专题07数与运算算理的探究（五大类）-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（苏教版 新教材）

该小学数学讲义以“计数单位”为核心，通过考点目录系统划分五大算理探究模块，结合典例分析与变式练习，用表格对比、思路引导等工具梳理整数、小数、分数加减乘除运算的内在联系，突出算理本质与重难点分布。 亮点在于“计数单位统一”的算理探究设计，如典例分析1从分数单位、小数计数单位角度解析加减法一致性，培养抽象能力与运算能力。变式练习分层设置，如“解释分数除法算理”的思考过程题，助力不同学生理解，为教师精准教学提供支持。

专题07数与运算算理的探究（五大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、算理探究（用计数单位思考） 1 二、整数、小数、分数的加减法探究 5 三、整数、小数、分数的乘法探究 9 四、整数、小数、分数除法的探究 14 五、算理的综合运用 16 一、算理探究（用计数单位思考） 【典例分析1】 分数和小数不仅可以互化，它们在算理和算法上还具有一致性。 ①；②；③12.8－5.7；④342＋256。 小明：我知道第①题，和的分数单位都相同，都是( )，计算时，就是把( )个( )和( )个( )加起来。 小丽：我知道第②题，的分数单位是( )，的分数单位是( )，它们计算时，也要把它们的分数单位先统一化成相同分数单位的分数，再加一加。 小刚：我是这样想第③题的，12.8和5.7的计数单位都是( )，在计算时就是用( )个( )减去( )个( )。 小红：第④题我会说，342和256相加，就是把( )个( )和( )个( )加起来。 整数、小数和分数加减法，它们在计算的方法上有什么共同点？ 我发现：( )。 【答案】 2 4 0.1 128 0.1 57 0.1 342 一 256 一 计算时，要把计数单位统一才能进行下一步计算。 【思路引导】计算整数加减法，要把相同数位对齐，也就是把相同的计数单位相加。计算小数加减法，要把小数点对齐，就是相同数位对齐，把相同的计数单位相加。同分母分数的分数单位相同，同分母分数相加减，就是把相同的分数单位相加减。 【详解】分数和小数不仅可以互化，它们在算理和算法上还具有一致性。 ①；②；③12.8－5.7；④342＋256。 小明：我知道第①题，和的分数单位都相同，都是，计算时，就是把2个和4个加起来。 小丽：我知道第②题，的分数单位是，的分数单位是，它们计算时，也要把它们的分数单位先统一化成相同分数单位的分数，再加一加。 小刚：我是这样想第③题的，12.8和5.7的计数单位都是0.1，在计算时就是用128个0.1减去57个0.1。 小红：第④题我会说，342和256相加，就是把342个一和256个一加起来。 整数、小数和分数加减法，它们在计算的方法上有什么共同点？ 我发现：计算时，要把计数单位统一才能进行下一步计算。 【典例分析2】 如图是思思整理的整数、小数乘法的计算方法，你能看懂计算的过程吗？虚线框中标注的部分是产生新的“计数单位”的过程。 （1）请你仿照思思的方法在方框中计算。 （2）请你像思思那样圈出小数、分数乘法计算中产生新的计数单位的过程。 （3）利用下面的长方形画图表示出的含义。（要让别人能清晰地看出新的计数单位） （4）仔细观察比较以上整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，你发现了什么？ 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【思路引导】（1）将两数的分数单位放在后面括号里相乘，几个分数单位放在前面的括号里相乘，由此解答本题。 （2）依据题中给出的例子，后面的括号圈起来即可解答。 （3）先画一个长方形，将其平均分成3份，涂色其中2份表示，把涂色的2份再平均分成5份，涂色其中4份，由此解答本题。 （4）整数乘法、小数乘法、分数乘法都通过因数分解把原数进行拆分为更简单的单位，再利用乘法交换律和结合律进行计算。（答案不唯一） 【详解】（1） ＝（2×）×（4×） ＝（2×4）×（） ＝8× ＝ （2）如图： （3）如图： （4）我发现：整数乘法、小数乘法、分数乘法都通过因数分解把原数进行拆分为更简单的单位，再利用乘法交换律和结合律进行计算，简化运算过程。（答案不唯一） 【点睛】本题重点需要通过已知例子，将整数乘法、小数乘法的计算方法利用到分数乘法。 【典例分析3】 观察下面除法计算的例子，按要求做题。 (1)我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成 ，再把 相除。（    ） A．相同数位，相同计数单位 B．相同计数单位，相同计数单位的个数 C．相同计数单位的个数，相同数位 (2)根据上面的发现，计算＝( )÷( )＝( )÷( )＝( )。 【答案】(1)B (2) 21 20 【思路引导】（1）计算整数除法60÷30是看成6个十除以3个十，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是60÷30的商；计算小数除法0.6÷0.3是看成6个0.1除以3个0.1，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是0.6÷0.3的商；计算分数除法÷，先根据分数的基本性质把它们化成分母都是8的分数，此时被除数和除数的计数单位相同，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是÷的商；据此解答； （2）计算÷时，先根据分数的基本性质把异分母分数化成相同计数单位的分数，再把它们的计数单位的个数相除，据此解答。 【详解】（1）我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成相同计数单位，再把相同计数单位的个数相除。 故答案为：B （2）根据上面的发现，计算÷＝÷＝21÷20＝。 【变式1】数学兴趣小组的三位同学在探讨整数、小数和分数加减运算的联系，下面是同学们以举例的方法对整数、小数和分数加减运算的思考过程，请你补充完整。 43＋25 ＝（4个十＋3个一）＋（2个十＋5个一） ＝（4个十＋2个十）＋（3个一＋5个一） ＝6个十＋8个一 ＝68 0.43＋0.25 ＝（4个0.1＋3个0.01）＋（2个0.1＋5个0.01） ＝（4个0.1＋2个0.1）＋（3个0.01＋5个0.01） ＝6个0.1＋8个0.01 ＝0.68 方框里通分的目的是：_______________________________________________________ ＝（    ）个（    ）＋（    ）个（    ） ＝（    ）个（    ） ＝（    ） 通过对比和观察，我们发现：整数、小数和分数加减法的运算道理是（    ）的。（填“一致”或者“不一致”） 【变式2】“数与代数”领域的核心概念是：“计数单位”，数的运算也是计数单位与计数单位个数的运算。例如我们学过的整数除法：，我们可以这样思考：250是25个十，50是5个十，所以250除以50，也就是求25个十里面包含多少个5个十，即可以想因为，所以。你能像上面那样思考，来解释吗？（写出思考过程） 【变式3】数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。各小组围绕“分数乘法和整数乘法、小数乘法的运算道理相同吗？”发表了自己的想法。 分数乘法和整数乘法、小数乘法运算道理一样吗？ ①组研究分数乘法的算理。 算理：分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘决定了分数单位的个数。 举例：×＝（×2）×（×5）＝（×）×（2×5）＝×10＝ ②组研究整数乘法的算理 算理：整数乘那个数，两个数计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例：30×500＝（10×3）×（100×5）＝（10×100）×（3×5）＝1000×15＝15000 ③组研究小数乘法的算理 算理：小数乘小数，两个小数的计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例： （1）你同意第一组的想法吗？请你结合的计算过程具体说明理由。 （2）你同意第二组的想法吗？请你结合他们的计算过程补充说明理由。 （3）你同意第三组的想法吗？请你以“0.3×0.07”为例举例说明理由。 二、整数、小数、分数的加减法的探究 【典例分析1】 观察下列算式，把你的发现写一写。 整数加减法 相同数位要对齐。 小数加减法 小数点要对齐。 分数加减法 先通分，再计算。 (1)我发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是________________________。 (2)我会用：算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋926 B．6.98－5.4 C． 【答案】(1)都是相同的计数单位进行加减计算 (2)C 【思路引导】（1）整数需要从个位对齐，小数加减法要小数点对齐这就确保了相同单位上的数相加减；分数：分母相同，也就是分数单位相同，可直接把分子相加减，分母不变；异分母分数分数单位不同，必须转化为同分母分数，但每个原分数的大小要不变，利用分数的基本性质通分，然后按同分母分数加减法计算。 （2）判断“4”和“9”能不能直接相加减，要看它们的计数单位是否相同。 【详解】（1）我发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是都是相同的计数单位进行加减计算。 （2）A．467的“4”在百位，926的“9”在百位，计数单位相同，能直接加。 B．6.98的“9”在十分位，5.4的“4”在十分位，计数单位相同，能直接减。 C．的“4”是分母（分数单位是），的“9”是分母（分数单位是），分数单位不同，不能直接相加减。 所以算式中“4”和“9”不能直接相加减的是。 【典例分析2】 填一填。 同学们在学习分数加减法运算时，由分数的加减法想到了整数和小数的加法，觉得分数、小数和整数的加减法的运算道理是一样的。 整数：小数： 分数：( )个( )个( )个 整数、小数、分数加减法，它们在算理上相同的地方是：________。 【答案】 3 2 5 只有相同计数单位的数才能直接相加减 【思路引导】分数通分后的分子，和分别对应几个分数单位；再将两个分数的分数单位个数相加，得到总共有多少个。 最后对比整数、小数加减法的算理：整数加法是相同计数单位“十”相加，小数加法是相同计数单位“0.1”相加，分数通分后是相同计数单位“”相加。总结三者共有的计算本质。 【详解】 整数、小数、分数加减法，它们在算理上相同的地方是：只有相同计数单位的数才能直接相加减。 【典例分析3】 同学们在学习分数加减法运算时，由分数的加减法想到了整数和小数的加法，觉得分数、小数和整数的加减法的运算道理是一样的。 （2个十＋3个一）＋（5个十＋6个一） 个十＋ 个一。 个个0.01个个0.01（_______＋_______）个（_______＋_______）个 。 _______个 _______个_______个。这一步通分的原因是( )。整数、小数、分数加减法，它们在算理上的相同点是( )。 【答案】 2 5 3 6 3 2 5 和的分数单位（计数单位）不同，不能直接相加，所以要先通分 只有计数单位相同才能直接相加 【思路引导】2个十和5个十相加，3个一和6个一相加；2个0.1和5个0.1相加，3个0.01和6个0.01相加；异分母分数相加，先通分为同分母分数。是3个，是2个。 分数单位不同的两个分母，不能直接相加，所以要先通分； 对比三种数的加减法，发现相同数位上的数可加减，当数是分数时，分数单位相同时可加减。说明，只有计数单位相同才能直接相加。 【详解】个个0.01个个0.01（2＋5）个（3＋6）个。 3个2个5个。这一步通分的原因是和的分数单位（计数单位）不同，不能直接相加，所以要先通分。整数、小数、分数加减法，它们在算理上的相同点是只有计数单位相同才能直接相加。 【变式1】比较发现。 (1)想一想，填一填。 (2)比一比，整数、小数和分数的加减法运算有什么相同之处？ 我发现____________________________________。 【变式2】下面是方方同学用举例的方法对整数、小数和分数加减运算的思考过程，请将未完成的空补充完整。 (1)  整数和小数的加减法，都是先把相同数位对齐才能相加减。相同数位对齐了，( )就相同了。 (2)异分母分数加法，可以通过通分使分母相同，分母相同( )就相同了。 (3)整数、小数、分数加减法的运算道理是( )的，（填“一致”或“不一致”），都是( )相同时才能相加减。 【变式3】乘法计算的“秘密”。 (1)画图与思考。 以“”为例，在下图画出思考过程。 (2)观察与尝试。（把□和“________”填完整） (3)比较与发现。 我发现乘法都是“计数单位的个数”ד计数单位的个数”、“计数单位”ד计数单位”。 那么，“”表示（    ）个与（    ）个相乘，也就是有（    ）个。 在图中涂出“”的新计数单位，数一数有几个？ 三、整数、小数、分数的乘法探究 【典例分析1】 学习了分数乘法后，乐乐通过计算发现：“不管是整数、小数还是分数的乘法计算都是基于计数单位以及计数单位个数的运算。”你觉得他说的有道理吗？请往下说出你的理由。 如：      【答案】有道理；因为不管是整数、小数还是分数的乘法计算都是求多少个计数单位的运算。（答案不唯一） 【思路引导】乘法交换律：a×b＝b×a，乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）。题干例子中，20表示2个10，30表示3个10，20×30的运算体现了基于计数单位以及计数单位个数的运算。 “0.2×0.3”0.2和0.3的计数单位都是0.1，那么算式可写成“（2×0.1）×（3×0.1）”，再根据乘法结合律和交换律计算； “”是2个，是4个，那么算式可写成“（2×）×（4×）”，再根据乘法结合律和交换律即可。 通过计算0.2×0.3以及×来判断乐乐说的是否有道理。 【详解】乐乐说的有道理。 0.2×0.3 ＝（2×0.1）×（3×0.1） ＝（2×3）×（0.1×0.1） ＝6×0.01 ＝0.06 × ＝（2×）×（4×） ＝（2×4）×（×） ＝8× ＝ 所以，不管是整数、小数还是分数的乘法计算都是基于计数单位以及计数单位个数的运算。乐乐的说法是有道理的。 【典例分析2】 数学课上，同学们讨论了“分数乘法”的内容。 小刚提出了一个问题：我看数学书上写着“分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。”如果按照这个方法计算就是：，为什么可以这样计算呢？ 小阳 分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘的积决定了分数单位的个数，分数单位和分数单位的个数都确定了，结果也就确定了。 小兵 我觉得可以这样解释： 小丽 我觉得整数乘法和分数乘法的运算道理是一样的，也可以像小兵那样计算。 例如：30×800＝（10×3）×（100×8）＝（10×100）×（3×8）＝1000×24＝24000 小梅 我觉得小数乘法和分数乘法的运算道理也是一样的。 ①你同意小阳的观点吗？请你结合的计算过程说明理由。 ②你同意小丽的观点吗？请你结合她的计算过程说明理由。 ③你同意小梅的观点吗？请你以0.2×0.08为例写出计算过程。 【答案】 ①的分数单位是，的分数单位是。 5×7＝35，新的分数单位是； 2×3＝6，有6个； 同意小阳的观点。 ②30就是3个十，计数单位是10；800就是8个百，计数单位是100。 10×100＝1000，得到计数单位千； 3×8＝24表示有24个千。 30×800＝24000 同意小丽的观点。 ③0.2×0.08 ＝（0.1×2）×（0.01×8） ＝（0.1×0.01）×（2×8） ＝0.001×16 ＝0.016 同意小梅的观点。 【思路引导】①同意小阳的观点。在的计算中，的分数单位是，的分数单位是。分数乘分数时，分母相乘5×7＝35，新的分数单位是；分子相乘2×3＝6，表示有6个这样的分数单位。分数单位和其个数都确定后，结果就是，因此小阳的解释是合理的。 ②同意小丽的观点。小丽以30×800为例，将30拆为10×3，800拆为100×8，再利用乘法交换律和结合律，得到（10×100）×（3×8）。这和小兵解释分数乘法的思路一致：都是将数拆分为“计数单位×计数单位的个数”，再通过乘法运算律重新组合，体现了整数乘法和分数乘法在运算道理上的一致性。 ③同意小梅的观点。以0.2×0.08为例：0.2就是2个0.1，计数单位是0.1；0.08就是8个0.01，计数单位是0.01。0.1×0.01＝0.001，得到计数单位0.001；2×8＝16表示有16个0.001。所以计算结果是0.016。 【典例分析3】 （1）小数乘法0.3×0.4。 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） ＝12×0.01 ＝0.12 0.3表示（    ）个（    ），0.4表示（    ）个（    ），将计数单位的个数（    ）和（    ）相乘，得到新计数单位的个数（    ），再将计数单位（    ）和（    ）相乘，得到新的计数单位（    ）。最后得到正确的结果是（    ）个（    ），也就是（    ）。 （2）分数乘法 在图中画一画，表示出算式的意义，再填空。 ＝（2×____）×（2×____） ＝（2×2）×（____×____）＝____×____ ＝ 表示（    ）个（    ），表示（    ）个（    ），将计数单位的个数（    ）和（    ）相乘，得到新计数单位的个数（    ），再将计数单位（    ）和（    ）相乘，得到新的计数单位（    ）。最后得到正确的结果是（    ）个（    ），也就是（    ）。 （3）仔细观察以上两题，你发现了什么？ ____________________________________________________________________________________________ 【答案】（1）3；0.1；4；0.1；3；4；12；0.1；0.1；0.01；12；0.01；0.12 （2）；；；；；4； 2；；2；；2；2；4；；；；4；； （3）乘法的本质都是计数单位的个数相乘，得到新计数单位的个数，计数单位相乘，得到新的计数单位，最后得到正确结果。 【思路引导】（1）0.3×0.4，把0.3拆分成3和0.1，其中的3是个数，0.1是它的计数单位。把0.4拆分成4和0.1，其中的4是个数，0.1是它的计数单位。3乘4算出新计数单位的个数，0.1乘0.1算出新的计数单位。 （2）表示的是多少，先把一个长方形平均分成3份，涂色其中的2份，表示出，再把平均分成5份，涂色其中的2份，即可表示的是几； ，把拆分成2和，其中的2是个数，是它的计数单位。把拆分成2和，其中的2是个数，是它的计数单位。2乘2算出新计数单位的个数，乘算出新的计数单位。 【详解】（1）0.3表示（3）个（0.1），0.4表示（4）个（0.1），将计数单位的个数（3）和（4）相乘，得到新计数单位的个数（12），再将计数单位（0.1）和（0.1）相乘，得到新的计数单位（0.01）。最后得到正确的结果是（12）个（0.01），也就是（0.12）。 （2） ＝（2×）×（2×） ＝（2×2）×（×） ＝4× ＝ 表示（2）个（c），表示（2）个（），将计数单位的个数（2）和（2）相乘，得到新计数单位的个数（4），再将计数单位（）和（）相乘，得到新的计数单位（）。最后得到正确的结果是（4）个（），也就是（ ）。 （3）乘法的本质都是计数单位的个数相乘，得到新计数单位的个数，计数单位相乘，得到新的计数单位，最后得到正确结果。 【变式1】在学习乘法运算过程中，小明发现，整数乘法、小数乘法都可以用同样的道理进行计算。 （1）请你照例填一填 （2）我发现：_________。 【变式2】灵悟小组的同学发现了乘法计算的道理，写出了如图一组算式。 请你按照灵悟小组同学的发现，以“”为例，写出分数乘法计算的道理。 【变式3】学习了“分数乘分数”后，同学们在课堂上展开了讨论： 分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘的积决定了分数单位的个数，分数单位和分数单位的个数都确定了，结果也就确定了。 我觉得可以这样解释： 我觉得整数乘法和分数乘法的运算道理是一样的，也可以像小兵那样计算。例如：30×800＝（10×3）×（100×8）＝（10×100）×（3×8）＝1000×24＝24000 我觉得小数乘法和分数乘法的运算道理也是一样的。 (1)老师对同学们的观点都表示赞同，从计数单位角度理解，无论是整数乘法、小数乘法、分数乘法，都可以看成是( ) 个数的累加。 (2)根据几位同学的观点，试着写一写下面小数乘法与分数乘法的运算道理： 0.3×0.12＝（______ ×______ ）×（______ ×______ ）＝( ) ＝（______ ×______ ）×（______ ×______ ）＝( ) 四、整数、小数、分数除法的探究 【典例分析】 3个班上手工课一共用去120张彩色手工纸，平均每班用了多少张？ (1)探究120÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。120是( )个十，( )个十除以3是( )个十，就是( )，所以120÷3＝( )。 方法二：利用表内除法口算。先计算12÷3＝( )，再看120的后面有( )个0，就在商4的后面添上( )个0。即120÷3＝( )。 方法三：想乘法算除法。( )×3＝120，可知120÷3＝( )。 (2)解决问题：__________________ 【答案】(1) 12 12 4 40 40 4 1 1 40 40 40 (2)120÷3＝40（张）答：平均每班用了40张。 【思路引导】用彩色手工纸总张数除以班级数，求出平均每个班级用彩色手工纸数量。列式为120÷3，再根据整百整十数除以一位数的口算方法解答即可。 【详解】（1）探究120÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。120是12个十，12个十除以3是4个十，就是40，所以120÷3＝40。 方法二：利用表内除法口算。先计算12÷3＝4，再看120的后面有1个0，就在商4的后面添上1个0。即120÷3＝40。 方法三：想乘法算除法。40×3＝120，可知120÷3＝40。 （2）解决问题：120÷3＝40（张） 答：平均每班用了40张。 【点睛】本题考查整百整十数除以一位数的口算方法，可以利用多种方法解答，需熟练掌握。 【变式1】在学习分数除法时，四位同学用了不同的方法探究怎样计算，（    ）的方法是合理的。 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】计算和，都可以先想，这里的6表示（    ）。 A．计数单位。 B．计数单位的个数。 C．计数单位相除的商。 D．6个一。 【变式3】如表是4位同学在探究“”怎样计算时的交流，有（    ）人的说法是正确的。 可以把转化成整数除法计算： 要是把除数变成1，计算就简单啦！我来试试： 还可以写成，还可以写成， 你们都是转化为旧知识来解决问题的！ A．1 B．2 C．3 D．4 五、算理的综合运用 【典例分析】 计算乘法时，可以从计数单位的角度思考，把计数单位与计数单位相乘，计数单位的个数与计数单位的个数相乘。例如：。以下三个乘法算式中，计算方法与它相同的是（    ）。 ① ② ③ A．② B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】根据题意，将两个因数写成计数单位个数和计数单位的乘积，再根据乘法交换律和结合律，将计数单位个数和计数单位先分别相乘，最后两个乘积再相乘即可。逐一分析三个选项即可。 【详解】①120×30中，120和30的计数单位都是10，由此可以表示为 120×30 ＝（12×10）×（3×10） ＝（12×3）×（10×10） ＝36×100 ＝3600 由此可知，①给出的计算方法和例题不一样。 ②0.7×0.9中，0.7和0.9的计数单位都是0.1，由此可以表示为 0.7×0.9 ＝（0.1×7）×（0.1×9） ＝（0.1×0.1）×（7×9） ＝0.01×63 ＝0.63 由此可知，②给出的计算方法和例题一样。 ③40×20中，40和20的计数单位都是10，由此可以表示为 40×20 ＝（10×4）×（10×2） ＝（10×10）×（4×2） ＝100×8 ＝800 由此可知，③给出的计算方法和例题一样。 1．把60张彩色手工纸平均分给3人，每人得到多少张？ (1)探究60÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。60是( )个十，( )个十除以( )是( )个十，就是( )， 所以60÷3＝( )。 方法二：利用表内除法口算。先计算6÷3＝( )，再看60的后面有( )个0，就在商2的后面添上( )个0。即60÷3＝( )。 方法三：想乘法算除法。( )×3＝60，所以60÷3＝( )。 (2)解决问题：________________________。 2．整数、小数、分数加减法运算的相同点是：计数单位相同的数才能直接相加减。由此请你判断，下面四个算式中“8”和“4”不能直接相加减的是（    ）。 A． B． C． D． 3．在计算加减法时，相同数位才能相加减。下列式子中，“4”和“5”能直接相加减的是（    ）。 A．463＋158 B．9.41－0.25 C． D． 4．计算50＋30＝( )，0.3＋0.5＝( )，－＝( )。观察思考这三个加减计算的计算过程，整数、小数、分数加减法计算的共同点是相同( )的个数相加减。 5．计算“0.24＋”。 方法一：用分数加减法计算，和是______个相加；方法二：用小数加减法计算，和是______个0.01相加。 6．下面说法正确的有（    ）个。 ①计算小数加减法和计算整数加减法一样，计数单位相同才可以相加 ②609.70中的“0”都去掉后，小数大小不变 ③125×88＝125×80×8 ④0.496保留两位小数是0.5 ⑤一个三位小数精确到百分位后是7.50，这个三位小数最大是7.504 A．1 B．2 C．3 D．4 7．数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。小智发现每个数都是由计数单位和计数单位个数组成，如20是由2个10组成，40是由4个10组成，在计算时，可以这样算： 。由此可以看出：数的运算实质就是计数单位和计数单位个数之间的运算。下面按照这样的方法计算正确的算式有（    ）。 ① ② ③ ④ A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 8．数学课上，老师带领同学们再认识乘法运算，写出了这样的算式： [下面的（1）、（2）两个小题均可从“计数单位的个数”、“计数单位”中选择填入] （1）仔细观察，算式中的1、10、100、0.1和0.01都是（    ），2、3和6都是（    ）。 （2）由此，我们猜想：整数和小数的乘法，都可以采用因数的（    ）相乘得到积的计数单位，（    ）相乘得到积的计数单位的个数的方法进行计算。 （3）这个猜想对分数乘法适用吗？请举一例照样子算一算。 9．淘气在学习过程中通过对比发现数的运算算理其实是相通的。他写出了四道算式：              上面的算式中的“4”和“1”不可以直接相加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，1表示1个( )。从这些算式中，我们发现，整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同的( )才可以相加减。 10．数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。明月小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 （1）明月小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。 34．【阅读理解】 分子为1的分数叫做单位分数，任意一个分数都可以拆分成几个不同的单位分数之和的形式，如下图：       【基础探究】 请你仿照上面的方法，将和拆分成两个不同的单位分数之和。 （1） （2） 【进阶探究】 请你试着把拆分成3个单位分数之和。 【综合应用】 请你用拆分的思路计算下面的题目。 试卷第1页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07数与运算算理的探究（五大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、算理探究（用计数单位思考） 1 二、整数、小数、分数的加减法的探究 7 三、整数、小数、分数的乘法探究 12 四、整数、小数、分数除法的探究 20 五、算理的综合运用 23 一、算理探究（用计数单位思考） 【典例分析1】 分数和小数不仅可以互化，它们在算理和算法上还具有一致性。 ①；②；③12.8－5.7；④342＋256。 小明：我知道第①题，和的分数单位都相同，都是( )，计算时，就是把( )个( )和( )个( )加起来。 小丽：我知道第②题，的分数单位是( )，的分数单位是( )，它们计算时，也要把它们的分数单位先统一化成相同分数单位的分数，再加一加。 小刚：我是这样想第③题的，12.8和5.7的计数单位都是( )，在计算时就是用( )个( )减去( )个( )。 小红：第④题我会说，342和256相加，就是把( )个( )和( )个( )加起来。 整数、小数和分数加减法，它们在计算的方法上有什么共同点？ 我发现：( )。 【答案】 2 4 0.1 128 0.1 57 0.1 342 一 256 一 计算时，要把计数单位统一才能进行下一步计算。 【思路引导】计算整数加减法，要把相同数位对齐，也就是把相同的计数单位相加。计算小数加减法，要把小数点对齐，就是相同数位对齐，把相同的计数单位相加。同分母分数的分数单位相同，同分母分数相加减，就是把相同的分数单位相加减。 【详解】分数和小数不仅可以互化，它们在算理和算法上还具有一致性。 ①；②；③12.8－5.7；④342＋256。 小明：我知道第①题，和的分数单位都相同，都是，计算时，就是把2个和4个加起来。 小丽：我知道第②题，的分数单位是，的分数单位是，它们计算时，也要把它们的分数单位先统一化成相同分数单位的分数，再加一加。 小刚：我是这样想第③题的，12.8和5.7的计数单位都是0.1，在计算时就是用128个0.1减去57个0.1。 小红：第④题我会说，342和256相加，就是把342个一和256个一加起来。 整数、小数和分数加减法，它们在计算的方法上有什么共同点？ 我发现：计算时，要把计数单位统一才能进行下一步计算。 【典例分析2】 如图是思思整理的整数、小数乘法的计算方法，你能看懂计算的过程吗？虚线框中标注的部分是产生新的“计数单位”的过程。 （1）请你仿照思思的方法在方框中计算。 （2）请你像思思那样圈出小数、分数乘法计算中产生新的计数单位的过程。 （3）利用下面的长方形画图表示出的含义。（要让别人能清晰地看出新的计数单位） （4）仔细观察比较以上整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，你发现了什么？ 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【思路引导】（1）将两数的分数单位放在后面括号里相乘，几个分数单位放在前面的括号里相乘，由此解答本题。 （2）依据题中给出的例子，后面的括号圈起来即可解答。 （3）先画一个长方形，将其平均分成3份，涂色其中2份表示，把涂色的2份再平均分成5份，涂色其中4份，由此解答本题。 （4）整数乘法、小数乘法、分数乘法都通过因数分解把原数进行拆分为更简单的单位，再利用乘法交换律和结合律进行计算。（答案不唯一） 【详解】（1） ＝（2×）×（4×） ＝（2×4）×（） ＝8× ＝ （2）如图： （3）如图： （4）我发现：整数乘法、小数乘法、分数乘法都通过因数分解把原数进行拆分为更简单的单位，再利用乘法交换律和结合律进行计算，简化运算过程。（答案不唯一） 【点睛】本题重点需要通过已知例子，将整数乘法、小数乘法的计算方法利用到分数乘法。 【典例分析3】 观察下面除法计算的例子，按要求做题。 (1)我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成 ，再把 相除。（    ） A．相同数位，相同计数单位 B．相同计数单位，相同计数单位的个数 C．相同计数单位的个数，相同数位 (2)根据上面的发现，计算＝( )÷( )＝( )÷( )＝( )。 【答案】(1)B (2) 21 20 【思路引导】（1）计算整数除法60÷30是看成6个十除以3个十，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是60÷30的商；计算小数除法0.6÷0.3是看成6个0.1除以3个0.1，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是0.6÷0.3的商；计算分数除法÷，先根据分数的基本性质把它们化成分母都是8的分数，此时被除数和除数的计数单位相同，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是÷的商；据此解答； （2）计算÷时，先根据分数的基本性质把异分母分数化成相同计数单位的分数，再把它们的计数单位的个数相除，据此解答。 【详解】（1）我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成相同计数单位，再把相同计数单位的个数相除。 故答案为：B （2）根据上面的发现，计算÷＝÷＝21÷20＝。 【变式1】数学兴趣小组的三位同学在探讨整数、小数和分数加减运算的联系，下面是同学们以举例的方法对整数、小数和分数加减运算的思考过程，请你补充完整。 43＋25 ＝（4个十＋3个一）＋（2个十＋5个一） ＝（4个十＋2个十）＋（3个一＋5个一） ＝6个十＋8个一 ＝68 0.43＋0.25 ＝（4个0.1＋3个0.01）＋（2个0.1＋5个0.01） ＝（4个0.1＋2个0.1）＋（3个0.01＋5个0.01） ＝6个0.1＋8个0.01 ＝0.68 方框里通分的目的是：_______________________________________________________ ＝（    ）个（    ）＋（    ）个（    ） ＝（    ）个（    ） ＝（    ） 通过对比和观察，我们发现：整数、小数和分数加减法的运算道理是（    ）的。（填“一致”或者“不一致”） 【答案】统一计数单位（或统一分数单位）；5；；8；；13；；；一致 【思路引导】这一步是在通分，把分母不同的分数转化为分母相同的分数，从而使两个分数的计数单位相同，然后相同计数单位的数就可以相加了；表示5个，表示8个，相加表示5＋8＝13（个）；整数加减法是把相同数位上的数相加减，小数加减法是把相同数位（即相同计数单位）上的数相加减，分数加减法是先通分，把分数单位统一后，再把相同分数单位的数相加减。所以整数、小数和分数加减法的运算道理一致。 【详解】 方框里通分的目的是：统一计数单位（或统一分数单位） ＝ ＝（个）＋（个） ＝个 ＝ 通过对比和观察，我们发现：整数、小数和分数加减法的运算道理是一致的。 【变式2】“数与代数”领域的核心概念是：“计数单位”，数的运算也是计数单位与计数单位个数的运算。例如我们学过的整数除法：，我们可以这样思考：250是25个十，50是5个十，所以250除以50，也就是求25个十里面包含多少个5个十，即可以想因为，所以。你能像上面那样思考，来解释吗？（写出思考过程） 【答案】见详解 【思路引导】由题意可知，，我们可以这样思考：250是25个十，50是5个十，所以250除以50，也就是求25个十里面包含多少个5个十，即可以想因为，所以，据此可知，因为3.6是36个0.1，0.6是6个0.1，36除以0.6，也就是求36个0.1，里面含有多少个6个0.1，据此进行计算即可。 【详解】3.6是36个0.1，0.6是6个0.1，36除以0.6，也就是求36个0.1，里面含有多少个6个0.1 因为 所以 【点睛】本题考查小数除法，明确小数除法的意义是解题的关键。 【变式3】数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。各小组围绕“分数乘法和整数乘法、小数乘法的运算道理相同吗？”发表了自己的想法。 分数乘法和整数乘法、小数乘法运算道理一样吗？ ①组研究分数乘法的算理。 算理：分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘决定了分数单位的个数。 举例：×＝（×2）×（×5）＝（×）×（2×5）＝×10＝ ②组研究整数乘法的算理 算理：整数乘那个数，两个数计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例：30×500＝（10×3）×（100×5）＝（10×100）×（3×5）＝1000×15＝15000 ③组研究小数乘法的算理 算理：小数乘小数，两个小数的计数单位相乘决定了结果的计数单位。 举例： （1）你同意第一组的想法吗？请你结合的计算过程具体说明理由。 （2）你同意第二组的想法吗？请你结合他们的计算过程补充说明理由。 （3）你同意第三组的想法吗？请你以“0.3×0.07”为例举例说明理由。 【答案】（1）同意；理由见详解 （2）同意；理由见详解 （3）同意；理由见详解 【思路引导】（1）第一组的算理是：分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘决定了分数单位的个数。以为例，里面有2个，里面有5个。两个分数单位相乘的积决定了分数单位；把两个乘数的分子相乘分数单位的个数。 （2）第二组以30×500说明，30里面有3个10，500里面有5个100，10和100都是整数的计数单位。把计数单位相乘决定了结果的计数单位；把两个整数的计数单位的个数相乘决定了结果的计数单位的个数。 （3）以“0.3×0.07”为例，0.3里面有3个0.1，0.07里面有7个0.01.把两个计数单位相乘决定了结果的计数单位；把两个小数的计数单位的个数相乘结果的计数单位的个数。据此解答即可。 【详解】（1）答：同意。以为例，×＝，那么积的分数单位就是，所以说分母相乘的积决定了分数单位；2×5＝10，则积里面有10个，即分子相乘决定了分数单位的个数。 （2）答：同意。以30×500说明，30里面有3个10，500里面有5个100。10×100＝1000，那么积的计数单位就是1000，即两个数计数单位相乘决定了结果的计数单位；3×5＝15，则积里面有15个1000，即两个数计数单位的个数相乘决定了结果的计数单位的个数。 （3）答：同意。以“0.3×0.07”为例，0.3里面有3个0.1，0.07里面有7个0.01。0.1×0.01＝0.001，则积的计数单位是0.001，即两个小数的计数单位相乘决定了结果的计数单位；3×7＝21，则积里面有21个0.001，即两个小数的计数单位的个数相乘决定了结果的计数单位的个数。 二、整数、小数、分数的加减法的探究 【典例分析1】 观察下列算式，把你的发现写一写。 整数加减法 相同数位要对齐。 小数加减法 小数点要对齐。 分数加减法 先通分，再计算。 (1)我发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是________________________。 (2)我会用：算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋926 B．6.98－5.4 C． 【答案】(1)都是相同的计数单位进行加减计算 (2)C 【思路引导】（1）整数需要从个位对齐，小数加减法要小数点对齐这就确保了相同单位上的数相加减；分数：分母相同，也就是分数单位相同，可直接把分子相加减，分母不变；异分母分数分数单位不同，必须转化为同分母分数，但每个原分数的大小要不变，利用分数的基本性质通分，然后按同分母分数加减法计算。 （2）判断“4”和“9”能不能直接相加减，要看它们的计数单位是否相同。 【详解】（1）我发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是都是相同的计数单位进行加减计算。 （2）A．467的“4”在百位，926的“9”在百位，计数单位相同，能直接加。 B．6.98的“9”在十分位，5.4的“4”在十分位，计数单位相同，能直接减。 C．的“4”是分母（分数单位是），的“9”是分母（分数单位是），分数单位不同，不能直接相加减。 所以算式中“4”和“9”不能直接相加减的是。 【典例分析2】 填一填。 同学们在学习分数加减法运算时，由分数的加减法想到了整数和小数的加法，觉得分数、小数和整数的加减法的运算道理是一样的。 整数：小数： 分数：( )个( )个( )个 整数、小数、分数加减法，它们在算理上相同的地方是：________。 【答案】 3 2 5 只有相同计数单位的数才能直接相加减 【思路引导】分数通分后的分子，和分别对应几个分数单位；再将两个分数的分数单位个数相加，得到总共有多少个。 最后对比整数、小数加减法的算理：整数加法是相同计数单位“十”相加，小数加法是相同计数单位“0.1”相加，分数通分后是相同计数单位“”相加。总结三者共有的计算本质。 【详解】 整数、小数、分数加减法，它们在算理上相同的地方是：只有相同计数单位的数才能直接相加减。 【典例分析3】 同学们在学习分数加减法运算时，由分数的加减法想到了整数和小数的加法，觉得分数、小数和整数的加减法的运算道理是一样的。 （2个十＋3个一）＋（5个十＋6个一） 个十＋ 个一。 个个0.01个个0.01（_______＋_______）个（_______＋_______）个 。 _______个 _______个_______个。这一步通分的原因是( )。整数、小数、分数加减法，它们在算理上的相同点是( )。 【答案】 2 5 3 6 3 2 5 和的分数单位（计数单位）不同，不能直接相加，所以要先通分 只有计数单位相同才能直接相加 【思路引导】2个十和5个十相加，3个一和6个一相加；2个0.1和5个0.1相加，3个0.01和6个0.01相加；异分母分数相加，先通分为同分母分数。是3个，是2个。 分数单位不同的两个分母，不能直接相加，所以要先通分； 对比三种数的加减法，发现相同数位上的数可加减，当数是分数时，分数单位相同时可加减。说明，只有计数单位相同才能直接相加。 【详解】个个0.01个个0.01（2＋5）个（3＋6）个。 3个2个5个。这一步通分的原因是和的分数单位（计数单位）不同，不能直接相加，所以要先通分。整数、小数、分数加减法，它们在算理上的相同点是只有计数单位相同才能直接相加。 【变式1】比较发现。 (1)想一想，填一填。 (2)比一比，整数、小数和分数的加减法运算有什么相同之处？ 我发现____________________________________。 【答案】(1)十；十；十； 0.01；0.01；0.01； ；； (2)整数、小数和分数的加减法运算的相同之处：都是相同的计数单位才能相加减。 【思路引导】整数加法法则：多位数相加一般采用竖式计算法，即相同数位上的数对齐，从低位算起，哪一位上的数相加满十，即向前一位进一；小数加法的计算方法：计算小数加法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点；分数加法的计算方法：同分母分数加法，分母相同，分子直接相加。观察每个数所在的数位位置，以及它表示的计数单位，作答即可。 【详解】（1），352十位上的5表示5个十、416十位上的1表示1个十，768十位上的6表示6个十，它们的计数单位都是十；所以5个十＋1个十＝6个十。 ，1.25百分位上的5表示5个0.01，2.41百分位上的1表示1个0.01，3.66百分位上的6表示6个0.01，它们的计数单位都是0.01；所以5个0.01＋1个0.01＝6个0.01。 ，表示5个，表示1个，表示6个，它们的计数单位都是；所以5个＋1个＝6个。 （2）我发现整数、小数和分数的加减法运算的相同之处：都是相同的计数单位才能相加减。 【变式2】下面是方方同学用举例的方法对整数、小数和分数加减运算的思考过程，请将未完成的空补充完整。 (1)  整数和小数的加减法，都是先把相同数位对齐才能相加减。相同数位对齐了，( )就相同了。 (2)异分母分数加法，可以通过通分使分母相同，分母相同( )就相同了。 (3)整数、小数、分数加减法的运算道理是( )的，（填“一致”或“不一致”），都是( )相同时才能相加减。 【答案】(1)计数单位 (2)分数单位 (3) 一致 计数单位 【思路引导】根据整数、小数和分数加减法的运算算理，“计数单位”的概念以及不同形式数在加减运算中的共同性质，据此解答。 【详解】（1）在整数和小数的加减法竖式计算中，强调“相同数位对齐”，例如个位对齐个位，十分位对齐十分位，每一个数位都是有其对应的计数单位，如个位的计数单位是1，十分位的计数单位是0.1，当相同数位对齐时，意味着这些数位上的数所代表的计数单位是相同的，只有计数单位相同的数才能直接相加减。 （2）在异分母分数加法中，分母不同意味着分数单位不同，不能直接相加，通过通分，将异分母分数转化为同分母分数，分母表示把单位“1”平均分成的份数，分子表示取了其中的几份。分母相同，说明把单位“1”平均分成的份数相同，即每一份的大小（分数单位）相同。如和的分母都是6，它们的分数单位都是，因此，分母相同，分数单位就相同了。 （3）因此，整数、小数、分数的加减法虽然形式不同，但核心原理是相同的，整数和小数通过“数位对齐”保证计数单位相同，分数通过“通分”保证分数单位相同，这说明它们的运算道理是一致的，都是相同的计数单位相同时才能相加减。 【变式3】乘法计算的“秘密”。 (1)画图与思考。 以“”为例，在下图画出思考过程。 (2)观察与尝试。（把□和“________”填完整） (3)比较与发现。 我发现乘法都是“计数单位的个数”ד计数单位的个数”、“计数单位”ד计数单位”。 那么，“”表示（    ）个与（    ）个相乘，也就是有（    ）个。 在图中涂出“”的新计数单位，数一数有几个？ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)3；5；15；9个。 【思路引导】（1）把正方形看作单位“1”，平均分成5份，其中3份涂色表示，再将涂色的3份平均分成4份，其中3份涂色，即表示； （2）0.4×0.7，把0.4拆分为4×0.1，其中0.1是它的计数单位，4是个数，0.7拆分为7×0.1，其中0.1是它的计数单位，7是个数，4乘7计算出新计数单位的个数，0.1乘0.1算出新计数单位，最后新计数单位的个数×新的计数单位计算出结果； ，把拆分成3×，其中3是个数，是计数单位，把拆分成2×，其中2是个数，是计数单位，3×2算出新计数单位的个数，算出新的计数单位，最后新计数单位的个数×新的计数单位计算出结果； （3）的计数单位是，表示3个，的计数单位是，表示5个。根据（1）的图数一数即可解答。据此解答。 【详解】（1）如图： （2） （3）我发现乘法都是“计数单位的个数”ד计数单位的个数”、“计数单位”ד计数单位”。“”表示3个与5个相乘，也就是有15个。 答：在图中涂出“”的新计数单位，数一数有9个。 三、整数、小数、分数的乘法探究 【典例分析1】 学习了分数乘法后，乐乐通过计算发现：“不管是整数、小数还是分数的乘法计算都是基于计数单位以及计数单位个数的运算。”你觉得他说的有道理吗？请往下说出你的理由。 如：      【答案】有道理；因为不管是整数、小数还是分数的乘法计算都是求多少个计数单位的运算。（答案不唯一） 【思路引导】乘法交换律：a×b＝b×a，乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）。题干例子中，20表示2个10，30表示3个10，20×30的运算体现了基于计数单位以及计数单位个数的运算。 “0.2×0.3”0.2和0.3的计数单位都是0.1，那么算式可写成“（2×0.1）×（3×0.1）”，再根据乘法结合律和交换律计算； “”是2个，是4个，那么算式可写成“（2×）×（4×）”，再根据乘法结合律和交换律即可。 通过计算0.2×0.3以及×来判断乐乐说的是否有道理。 【详解】乐乐说的有道理。 0.2×0.3 ＝（2×0.1）×（3×0.1） ＝（2×3）×（0.1×0.1） ＝6×0.01 ＝0.06 × ＝（2×）×（4×） ＝（2×4）×（×） ＝8× ＝ 所以，不管是整数、小数还是分数的乘法计算都是基于计数单位以及计数单位个数的运算。乐乐的说法是有道理的。 【典例分析2】 数学课上，同学们讨论了“分数乘法”的内容。 小刚提出了一个问题：我看数学书上写着“分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。”如果按照这个方法计算就是：，为什么可以这样计算呢？ 小阳 分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘的积决定了分数单位的个数，分数单位和分数单位的个数都确定了，结果也就确定了。 小兵 我觉得可以这样解释： 小丽 我觉得整数乘法和分数乘法的运算道理是一样的，也可以像小兵那样计算。 例如：30×800＝（10×3）×（100×8）＝（10×100）×（3×8）＝1000×24＝24000 小梅 我觉得小数乘法和分数乘法的运算道理也是一样的。 ①你同意小阳的观点吗？请你结合的计算过程说明理由。 ②你同意小丽的观点吗？请你结合她的计算过程说明理由。 ③你同意小梅的观点吗？请你以0.2×0.08为例写出计算过程。 【答案】 ①的分数单位是，的分数单位是。 5×7＝35，新的分数单位是； 2×3＝6，有6个； 同意小阳的观点。 ②30就是3个十，计数单位是10；800就是8个百，计数单位是100。 10×100＝1000，得到计数单位千； 3×8＝24表示有24个千。 30×800＝24000 同意小丽的观点。 ③0.2×0.08 ＝（0.1×2）×（0.01×8） ＝（0.1×0.01）×（2×8） ＝0.001×16 ＝0.016 同意小梅的观点。 【思路引导】①同意小阳的观点。在的计算中，的分数单位是，的分数单位是。分数乘分数时，分母相乘5×7＝35，新的分数单位是；分子相乘2×3＝6，表示有6个这样的分数单位。分数单位和其个数都确定后，结果就是，因此小阳的解释是合理的。 ②同意小丽的观点。小丽以30×800为例，将30拆为10×3，800拆为100×8，再利用乘法交换律和结合律，得到（10×100）×（3×8）。这和小兵解释分数乘法的思路一致：都是将数拆分为“计数单位×计数单位的个数”，再通过乘法运算律重新组合，体现了整数乘法和分数乘法在运算道理上的一致性。 ③同意小梅的观点。以0.2×0.08为例：0.2就是2个0.1，计数单位是0.1；0.08就是8个0.01，计数单位是0.01。0.1×0.01＝0.001，得到计数单位0.001；2×8＝16表示有16个0.001。所以计算结果是0.016。 【典例分析3】 （1）小数乘法0.3×0.4。 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） ＝12×0.01 ＝0.12 0.3表示（    ）个（    ），0.4表示（    ）个（    ），将计数单位的个数（    ）和（    ）相乘，得到新计数单位的个数（    ），再将计数单位（    ）和（    ）相乘，得到新的计数单位（    ）。最后得到正确的结果是（    ）个（    ），也就是（    ）。 （2）分数乘法 在图中画一画，表示出算式的意义，再填空。 ＝（2×____）×（2×____） ＝（2×2）×（____×____）＝____×____ ＝ 表示（    ）个（    ），表示（    ）个（    ），将计数单位的个数（    ）和（    ）相乘，得到新计数单位的个数（    ），再将计数单位（    ）和（    ）相乘，得到新的计数单位（    ）。最后得到正确的结果是（    ）个（    ），也就是（    ）。 （3）仔细观察以上两题，你发现了什么？ ____________________________________________________________________________________________ 【答案】（1）3；0.1；4；0.1；3；4；12；0.1；0.1；0.01；12；0.01；0.12 （2）；；；；；4； 2；；2；；2；2；4；；；；4；； （3）乘法的本质都是计数单位的个数相乘，得到新计数单位的个数，计数单位相乘，得到新的计数单位，最后得到正确结果。 【思路引导】（1）0.3×0.4，把0.3拆分成3和0.1，其中的3是个数，0.1是它的计数单位。把0.4拆分成4和0.1，其中的4是个数，0.1是它的计数单位。3乘4算出新计数单位的个数，0.1乘0.1算出新的计数单位。 （2）表示的是多少，先把一个长方形平均分成3份，涂色其中的2份，表示出，再把平均分成5份，涂色其中的2份，即可表示的是几； ，把拆分成2和，其中的2是个数，是它的计数单位。把拆分成2和，其中的2是个数，是它的计数单位。2乘2算出新计数单位的个数，乘算出新的计数单位。 【详解】（1）0.3表示（3）个（0.1），0.4表示（4）个（0.1），将计数单位的个数（3）和（4）相乘，得到新计数单位的个数（12），再将计数单位（0.1）和（0.1）相乘，得到新的计数单位（0.01）。最后得到正确的结果是（12）个（0.01），也就是（0.12）。 （2） ＝（2×）×（2×） ＝（2×2）×（×） ＝4× ＝ 表示（2）个（c），表示（2）个（），将计数单位的个数（2）和（2）相乘，得到新计数单位的个数（4），再将计数单位（）和（）相乘，得到新的计数单位（）。最后得到正确的结果是（4）个（），也就是（ ）。 （3）乘法的本质都是计数单位的个数相乘，得到新计数单位的个数，计数单位相乘，得到新的计数单位，最后得到正确结果。 【变式1】在学习乘法运算过程中，小明发现，整数乘法、小数乘法都可以用同样的道理进行计算。 （1）请你照例填一填 （2）我发现：_________。 【答案】（1）0.01；6；；；2；4；；8；；8 （2）见详解 【思路引导】观察发现，整十数乘整十数或小数乘小数，将两个整十数或两个小数分别化为各自的计数单位与个数的乘积，然后将各个计数单位的个数相乘得到新的个数，两个计数单位相乘得到新的计数单位，新的个数与新的计数单位相乘，就可以得到原来两个整十数的乘积。据此填空，可以发现整数乘法、小数乘法以及分数乘法都可以用同样的道理进行计算。据此分析。 【详解】 （1） （2）我发现：两个分数相乘时，可以将两个分数分别化为各自的计数单位与个数的乘积，然后将各计数单位的个数相乘得到新的个数，两个计数单位相乘得到新的计数单位，新的个数与新的计数单位相乘，就可以得到原来两个分数的乘积；即分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母；计算结果能约分的要约分。 【变式2】灵悟小组的同学发现了乘法计算的道理，写出了如图一组算式。 请你按照灵悟小组同学的发现，以“”为例，写出分数乘法计算的道理。 【答案】；理由见详解 【思路引导】40表示4个10，50表示5个10，计算40×50可以写成整数的计数单位乘计数单位的个数，再把两个整数计数单位相乘，两个计数单位的个数相乘，所得积再相乘；0.03表示3个0.01，0.6表示6个0.1，计算0.03×0.6可以写成小数的计数单位乘计数单位的个数，再把两个小数计数单位相乘，两个计数单位的个数相乘，所得积再相乘；根据整数乘法和小数乘法的计算道理，可以得出分数乘法的计算道理：分数乘分数可以写成分数单位乘分数单位的个数，再把两个分数单位相乘，分数单位的个数相乘，所得积再相乘。 【详解】 答：分数乘法计算的道理为分数乘分数可以写成分数单位乘分数单位的个数，再把两个分数单位相乘，分数单位的个数相乘，所得积再根据分数乘整数的方法求出结果。 【变式3】学习了“分数乘分数”后，同学们在课堂上展开了讨论： 分数乘分数，分母相乘的积决定了分数单位，分子相乘的积决定了分数单位的个数，分数单位和分数单位的个数都确定了，结果也就确定了。 我觉得可以这样解释： 我觉得整数乘法和分数乘法的运算道理是一样的，也可以像小兵那样计算。例如：30×800＝（10×3）×（100×8）＝（10×100）×（3×8）＝1000×24＝24000 我觉得小数乘法和分数乘法的运算道理也是一样的。 (1)老师对同学们的观点都表示赞同，从计数单位角度理解，无论是整数乘法、小数乘法、分数乘法，都可以看成是( ) 个数的累加。 (2)根据几位同学的观点，试着写一写下面小数乘法与分数乘法的运算道理： 0.3×0.12＝（______ ×______ ）×（______ ×______ ）＝( ) ＝（______ ×______ ）×（______ ×______ ）＝( ) 【答案】(1)计数单位 (2) 3 12 0.1 0.01 0.036 2 4 【思路引导】（1）在分数中，分母是几，那么分数单位就是几分之一，分子决定它有几个分数单位；结合分数乘法的计算方法，分子相乘决定了新的分数单位，分母相乘决定了有几个新的分数单位； 计算整百数和整十数相乘时，可以将最高位上的数先乘，再数因数中一共有几个0，然后再积末尾补上几个0；根据计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉；据此可知，整数乘法、小数乘法、分数乘法，都可以看成是计数单位个数的累加。 （2）计算小数乘法时，先判断每个小数有几个计数单位，然后计数单位相乘，产生新的计数单位；然后计数单位的个数相乘，即可知新的计数单位有几个。 计算分数乘法时，先判断每个分数有几个分数单位，然后分数单位相乘，产生新的分数单位；然后分数单位的个数相乘，即可知新的分数单位有几个。 【详解】（1）老师对同学们的观点都表示赞同，从计数单位角度理解，无论是整数乘法、小数乘法、分数乘法，都可以看成是计数单位个数的累加。 （2）0.3×0.12 ＝（3×0.1）×（12×0.01） ＝3×0.1×12×0.01 ＝3×12×0.1×0.01 ＝（3×12）×（0.1×0.01） ＝36×0.001 ＝0.036 × ＝（2×）×（4×） ＝2××4× ＝2×4×× ＝（2×4）×（×） ＝8× ＝ 四、整数、小数、分数除法的探究 【典例分析】 3个班上手工课一共用去120张彩色手工纸，平均每班用了多少张？ (1)探究120÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。120是( )个十，( )个十除以3是( )个十，就是( )，所以120÷3＝( )。 方法二：利用表内除法口算。先计算12÷3＝( )，再看120的后面有( )个0，就在商4的后面添上( )个0。即120÷3＝( )。 方法三：想乘法算除法。( )×3＝120，可知120÷3＝( )。 (2)解决问题：__________________ 【答案】(1) 12 12 4 40 40 4 1 1 40 40 40 (2)120÷3＝40（张）答：平均每班用了40张。 【思路引导】用彩色手工纸总张数除以班级数，求出平均每个班级用彩色手工纸数量。列式为120÷3，再根据整百整十数除以一位数的口算方法解答即可。 【详解】（1）探究120÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。120是12个十，12个十除以3是4个十，就是40，所以120÷3＝40。 方法二：利用表内除法口算。先计算12÷3＝4，再看120的后面有1个0，就在商4的后面添上1个0。即120÷3＝40。 方法三：想乘法算除法。40×3＝120，可知120÷3＝40。 （2）解决问题：120÷3＝40（张） 答：平均每班用了40张。 【点睛】本题考查整百整十数除以一位数的口算方法，可以利用多种方法解答，需熟练掌握。 【变式1】在学习分数除法时，四位同学用了不同的方法探究怎样计算，（    ）的方法是合理的。 A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】先根据分数除法的意义计算出的结果： ①根据分数与除法的关系将分数转化成除法的形式，再进行计算； ②先算小时走的路程，再算1小时走的路程； ③根据商不变的性质进行计算； ④借助线段图表示出2中包含多少个。 【详解】： ① 将转化成2÷3参与计算，可得，该方法合理； ②有2个，小时所走的路程为：2÷2＝1（km）； 即1小时中有3个小时，1小时走的路程为：1×3＝3（km）； 可得，该方法合理； ③将被除数2和除数同时乘，商不变，可得，该方法合理； ④借助线段图，将整数化成假分数即把2分成6份，每一份表示，则原式变为，表示6个里面包含几个2个，即6÷2＝3，可得，该方法合理。 所以①②③④的方法均是合理的。 【变式2】计算和，都可以先想，这里的6表示（    ）。 A．计数单位。 B．计数单位的个数。 C．计数单位相除的商。 D．6个一。 【答案】B 【思路引导】根据题意，60中的6表示6个十，0.06中的6表示6个百分之一，再结合小数的意义解答即可。 【详解】据分析可知，计算和，都可以先想，这里的6表示计数单位的个数。 故答案为：B 【变式3】如表是4位同学在探究“”怎样计算时的交流，有（    ）人的说法是正确的。 可以把转化成整数除法计算： 要是把除数变成1，计算就简单啦！我来试试： 还可以写成，还可以写成， 你们都是转化为旧知识来解决问题的！ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】第一位同学：利用商不变的性质，将被除数和除数同时乘15，把分数除法转化为整数除法，计算过程正确。 第二位同学：将除数乘它的倒数变成1，依据商不变的性质，被除数和除数同时乘，本质上是“除以一个数等于乘这个数的倒数”，计算过程正确。 第三位同学：先将两个分数通分，再根据“同分母分数相除，分子相除”的规则计算，计算过程正确。 第四位同学：总结了前三位同学的方法，都是将分数除法的新知识转化为整数除法、分数乘法、同分母分数除法的旧知识来解决，说法正确。 【详解】第一位同学： ＝ ＝12÷10 ＝ 第二位同学： ＝ ＝÷1 ＝ 第三位同学： ＝ ＝ ＝ 第四位同学：总结归纳前几位同学的方法。 所以，四位同学的想法都是正确的。 故答案为：D 【点睛】关键点是理解分数除法的多种转化方法，以及“化未知为已知”的数学思想。 五、算理的综合运用 【典例分析】 计算乘法时，可以从计数单位的角度思考，把计数单位与计数单位相乘，计数单位的个数与计数单位的个数相乘。例如：。以下三个乘法算式中，计算方法与它相同的是（    ）。 ① ② ③ A．② B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】根据题意，将两个因数写成计数单位个数和计数单位的乘积，再根据乘法交换律和结合律，将计数单位个数和计数单位先分别相乘，最后两个乘积再相乘即可。逐一分析三个选项即可。 【详解】①120×30中，120和30的计数单位都是10，由此可以表示为 120×30 ＝（12×10）×（3×10） ＝（12×3）×（10×10） ＝36×100 ＝3600 由此可知，①给出的计算方法和例题不一样。 ②0.7×0.9中，0.7和0.9的计数单位都是0.1，由此可以表示为 0.7×0.9 ＝（0.1×7）×（0.1×9） ＝（0.1×0.1）×（7×9） ＝0.01×63 ＝0.63 由此可知，②给出的计算方法和例题一样。 ③40×20中，40和20的计数单位都是10，由此可以表示为 40×20 ＝（10×4）×（10×2） ＝（10×10）×（4×2） ＝100×8 ＝800 由此可知，③给出的计算方法和例题一样。 1．把60张彩色手工纸平均分给3人，每人得到多少张？ (1)探究60÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。60是( )个十，( )个十除以( )是( )个十，就是( )， 所以60÷3＝( )。 方法二：利用表内除法口算。先计算6÷3＝( )，再看60的后面有( )个0，就在商2的后面添上( )个0。即60÷3＝( )。 方法三：想乘法算除法。( )×3＝60，所以60÷3＝( )。 (2)解决问题：________________________。 【答案】(1) 6 6 3 2 20 20 2 1 1 20 20 20 (2)60÷3＝20（张）答：每人得到20张。 【思路引导】用彩色手工纸总张数除以人数，求出平均每人得到彩色手工纸张数，列式为60÷3，根据整十数除以一位数的口算方法解答即可。 【详解】（1）探究60÷3的口算方法。 方法一：利用数的组成口算。60是6个十，6个十除以3是2个十，就是20， 所以60÷3＝20。 方法二：利用表内除法口算。先计算6÷3＝2，再看60的后面有1个0，就在商2的后面添上1个0。即60÷3＝20。 方法三：想乘法算除法。20×3＝60，所以60÷3＝20。 （2）解决问题：60÷3＝20（张） 答：每人得到20张。 【点睛】本题考查整十数除以一位数的口算方法，旨在考查学生的计算能力。 2．整数、小数、分数加减法运算的相同点是：计数单位相同的数才能直接相加减。由此请你判断，下面四个算式中“8”和“4”不能直接相加减的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】要判断“8”和“4”能否直接相加减，需看它们的计数单位是否相同。据此逐项分析解答即可。 【详解】A．在803－429中，“8”在百位，计数单位是百，“4”也在百位，计数单位是百。计数单位相同，能直接相减。 B．在9.54＋0.085中，“4”在百分位，计数单位是0.01，“8”在百分位，计数单位是0.01。计数单位相同，能直接相加。 C．在＋中，两个分数的分母相同，分数单位都是，分子代表分数单位的个数，所以“8”和“4”能直接相加。 D．在－中，两个分数的分母不同，即分数单位不同，的分数单位是，的分数单位是，所以“8”和“4”不能直接相减。 所以“8”和“4”不能直接相加减的是－。 故答案为：D 3．在计算加减法时，相同数位才能相加减。下列式子中，“4”和“5”能直接相加减的是（    ）。 A．463＋158 B．9.41－0.25 C． D． 【答案】C 【思路引导】在加减法中，只有相同数位或相同分数单位的数才能直接相加减，逐一分析各选项中的“4”和“5”是否满足这一条件。 【详解】A．463中的“4”在百位，158中的“5”在十位，数位不同，不能直接相加，此选项错误； B．9.41中的“4”在十分位，0.25中的“5”在百分位，数位不同，不能直接相减，此选项错误； C．两个分数的分母均为9，分数单位相同，分子“4”和“5”可以直接相加，此选项正确； D．两个分数分母不同（7和11），分数单位不同，需通分后才能相减，此选项错误。 故答案为：C 4．计算50＋30＝( )，0.3＋0.5＝( )，－＝( )。观察思考这三个加减计算的计算过程，整数、小数、分数加减法计算的共同点是相同( )的个数相加减。 【答案】 80 0.8 计数单位 【思路引导】计算50＋30时，可以看作5个十加3个十，等于8个十，即80； 计算0.3＋0.5时，可以看作3个0.1加5个0.1，等于8个0.1，即0.8； 计算－时，可以看作5个减3个，等于2个，即； 据此得出这些计算的共同点。 【详解】计算50＋30＝80，0.3＋0.5＝0.8，－＝。观察思考这三个加减计算的计算过程，整数、小数、分数加减法计算的共同点是相同计数单位的个数相加减。 5．计算“0.24＋”。 方法一：用分数加减法计算，和是______个相加；方法二：用小数加减法计算，和是______个0.01相加。 【答案】 13 52 【思路引导】因为要统一为分数且计数单位为，所以先把转化为分母是25的分数，再确认两个分数分别包含多少个，相加得到总个数。 因为要统一为小数且计数单位为0.01，所以先把转化为小数，再确认两个小数分别包含多少个0.01，相加得到总个数。 【详解】，0.24＋ ，即6个加7个是13个； ，0.24＋ ，即24个0.01加28个0.01是24＋28＝52个0.01。 6．下面说法正确的有（    ）个。 ①计算小数加减法和计算整数加减法一样，计数单位相同才可以相加 ②609.70中的“0”都去掉后，小数大小不变 ③125×88＝125×80×8 ④0.496保留两位小数是0.5 ⑤一个三位小数精确到百分位后是7.50，这个三位小数最大是7.504 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据小数的意义、小数的性质、小数加减法计算法则、乘法运算律以及求小数近似数的相关知识。对题干中的五个说法逐一进行验证，统计正确说法的个数，从而确定选项。 【详解】① 计算小数加减法时，要求小数点对齐，实质是相同数位对齐，只有计数单位相同的数才能直接相加减，这与整数加减法的算理一致，此选项正确。 ② 根据小数的性质，只能去掉小数末尾的“0”，小数的大小才不变。 中整数部分的“0”去掉后变成，数值发生改变，此选项错误。 ③进行简便计算时，应将拆分为，利用乘法分配律计算，即，原题写成了连乘，此选项错误。 ④ 保留两位小数即精确到百分位，需看千分位上的数字。千分位是，满向前一位进，百分位写进，十分位，结果应为 ，末尾的起到占位表示精度的作用，不能去掉，此选项错误。 ⑤ 一个三位小数精确到百分位后是，若是“四舍”得到的，千分位最大是，即；若是“五入”得到的，千分位最小是，即。所以这个三位小数最大是，此选项正确。 综上所述，说法正确的有①和⑤，共个。 7．数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。小智发现每个数都是由计数单位和计数单位个数组成，如20是由2个10组成，40是由4个10组成，在计算时，可以这样算： 。由此可以看出：数的运算实质就是计数单位和计数单位个数之间的运算。下面按照这样的方法计算正确的算式有（    ）。 ① ② ③ ④ A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】①，500表示5个100，200表示2个100，算式改写成； ②，30表示3个10，3.7表示37个0.1，算式改写成； ③，1.5表示15个0.1，0.43为43个0.01，算式改写成； ④，表示5个，表示3个，算式改写成； 以上改写后的算式利用乘法交换律、乘法结合律把整数与整数相乘，计数单位与计数单位相乘，即可得解。 【详解】①，原题计算正确。 ②，原题计算正确。 ③，原题计算错误。 ④，原题计算正确。 故答案为：D 8．数学课上，老师带领同学们再认识乘法运算，写出了这样的算式： [下面的（1）、（2）两个小题均可从“计数单位的个数”、“计数单位”中选择填入] （1）仔细观察，算式中的1、10、100、0.1和0.01都是（    ），2、3和6都是（    ）。 （2）由此，我们猜想：整数和小数的乘法，都可以采用因数的（    ）相乘得到积的计数单位，（    ）相乘得到积的计数单位的个数的方法进行计算。 （3）这个猜想对分数乘法适用吗？请举一例照样子算一算。 【答案】 （1）计数单位；计数单位的个数 （2）计数单位；计数单位的个数 （3）适用，举例见详解 【思路引导】通过观察算式，分析数字在乘法中的角色：1、10、100、0.1、0.01等表示计数单位（如10是十位单位，0.1是十分之一单位），而2、3、6等表示计数单位的个数（如20中的2表示2个十）。基于此，总结整数和小数乘法的计算规律：将因数拆分为计数单位的个数和计数单位，分别相乘得到积的计数单位的个数和计数单位。对于分数乘法，同样适用此规律，因分数也可视为计数单位（如）和计数单位的个数（如1）的组合。 【详解】（1）观察算式中的数字：1、10、100、0.1、0.01都是计数单位（如10表示十位单位，0.1表示十分之一单位），而2、3、6都是计数单位的个数（如20中的2表示2个十）。因此，第一空填“计数单位”，第二空填“计数单位的个数”。 （2）根据算式计算过程，因数被拆分为计数单位的个数和计数单位，例如，其中计数单位（10和10）相乘得到积的计数单位（100），计数单位的个数（2和3）相乘得到积的计数单位的个数（6）。因此，猜想为：整数和小数的乘法，均可采用因数的计数单位相乘得到积的计数单位，计数单位的个数相乘得到积的计数单位的个数。第一空填“计数单位”，第二空填“计数单位的个数”。 （3）该猜想对分数乘法同样适用。举例：计算。将看作1个计数单位，看作1个计数单位，则。其中，计数单位（和）相乘得到积的计数单位（），计数单位的个数（1和1）相乘得到积的计数单位的个数（1），符合猜想。 9．淘气在学习过程中通过对比发现数的运算算理其实是相通的。他写出了四道算式：              上面的算式中的“4”和“1”不可以直接相加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，1表示1个( )。从这些算式中，我们发现，整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同的( )才可以相加减。 【答案】 一 计数单位 【思路引导】一个数中每个数字所占据的位置叫数位，每个数位对应一个计数单位，一个数字在数的什么位置，就有多少个这样的计数单位，计算加减法时相同计数单位才能相加减，分数的计数单位，分母是几就是几分之一，分子是几，就有几个这样的计数单位。 【详解】264＋291：4和1都在个位，计数单位都是一，可以直接相加； 8.43−2.13：4和1都在十分位，计数单位都是0.1，可以直接相减； ​：4代表4个一，​里的1代表1个，计数单位不同，因此不能直接相加减； ​：两个分数的计数单位都是，可以直接相加。 所以“4”和“1”不可以直接相加减的是，算式中的4表示4个一，1表示1个，相同的计数单位才能相加减。 10．数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的道理。明月小组写出了这样一组算式，发现了整数乘法和小数乘法计算道理之间的联系。 （1）明月小组会怎样表达分数乘法计算的道理呢？请以为例，写一写。 （2）观察上面几组算式，想一想整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间有什么相同之处？写一写你的想法。 【答案】（1）× ＝（×3）×（×2） ＝（×）×（3×2） ＝×6 ＝ （2）计算都是计算单位的累加 【思路引导】（1）在分数中，分母是几，它的分数单位就是几分之一，分子决定它有几个分数单位；根据分数乘法的计算方法，分母相乘决定了新的分数单位，分子相乘决定了有几个新的分数单位，据此解答。 （2）根据整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，总结它们之间的相同之处（想法不唯一）。 【详解】（1）× ＝（×3）×（×2） ＝（×）×（3×2） ＝×6 ＝ （2）整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算道理之间的相同之处是：计算都是计算单位的累加。 34．【阅读理解】 分子为1的分数叫做单位分数，任意一个分数都可以拆分成几个不同的单位分数之和的形式，如下图：       【基础探究】 请你仿照上面的方法，将和拆分成两个不同的单位分数之和。 （1） （2） 【进阶探究】 请你试着把拆分成3个单位分数之和。 【综合应用】 请你用拆分的思路计算下面的题目。 【答案】 （1） （2） （3） （4） 【思路引导】将分数的分子拆分成若干个分母的因数之和，然后利用分数的加法法则逆运算，将原分数拆分成几个单位分数之和。若分子无法直接拆分，可先利用分数基本性质扩分，再拆分。 【详解】（1）； （2）； 【进阶探究】； 【综合应用】 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $