3.4函数的应用（一） 课时练习 -2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数应用，分层设计清晰，从基础概念到实际建模梯度递进，强化运算能力与模型意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|分段函数求值、基本概念|单选题1-5直接考查函数值计算，填空题12-13强化分段函数基础运算，培养抽象能力| |能力提升|函数性质综合应用|单选题6-10结合单调性、奇偶性，填空题14-15涉及参数范围推理，提升推理能力| |综合应用|实际问题建模|解答题17-19以水费、利润问题为情境，构建函数模型解决问题，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

3.4函数的应用（一） 课时练习 一、单选题 1.已知   ，那么 等于（   ） A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5 2.设 (   ) A.                                        B.                                        C.                                        D.  3.设函数f（x） ，若f（x）＞f（0），则x的取值范围是（  ） A.                         B.                         C.                         D.  4.已知  则的值等于(　　)． A. －2 B. 4 C. 2 D. －4 5.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]=3，[3.7]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（  ） A. 3.71                                     B. 3.97                                     C. 4.24                                     D. 4.77 6.已知函数 ，其中a，b是常数，若对∀x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），则a+b=（　　） A. ﹣6                                     B.                                      C. ﹣1                                     D.  7.设 ，若f( )＝f( ＋1)，则 ＝(   ) A. 8                                           B. 6                                           C. 4                                           D. 2 8.已知函数若， 则实数a的取值范围是（  ） A.                                    B.                                    C.                                    D.  9.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（  ） A. 2800元                              B. 3000元                              C. 3800元                              D. 3818元 10.已知函数 为 上的减函数，则实数 的取值范围是（   ） A.                          B.                          C.                          D.  11.已知函数f（x）=x（1+|x|），设关于x的不等式f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，若 ，则实数a的取值范围为（   ） A. （﹣2，2）            B.             C.             D.  二、填空题 12.已知 则 ________. 13.已知函数 ，如果 ，那么实数 的值为________. 14.设函数 若f(x0)>1，则x0的取值范围是________. 15.函数 ， 在定义域上是单调函数，则 的取值范围为________. 三、解答题 16.已知函数 （1）写出 的单调区间； （2）若 ，求相应 的值． 17.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨． （1）求y关于x的函数； （2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费． 18.已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|． （1）当a=0时，写出函数y=f（x）的单调递增区间； （2）当a=1时，讨论函数y=f（x）的奇偶性； （3）设a≠0，函数y=f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）． 19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）= ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 答案解析部分 一、单选题 1.答案： A 解：由分段函数第二段解析式可知， ，继而 , 由分段函数第一段解析式 ，， 故答案为：A. 【分析】由已知分段函数的解析式，分别代入即可求值. 2.答案：B 解： . . 故答案为：B. 【分析】首先将代入到分段函数相应的函数中求出,然后将代入到相应的函数中求出函数值即可。 3.答案： D 解：f（0）＝2 ∴x＜ 2时，由 ＞2得：x＜ ； x≥ 2时，由 得：x＞0． ∴x的取值范围是（ ∞， ）∪（0，+∞）． 故答案为：D． 【分析】f（x）是分段函数，先求出f（0），然后在每段函数里求x的取值范围，从而求出x的取值范围． 4.答案：B 解：， ， . 5.答案： C 解：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.5]=6． 所以f（5.5）=1.06×（0.50×[5.5]+1）=1.06×4=4.24． 故选：C． 【分析】先利用[m]是大于或等于m的最小整数求出[5.5]=6，再直接代入f（m）=1.06（0.50×[m]+1）即可求出结论． 6.答案：D 解：若对∀x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x）， 可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称， 当x≤1时，f（x）=2x+a，由对称性可得， 当x＞1时，可得f（x）=f（2﹣x）=2（2﹣x）+a=4+a﹣2x， 由x＞1时，可得f（x）=bx﹣2a， 即有b=﹣2，4+a=﹣2a，解得a=﹣ ，则a+b=﹣ ． 故答案为：D． 【分析】由f（1﹣x）=f（1+x）得到函数f（x）的图象关于直线x=1对称，再讨论x≤1时，x＞1时得到a，b的值。 7.答案： C 解：由题意，当 时， ，若 ，可得 ， 解得 ，则 ； 当 时， ，若 ，可得 ，显然无解， 综上可得 ， 故答案为：C. 【分析】首先对a进行分情况讨论，当a ∈ ( 0 , 1 ) 时，根据分段函数解得a的值，进一步求出；当a≥1时，根据分段函数求出a，再求出。 8.答案： D 解：根据题意，由于函数是定义域上的减函数，且为奇函数，那么可知若， 故可知得到参数a的范围是， 故选D. 【分析】主要是考查了分段函数的解析式的运用，属于基础题。 9.答案： C 解：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得 y= ． 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间， ∴（x﹣800）×14%=420，∴x=3800． 故选C． 【分析】根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税420元，求出这个人应得稿费（扣税前）． 10.答案：D 解：若函数 在R上为减函数，则 ， 即 ，解得 ， 故答案为：D. 【分析】利用分段函数为 R 上的减函数，列出不等式组，即可解出实数 a 的取值范围. 11.答案：B 解：根据题意，f（x）=x（1+|x|）= ， 分析可得：函数f（x）为增函数， 若f（x2+1）＞f（ax）的解集为A，则不等式x2+1＞ax的解集为A， 又由 ， 则有 ，解可得﹣ ＜a＜ ， 即a的取值范围是（﹣ ， ）； 故选：B． 【分析】根据题意，将函数f（x）写成分段函数的形式为f（x）= ，进而分析可得函数f（x）为增函数，则可以将f（x2+1）＞f（ax）转化为x2+1＞ax，即不等式x2+1＞ax的解集为A，结合题意可得 ，解可得a的取值范围，即可得答案． 二、填空题 12.答案： 10 解：由题意得 ， ∴ . 故答案为：10． 【分析】由已知分段函数解析式，分别代入计算即可得结果. 13.答案： 解： 所以要是 ，则 ，， 故答案为： 【分析】根据解析式要使 则 代入解析式中即可求 的值。 14.答案： (－∞，－2)∪(1，＋∞) 解：当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2， ∴x0<－2； 当x0>0时，由 >1，∴x0>1. ∴x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 【分析】由已知分段函数解析式，分两种情况讨论x，分别解不等式，即可求出x0的取值范围. 15.答案： 解：函数 图象的对称轴为 。由题意得函数 在定义域上是单调递增函数。 当 时，函数 在区间 上单调递减，不合题意。 当 时，函数 在定义域上不单调。 当 时，函数 在区间 上单调递增，要使函数 在定义域上单调递增，则需 ，即 ，解得 ， 故实数 的取值范围为 。 答案： 【分析】先由分段函数第二段一次函数，得到函数 f(x) 在定义域上是单调递增函数，再讨论第一段二次函数的单调性，分三种情况分析t的范围，当 t>0 时不合题意；当 t=0 时也不合题意；当 t<0 时需 t+≥t3+t+1，综上即可求出实数 t 的取值范围. 三、解答题 16.答案：（1）解：由题意知，当x＜0时，f（x）=（x+2）2 ， 当x＞0时，f（x）=（x﹣2）2； ∴函数的单调增区间为[﹣2，0），（2，+∞）， 单调减区间为（﹣∞，﹣2），（0，2]． （2）解：∵f（x）=16，讨论下面两种情况： ∴当x＜0时，（x+2）2=16，∴x=2（舍）或﹣6； 当x＞0时，（x﹣2）2=16，∴x=6或﹣2（舍）．∴x的值为6或﹣6 【分析】（1）首先函数为分段函数，根据分段函数单调性的判定判断函数单调区间。 （2）由于函数为分段函数，故要分情况讨论，当x<0时，将f（x）=16代入到方程中，求解出x；当x>0时，将f（x）=16代入到方程中，求解出x，综合求出相应x的值。 17.答案：（1）解：由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x= ． 则当0≤x≤1时， y=（5x+3x）×2.6=20.8x 当1＜x≤ 时， y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7， 当x＞ 时， y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14； 即得y= ； （2）解：由于y=f（x）在各段区间上均单增， 当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7； 当x∈（1， ]时，y≤f（ ）≈39.3＞34.7； 令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5， 所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元 乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元 【分析】（1）根据题意可得函数解析式。（2）根据已知选择函数的解析式利用单调性求出答案。 18.答案：（1）解：当a=0时， y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）； （2）解：当a=1时，f（x）=x|x﹣1| ∵f（1）=0，f（﹣1）=﹣2， f（1）≠﹣f（﹣1） ∴y=f（x）不是奇函数； 又f（1）≠f（﹣1） ∴y=f（x）不是偶函数； （3）解： ， ①当a＞0时，图象如图1所示 由 得 ， ②当a＜0时，图象如图2所示． 由 ，得 ， ∴ . 【分析】（1）转化为分段函数由二次函数的性质可得增减性区间。（2）利用奇偶函数的定义可得出结果。（3）对a分情况讨论由函数图象可得区间的边界点m,n的取值范围。 19.答案：（1）解：由题意得P（x）=12+10x， 则f（x）=Q（x）﹣P（x）= 即为f（x）= （2）解：当x＞16时，函数f（x）递减， 即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52万元 当0≤x≤16时，函数f（x）=﹣0.5x2+12x﹣12 =﹣0.5（x﹣12）2+60， 当x=12时，f（x）有最大值60万元． 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元． 【分析】1、根据题意可得f（x）=Q（x）﹣P（x），整理成最简的分段函数。 2、由函数的增减性可求得，当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212﹣160=52万元；再根据二次函数在指定区间上的最值求得，当0≤x≤16时，函数f（x）有最大值60万元，综上各式求得当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 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