6.2.2 空间向量的坐标表示（题型专练，9基础&3提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

6.2.2 空间向量的坐标表示 题型一 空间向量的坐标表示 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可； （2）利用投影向量公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，， 故． （2）由（1）可知， 所以，． 所以在上的投影向量的坐标为． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 3．（25-26高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 【答案】(1)，，，， (2)，， 【分析】（1）以点为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，进而标点； （2）求点的坐标，结合空间向量的坐标表示求相关向量. 【详解】（1）由题意知，以点为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，， （2）由（1）可知，, 向量，，. 4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：    (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. 【答案】(1)，，. (2) ， 【分析】（1）先明确有关点的坐标，再利用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标. （2）利用空间向量坐标的线性运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，，，. 所以， ， . （2） ， . 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，为的中点，建立适当的坐标系． (1)写出，，，的坐标； (2)写出向量，的坐标． 【答案】(1)坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为 (2)，． 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求解点的坐标即可； （2）由向量的坐标表示计算求解即可. 【详解】（1） 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 点在轴上，它的坐标、坐标均为0，而为的中点，故其坐标为． 由作，，垂足分别为，， 由平面几何知识知，， 故点坐标为．点在轴上，其轴、轴坐标均为0， 又，故点坐标为． 由作于，由于为的中点， 故，，所以， 故点坐标为． （2），． 题型二 求空间直角坐标系中对称点的坐标 1．（25-26高二上·安徽亳州·期中）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影求出点坐标，再求坐标即可. 【详解】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·四川成都·月考）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点的坐标，再求出向量的坐标. 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D 3．（25-26高二上·上海普陀·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则 . 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系中对称点的特征，求得两点坐标，进而求得的坐标. 【详解】由题可知， . 故答案是：. 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 【答案】 【分析】根据点关于平面及关于轴对称点的特征可得的坐标，从而可求  . 【详解】因为关于平面对称，故， 因为为关于轴对称，故， 故， 故答案为：. 5．（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，利用向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 题型三 空间向量坐标的线性运算 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求. 【详解】由，则，所以. 故选：D 2．（25-26高二上·北京·月考）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 3．（25-26高三上·山东济宁·期末）在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后根据已知条件列出各个点的坐标，然后求出的坐标，然后根据四点共面列出方程组，进而求出结果. 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，因为为的中点，，， 所以. 所以. 因为，，，四点共面，所以， 得到，解得. 故选：A.    4．（24-25高二上·安徽合肥·月考）若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 5．（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标. 【详解】中点，则. 故选：B. 题型四 空间向量数量积的坐标运算 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 2．（25-26高二上·广东·月考）已知圆锥的顶点为，为底面直径，为中点，为底面圆周上一点，，圆锥的体积为，且，则 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出圆锥的底面半径和高，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】如图，取的中点，的中点，以为原点，所在的射线分别为轴建立空间直角坐标系. 设圆锥的底面半径为，高为. 则，，，. 所以，， 由 . 又圆锥的体积为，所以 . 所以，所以，， 所以 . 故答案为： 3．（25-26高二上·新疆·月考）如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则 . 【答案】2 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得点的坐标满足的关系，由空间向量的数量积的坐标表示求得. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则， 设，则，， 因为，，所以，则， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·河北保定·期中）若向量，，，则的值为 【答案】5 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，以及空间向量数量积的坐标表示，求出结果. 【详解】因为，，所以， 因为，所以. 故答案为：5. 5．（21-22高二上·浙江温州·期中）已知向量，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模计算，再计算数量积得到答案. 【详解】，，解得，故， . 故答案为： 题型五 空间向量坐标运算求投影向量 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 2．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量公式：向量在向量上的投影向量求解. 【详解】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 3．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知，则在上的投影向量坐标为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积模的坐标表示及投影向量的定义求解即可. 【详解】由， 则， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·吉林·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 .（用坐标表示） 【答案】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·辽宁·月考）已知，，，则在上投影的数量为 . 【答案】 【分析】先求出和的坐标，再利用投影定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 故,且， , 则在上投影的数量为， 故答案为：. 题型六 空间向量坐标运算求模长 1．（25-26高二上·天津·月考）设，向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量垂直和共线的坐标表示，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 所以，则. 故答案为：. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 3．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先求的坐标，再求向量模即可求解. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：B. 4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标表示及运算结合三角形面积公式计算即可. 【详解】易知, 所以，则， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：C 5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，正四棱台中，，，，M是的中点，Q是BC的中点，在直线上取一点P，使得，则线段PQ的长度为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，令，利用，得即可求出，再求线段PQ的长度即可. 【详解】如图，连接AC，BD交于点O，连接，交于点，连接． 由正四棱台的结构特征，易知AC，BD，两两垂直， 故以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为在正四棱台中，，，， 所以，，， 则，，，， ，． 因为M是的中点，所以．令， 则． ， 要使，则， 则， 解得，所以， 所以， 所以． 故选：C. 题型七 空间向量坐标运算求夹角 1．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    2．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 3．（25-26高二上·四川成都·月考）已知空间中三点，，，设，. (1)求的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以 （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得． 所以的值是5． 4．（25-26高二上·天津·月考）已知向量，，且，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标运算及向量的夹角公式即可求解. 【详解】，解得，即. 设向量与的夹角为，则，则. 故答案为：. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是 . 【答案】 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则 ； 由 . 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 题型八 空间向量坐标运算求两点间的距离 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知确定边上的中点坐标，应用空间两点距离公式求中线长，再由向量夹角的坐标运算求得，再由三角形面积公式及平行四边形的性质求面积. 【详解】由题设，边上的中点坐标是， 所以边上的中线长， 由题意得，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：， 2．（2025·云南·模拟预测）在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据坐标求三角形的边长和夹角的余弦值和正弦值，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题可知，且， ，故的面积为. 故选：A. 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而计算可求得的最小值. 【详解】由，可得，即， 又因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先求得，再计算模的大小，找到最大角，利用向量的数量积判断角的类型，从而确定的形状. 【详解】因为，， 则, 又， ， ， 所以角最大， 又, 所以, 故为锐角，则为锐角三角形， 故选： 5．（25-26高二上·福建南平·期中）在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定对称点的坐标，由两点间距离公式即可求解. 【详解】关于轴的对称点为， 关于平面的对称点为， 则. 故选：B 题型九 空间向量坐标运算与平行垂直 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·山东济南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示，和空间向量数量积的坐标表示，结合公式求出结果即可. （2）根据空间向量垂直的性质，和空间向量数量积的坐标表示，列出方程，求出结果即可. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. 3．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 4．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 5．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线有，结合向量模的坐标公式可求； （2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值； 【详解】（1）根据点，，则， 因为，所以，即，可知， 因为，所以，解得， 所以或 （2）根据点，，， 则，， ， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 题型一 空间向量坐标的线性运算求参数 1．（25-26高三上·上海·期中）设是空间中平面内一个边长为2的等边三角形，P是空间中一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】如图建立空间直角坐标系，然后由数量积坐标表示结合代数知识可得答案. 【详解】如图，以中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，设， 则， 从而， 当时取等号. 故答案为：. 2．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 3．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】 是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 5．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 题型二 空间向量的数量积坐标运算求范围 1．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，，为中点，若点在底面内（含边界）运动，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】首先求出点的轨迹，然后根据定义把表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求解. 