3.3 幂函数 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习围绕幂函数核心概念，通过基础认知、性质综合、应用探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识内化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|幂函数定义、图像识别|结合高考真题情境（如柳州开学考），强化概念辨析，发展抽象能力与几何直观| |性质综合层|单调性与奇偶性综合、图像与系数关系|通过图像比较（如C1与C2曲线）、多选型判断，培养推理能力与运算能力| |应用探究层|实际问题解决、存在性探究|设置保值区间、参数存在性问题（如第15、16题），发展创新意识与模型观念|

3.3 幂函数 1. (2025·高一下·柳州开学考) 下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是(　 　) A.  B.  C.  D.  2. (2024·吉林四平高一期中) 已知幂函数f(x)的图象经过点(－3，－27)，则f的值为(　 　) A. B. C. D. 3. 如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论中，正确的是(　 　) A. n＜m＜0 B. m＜n＜0 C. n＞m＞0 D. m＞n＞0 4.  (2025高一上·福田月考) 已知是常数，幂函数在上单调递减，则 (　 　) A.  B.  C.  D.  5. 在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　 　) A. B. C. D. 6. 已知函数f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列选项中，正确的是(　 　) A. f(a)＜f(b)＜f＜f B. f＜f＜f(b)＜f(a) C. f(a)＜f(b)＜f＜f D. f＜f(a)＜f＜f(b) 7. (2024·吉林一中高一月考) 已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(　 　) A. (－∞，－5)∪(1，＋∞) B. (－∞，－1)∪(5，＋∞) C. (－1，5) D. (－5，1) 8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　) A. 幂函数的图象不可能在第四象限内 B. 当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线 C. 当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数 D. 当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小 9. (多选)(2024·青岛高一期中) 下列关于幂函数f(x)＝xa的说法，错误的有(　 　) A. 当a＝－1时，函数f(x)在其定义域上为减函数 B. 当a＝0时，函数f(x)不是幂函数 C. 当a＝2时，函数f(x)是偶函数 D. 当a＝3时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点 10. 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则x0＝　 　.  11. (2024·湛江高一期中) 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α＝　 　.  12. 郭老师在黑板上写出了一个函数f(x)，请三名同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③在(0，＋∞)上单调递减.郭老师说其中有一名同学的结论是错误的，另两名同学的结论是正确的.请你写出一个这样的函数：f(x)＝　 　.  13. 比较下列各组数的大小： (1)5.3－5和5.4－5；(2)－8－3和－； (3)和. 14. 已知幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的. (1)求实数k的值； (2)若存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，求实数a，b的值. 15. (2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中) 设函数φ(x)的定义域为D，如果存在区间[a，b]∈D，使得φ(x)在[a，b]上的取值范围是[a，b]且单调，则称[a，b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增. (1)函数f(x)的解析式为f(x)＝ 　；  (2)若函数φ(x)＝2f(x＋1)－k存在保值区间，则实数k的取值范围是　 　.  16. 已知幂函数f(x)＝(k∈N*)满足f(2)＜f(3). (1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式； (2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 1. (2025·高一下·柳州开学考) 下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是(　D 　) A.  B.  C.  D.  【解析】由题意可知：幂函数为奇函数， A、为非奇函数，故A不符合； B、为偶函数，故B不符合； C、为奇函数，但是，故C不符合； D、为奇函数，且经过两点，故D符合.. 2. (2024·吉林四平高一期中) 已知幂函数f(x)的图象经过点(－3，－27)，则f的值为(　C　) A. B. C. D. 【解析】设幂函数f(x)＝xα，则(－3)α＝－27，解得α＝3，∴f(x)＝x3，故f，C正确. 3. 如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论中，正确的是(　A　) A. n＜m＜0 B. m＜n＜0 C. n＞m＞0 D. m＞n＞0 【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0. 4.  (2025高一上·福田月考) 已知是常数，幂函数在上单调递减，则 (　 A 　) A.  B.  C.  D.  【解析】因为函数是幂函数，所以，解得， 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，符合题意， 所以. 5. 在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　C　) A. B. C. D. 【解析】对于A，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；对于B，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；对于D，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误. 6. 已知函数f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列选项中，正确的是(　C　) A. f(a)＜f(b)＜f＜f B. f＜f＜f(b)＜f(a) C. f(a)＜f(b)＜f＜f D. f＜f(a)＜f＜f(b) 【解析】∵函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，且0＜a＜b＜1＜， ∴f(a)＜f(b)＜f＜ f. 7. (2024·吉林一中高一月考) 已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(　B　) A. (－∞，－5)∪(1，＋∞) B. (－∞，－1)∪(5，＋∞) C. (－1，5) D. (－5，1) 【解析】∵函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)为幂函数，∴a2－2a－2＝1，解得 a＝3，或a＝－1，又幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝3，此时f(x)＝x3在R上是增函数.∵f(x＋5)＜f(x2－3x)，∴x＋5＜x2－3x，解得x＞5，或x＜－1，∴不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，B正确. 8. (多选)下列结论中，正确的有(　AD　) A. 幂函数的图象不可能在第四象限内 B. 当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线 C. 当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数 D. 当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小 【解析】当幂函数图象上的点横坐标为正数时，其纵坐标始终不为负数，故幂函数的图象不可能在第四象限内，A正确；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，B错误；y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0， ＋∞)上单调递增，C错误；幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x增大而减小，D正确. 9. (多选)(2024·青岛高一期中) 下列关于幂函数f(x)＝xa的说法，错误的有(　AB　) A. 当a＝－1时，函数f(x)在其定义域上为减函数 B. 当a＝0时，函数f(x)不是幂函数 C. 当a＝2时，函数f(x)是偶函数 D. 当a＝3时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点 【解析】对于A，当a＝－1时，f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在整个定义域上不单调，A错误；对于B，当a＝0时，f(x)＝x0也是幂函数，B错误；对于C，当a＝2时，f(x)＝x2，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；对于D，当a＝3时，f(x)＝x3单调递增， 且f(0)＝0，∴函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点，D正确. 10. 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则x0＝　－2　.  【解析】幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，则2α＝8，解得α＝3.若f(x0)＝－8，则＝－8，解得x0＝－2. 11. (2024·湛江高一期中) 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α＝　3　.  【解析】由题意得α2－α＋＝1，解得α＝，或α＝3.当α＝时，f(x)＝的图象不经过第三象限，不符合题意；当α＝3时，f(x)＝x3的图象经过第三象限，符合题意，故α＝3. 12. 郭老师在黑板上写出了一个函数f(x)，请三名同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③在(0，＋∞)上单调递减.郭老师说其中有一名同学的结论是错误的，另两名同学的结论是正确的.请你写出一个这样的函数：f(x)＝　x－2(答案不唯一)　.  【解析】由题意可得f(x)＝x－2满足②③，不满足①，符合题意. 13. 比较下列各组数的大小： (1)5.3－5和5.4－5；(2)－8－3和－； (3)和. 解：(1)函数y＝x－5在(0，＋∞)上单调递减，∵5.3＜5.4，∴5.3－5＞5.4－5. (2)－8－3＝－，函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，∵，∴，∴－8－3＜－. (3)，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减， ∵，∴，即. 14. 已知幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的. (1)求实数k的值； (2)若存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，求实数a，b的值. 解：(1)∵f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)为幂函数，∴k2－k－1＝1，解得k＝－1，或 k＝2，又f(x)在区间(0，＋∞)内的函数图象是上升的，∴k＞0，∴k＝2. (2)∵存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，且f(x)＝x2，∴即∵a＜b，∴a＝0，b＝1. 15. (2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中) 设函数φ(x)的定义域为D，如果存在区间[a，b]∈D，使得φ(x)在[a，b]上的取值范围是[a，b]且单调，则称[a，b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增. (1)函数f(x)的解析式为f(x)＝ 　；  (2)若函数φ(x)＝2f(x＋1)－k存在保值区间，则实数k的取值范围是　[1，2)　.  【解析】(1)∵幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增， ∴解得p＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝. (2)函数φ(x)＝2－k在[－1，＋∞)上是增函数，若存在保值区间[a，b](a≥－1)，则即φ(x)＝x，也就是方程2－k＝x在[－1，＋∞)上有两个不等的实根，令＝t≥0，则x＝t2－1，∴t2－2t－1＋k＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根，令g(t)＝t2－2t－1＋k，则即解得1≤k＜2，故实数k的取值范围是[1，2). 16. 已知幂函数f(x)＝(k∈N*)满足f(2)＜f(3). (1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式； (2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)对于幂函数f(x)＝(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)，因此2－k＞0，解得 k＜2.∵k∈N*，∴k＝1，f(x)＝x. (2)由(1)知，g(x)＝1＋(m－1)x，当m＞1时，函数g(x)为增函数，故最大值为g(1)＝m＝5.当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，故最大值为g(0)＝1≠5，不成立.当m＝1时，g(x)＝1，不合题意.综上，m＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $