根据题意，用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，乘积一定成反比例关系． 【详解】（1）解：∵（辆）， （辆）， （辆）， （辆）， （辆）， ∴这批电动车共辆； （2）观察表格的数据可知：随着每天生产的电动车的辆数从辆依次增加到辆，所需天数从天依次减少到天，故所需的天数随着每天生产的电动车的辆数增加而减少； （3）根据题意，用表示所需的天数，用表示平均每天生产的辆数，由（1）可知，生产总量为辆，根据“总辆数= 平均每天生产的辆数 × 所需天数”，可得关系式，因为两种变量的乘积为定值，所以与成反比例关系． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，用表示三角形每条边上的花盆数，请用表示摆放成三角形的花盆总数． (1)请根据上图完成下表： a/盆 2 3 4 5 6 7 … w/盆 … (2)请写出用表示的代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查代数式： （1）观察图形可知； （2）将变形即可求得答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； ······ a/盆 2 3 4 5 6 7 … w/盆 3 6 10 15 21 28 … （2）解：由（1）可知． 18．观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 【答案】(1)同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大； 同一列中，下方的数比上方相邻的数大； (2)套色方框中的9个数之和等于方框正中间数的9倍 (3)成立，理由如下： 设方框正中间的数为，根据日历的数字规律，方框内9个数可表示为： 上一行：， 中间行：， 下一行：， 9个数相加得，， 所以9个数的和恒等于中间数的9倍，只要该月日历能框出3×3的9个日期，这个关系就成立，对任意月份的日历都适用． (4)对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3倍， 设方框正中间的数为， 左上到右下：． 右上到左下：． 【分析】（1）根据日历中的数写出规律即可； （2）求出套色方框中的9个数之和与中间的数比较即可； （3）设方框正中间的数为，根据日历中相邻日期数的规律，可表示出其余8个数，将这9个数相加，得，故9个数的和恒等于中间数的9倍； （4）由（3）设中间数为，两条对角线上的数分别可表示为和，相加均得，即可得出对角线的规律． 【详解】（1）略 （2）解：日历图的套色方框中的9个数的总和为：， 方框正中间的数为10，可得， 因此套色方框中9个数的和，等于方框正中间数的9倍． （3）略 （4）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 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