【详解】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，      则，， 因为为中点，所以， 设， 因为，所以，所以， 设， 所以， 又 所以， 所以当时，取最大值为. 故答案为： 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可. 【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则，， 所以 ． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为． 故答案为： 3．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算将用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可． 【详解】三棱锥中，两两垂直，且．若为该三棱锥外接球上的一动点， 如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系， 得到， 设三棱锥外接球的半径即正方体外接球半径为，则， 故， 故， 由向量模长公式得， 而 ， 设， 由数量积的定义得， 所以，由余弦函数性质得当时， 取得最小值． 故答案为：． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据数量积的坐标运算结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 由于，，设P点纵坐标为m， 则， 则 ， 由于，当时，取最小值， 当时，取最大值3， 即的取值范围为， 故答案为： 5．（2024·广东·模拟预测）设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：可初步确定点所在的平面，作，在这个面的射影，，利用 把空间向量问题转化为平面向量问题，结合向量数量积的性质和基本不等式求最小值. 法二：建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解. 【详解】法一：如图：    不防设点在正方体的下底面内，，在正方体的表面的任何位置，它们在下底面的射影分别为，. 则，.所以，，. 所以 （当与方向相反时取“”）. 又（当且仅当 时取“”）. 分析两个“”成立的条件，可知为中点时，有最小值. 此时（当为下底面的面对角线时取“”）. 所以， （当位于下底面中心，，在下底面的射影是下底面的面对角线端点时取“”）. 法二：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线．    设，，， 和分别是点，在平面上的投影． 可得，，， 则 ， 因为， 当且仅当点C为的中点时，等号成立， 可得， 所以，当，，且时等号成立． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，把空间向量的数量积转化成平面向量的数量积，“降维”是解决该题的关键思想. 题型三 空间向量坐标运算证明几何垂直与平行 1．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． (1)求证：； (2)为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)证明见解析， 【分析】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示可证得结论成立； （2）设，其中，求出点的坐标，根据面得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值，即可得出结论； （3）由为的重心结合已知条件得出，再利用空间向量共面的基本定理得出，结合空间向量的基本定理可证得结论成立. 【详解】（1）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，， ，，即. （2）设，其中，，则，，， 若面，则，解得，， 故存在点，当时，面. （3）因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以, 又因为，且、、不共面， 由空间向量的基本定理可得， 因此，为定值. 2．（2025·广东佛山·一模）如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． (1)若分别是的中点，求证：平面； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的垂直表示可求的坐标，从而可求. 【详解】（1） 如图，连接，则彼此平分，而为的中点， 故为的中点，而为的中点，故， 而平面，平面，故平面. （2） 由直三棱柱的体积为可得， 而，故，而为三角形内角，故， 故即，结合直三棱柱可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，而， 由，可得，解得. 故，故 3．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出的长； （2）求出利用向量的夹角公式，即可求解； （3）根据向量数量积的坐标运算证明，即可证明． 【详解】（1）以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得, 故． （2）依题意得, 故,则 （3）,, 由于, 故，即． 4．（24-25高二上·河南洛阳·月考）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）连接，，，先可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证； （2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接，，， 因为，，，分别为棱，，，的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，所以，，，四点共面. （2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别为棱，，，的中点， 可得，，，， 则，， 设，即，则， 由平面，故， 即，解得， 所以. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点E，F分别在线段，上，且，，以点D为坐标原点，直线，，分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．    (1)试求向量的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，，，，，先用标准正交基表示向量，再结合、和向量垂直的表示得、，进而用代数式表示和计算即可得解. （2）先用正交基表示向量、，利用向量共线和与无公共点即可证明. 【详解】（1）正方体的棱长为1， 根据题意知为标准正交基， 设，，，则向量可用标准正交基表示， 由题，与共线，与共线， 设，， 则 ， 因为，，即，， 所以，， 又，， 所以，整理得， 即，解得， 所以，故的坐标是． （2）因为， 又由（1）知， 所以，故与平行， 又与无公共点，. 1．【多选题】（2026·河南开封·一模）已知正方体的棱长为1，定义，，若，则的值可以是（   ） A． B． C． D．3 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，可得到坐标的集合，根据题意可得的坐标，取值验证ABD，分析C不成立即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 所以的坐标集合为， ， ， 又由，，， 所以，不妨取，则，，故A 正确； 不妨取，则，，故B正确； 由于，所以，但是观察集合B，的横、纵、竖坐标中不可能有，故C错误. 不妨取，则，，故D正确. 故选：ABD 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为 . 【答案】10 【分析】建立空间坐标系，表示出，，根据题意得出，利用三角换元，结合辅助角公式可得答案． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，即，结合题意可知，点在矩形内以点为圆心，半径为1的圆弧上，且满足，． ，化简得：． 设，，则，，即，，故 ，， 故，当时，有最大值． 故答案为：10 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点的轨迹即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，， 所以，， 由，得，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 4．（25-26高二上·吉林长春·月考）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，为的中点， 取中点，连接，如图， 以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，所以， 于是令，. 所以，. 又因为函数在上为增函数， 所以当时， 即线段长度的最小值为 当时，， 即线段长度的最大值为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为： 5．（25-26高二上·河北衡水·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设， 由得到，由到轴的距离为，又，得到在平面的投影为圆心，半径为的圆面，此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径，从而得到到轴的距离的最大值. 【详解】设，，， ，， ， ， ， ， 表示以为球心，半径为的球， 到轴的距离为， ， 在平面的投影为圆心，半径为的圆面， 此圆面中的点到原点的最大距离为圆心到原点距离加上半径， 圆面中的点到原点的最大距离为， 到轴的距离的最大值为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出点的轨迹方程，再利用向量坐标运算求出的表达式，最后结合点的轨迹求出其取值范围. 【详解】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体的棱长为4，则， 设，可得，. 因为，所以， 化简得：. 由，， 得，得到， 又由，解得， 则， 得到. 故答案为： 7．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由动点满足，得到点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，通过建系，确定点的坐标为，通过点到各个面的距离，确定球与与各平面的公共部分，进而可求解. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是一个以点为球心，为半径的球，球面上的点满足， 如图1，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系； 则， 所以，所以点的坐标为， 显然点到平面､平面､平面的距离均为； 所以球与平面､平面､平面有公共部分，且与各平面的公共部分面积相同， 点到平面､平面､平面的距离均为； 所以球与平面､平面､平面没有公共部分. 设球面被平面所截得的圆半径为，则，解得. 所以球面被正方体表面所截得的截面是圆心为，半径为的圆的一部分（如图2中阴影部分）， 所以阴影部分的面积为：， 故所求截面的面积， 故选：B. 8．（25-26高二上·广东揭阳·期中）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及、两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、、、，所以， 设，则， 因为，则， 当时，，当时，， 取、、、， 连接、、、， 则，， 因为，故，所以四边形为矩形， 所以，，即，， 又和为平面中的两条相交直线，所以平面， 又，， 所以为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，，所以，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 9．（25-26高二上·山东·期中）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用两点间距离公式列方程求出球半径范围. 【详解】在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，四面体的外接球球心，半径， 由，得， 因此， 整理得，则， ，解得， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为： 10．（25-26高二上·上海·期中）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： (1)若，： ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； (2)化简：； (3)记的面积为，证明：. 【答案】(1)①，②； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）①利用数量积的定义求结论；②由向量叉乘的定义直接求解即可； （2）设，根据叉乘的运算表示和即可证明； （3）首先表示向量，夹角的正弦值，然后得到，要证，只需证，然后结合叉乘运算证明即可； 【详解】（1）①因为， 所以， 所以 ②因为， 所以. （2）设， 则 ， 将与交换，与交换，与交换，可得， 故. （3）因为， 故， 要证，只需证， 需证. 设， ， 可得， 又因为，，， 所以 所以， 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2 空间向量的坐标表示 题型一 空间向量的坐标表示 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 3．（25-26高二上·福建泉州·月考）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求：    (1)点，，，，的坐标 (2)向量，，的坐标． 4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：    (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，为的中点，建立适当的坐标系． (1)写出，，，的坐标； (2)写出向量，的坐标． 题型二 求空间直角坐标系中对称点的坐标 1．（25-26高二上·安徽亳州·期中）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·月考）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海普陀·期中）在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则 . 4．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 5．（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，已知点，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则（   ） A． B． C． D． 题型三 空间向量坐标的线性运算 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·月考）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（25-26高三上·山东济宁·期末）在正方体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽合肥·月考）若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 题型四 空间向量数量积的坐标运算 1．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 2．（25-26高二上·广东·月考）已知圆锥的顶点为，为底面直径，为中点，为底面圆周上一点，，圆锥的体积为，且，则 . 3．（25-26高二上·新疆·月考）如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则 . 4．（25-26高二上·河北保定·期中）若向量，，，则的值为 5．（21-22高二上·浙江温州·期中）已知向量，，，则 ． 题型五 空间向量坐标运算求投影向量 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知，则在上的投影向量坐标为 . 4．（24-25高二上·吉林·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 .（用坐标表示） 5．（25-26高二上·辽宁·月考）已知，，，则在上投影的数量为 . 题型六 空间向量坐标运算求模长 1．（25-26高二上·天津·月考）设，向量，且，则 . 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 3．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，正四棱台中，，，，M是的中点，Q是BC的中点，在直线上取一点P，使得，则线段PQ的长度为（    ） A．3 B． C． D．4 题型七 空间向量坐标运算求夹角 1．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二上·四川绵阳·月考）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川成都·月考）已知空间中三点，，，设，. (1)求的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 4．（25-26高二上·天津·月考）已知向量，，且，则向量与的夹角为 . 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是 . 题型八 空间向量坐标运算求两点间的距离 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点，，，则在中边上的中线长为 ，以为邻边的平行四边形的面积为 ． 2．（2025·云南·模拟预测）在空间直角坐标系中，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3 3．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（25-26高二上·福建南平·期中）在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则（   ） A． B． C． D． 题型九 空间向量坐标运算与平行垂直 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济南·月考）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值. 3．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 4．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 5．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点，，，设，. (1)若，且，求向量； (2)已知向量与垂直，求实数的值. 题型一 空间向量坐标的线性运算求参数 1．（25-26高三上·上海·期中）设是空间中平面内一个边长为2的等边三角形，P是空间中一点，则的最小值为 . 2．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 3．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 4．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 5．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 题型二 空间向量的数量积坐标运算求范围 1．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，，为中点，若点在底面内（含边界）运动，且，则的最大值是 . 2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为 ． 3．（2025·四川成都·三模）在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为 . 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 5．（2024·广东·模拟预测）设A，B，C三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 题型三 空间向量坐标运算证明几何垂直与平行 1．（24-25高二上·广东广州·开学考试）如图，直三棱柱，底面中，，.，是的中点． (1)求证：； (2)为上动点（含端点），则是否存在使得面，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证为定值，并求该定值． 2．（2025·广东佛山·一模）如图，直三棱柱的体积为，侧面是边长为1的正方形，，点分别在棱上． (1)若分别是的中点，求证：平面； (2)若，，求． 3．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 4．（24-25高二上·河南洛阳·月考）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)若点在棱，且平面，求的长度. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点E，F分别在线段，上，且，，以点D为坐标原点，直线，，分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．    (1)试求向量的坐标； (2)求证：． 1．【多选题】（2026·河南开封·一模）已知正方体的棱长为1，定义，，若，则的值可以是（   ） A． B． C． D．3 2．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为 . 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林长春·月考）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的取值范围为 ． 5．（25-26高二上·河北衡水·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点P满足，则点P到x轴距离的最大值为（   ） A． B．4 C． D． 6．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是 . 7．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知正方体，棱长为6，且，若动点满足，则动点的轨迹被正方体表面所截得的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东揭阳·期中）在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·山东·期中）如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为 . 10．（25-26高二上·上海·期中）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示： ； 若，则称为空间向量与的叉乘，其中（），（），为单位正交基底：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系：已知，是空间直角坐标系中异于的两点： (1)若，： ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； (2)化简：； (3)记的面积为，证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $