4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与能力提升衔接紧密，从概念辨析到综合应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|n次方根概念及性质、分数指数幂运算、无理数指数幂运算|选择、填空为主，含易错题（如1<a<2时根式化简），改编教材习题| |能力提升练|根式与指数幂综合化简、条件求值（如2a+3b=2求4ᵃ+8ᵇ最值）|解答题、多选题为主，含实际情境（如数字谜题）与跨知识点应用|

第四章　指数函数与对数函数 4.1　指数 4.1.1　n次方根与分数指数幂　　4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 基础过关练 题组一　n次方根的概念及性质 1.(2026江苏南通如东高级中学月考)当x<0时,x++的值是(　　) A.-1　　B.2　　C.1　　D.-2 2.(教材习题改编)若=32,=2(b<0),则=(　　) A.-1　　B.-　　C.　　D.1 3.(易错题)(2026福建泉州安溪一中等四校期中联考)若1<a<2,则+的化简结果是(　　) A.1　　B.-1　　C.3-2a　　D.2a-3 4.(2026浙江温州五校联考)已知a<b,且ab≠0,化简二次根式的结果是(　　) A.-a　　B.-a　　C.a　　D.a 5.(2025上海交通大学附属中学期中)在实数范围内,的四次方根是　　　　.  题组二　分数指数幂的运算 6.(多选题)(2026江西赣州二十四校期中联考)下列等式中,一定正确的是(　　) A.=8　　B.a3+a4=a7　　 C.0.01-0.5=0.1　　D.=(a≥0) 7.(多选题)(2026辽宁沈阳五校协作体期中)下列指数幂的运算中,正确的是(　　) A.=(y<0)　　 B.=(x≠0)　　 C.=(x>0)　　 D.=(a>0) 8.(2026浙江温州十校联合体期中)-(π-5)0-+=　　　　.  9.(2026湖南衡阳一中期中)设a>0,则=　　　　.(结果用分数指数幂表示)  10.(2025黑龙江鹤岗期末)经过化简,可得恒等式=xmyn(其中x>0,y>0),则m+n=　　　　.  11.(2026河北邯郸九校期中联考)若a-3b=1,则=　　　　.  题组三　无理数指数幂的运算 12.(2026山西长治期中)=(　　) A.　　B.　　C.2　　D.4 13.(2026广东阳江期中)若m=,则(·=(　　) A.64　　B.32　　 C.64　　D.128 14.(1)若+=2,2a=5b=m,则(=　　　　;  (2)若x=1+,y=1+,则y=　　　　(用x表示).  能力提升练 题组一　根式与分数指数幂的化简、求值 1.(2026上海交通大学附属中学月考)如果a,b为实数,且a2 025+b2 025=0,那么一定有(　　) A.(|a|+|b|)2 025=0　　B.(a-b)2 025=0　　 C.(a·b)2 025=0　　D.(a+b)2 025=0 2.(2025江西丰城中学开学考试)在算式2我+2爱+2丰+2中=30中,“我”“爱”“丰”“中”分别代表四个不同的数字,且依次从大到小,则“中”字所对应的数字为(　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 3.(多选题)(2025山东滨州期中)已知a>0,b>0,x>0,y>0,下列运算(化简)中正确的有(　　) A.·=　　 B.·(4y-a)=4x C.-+=3-2　　 D.2a3·(-5)÷(4)=- 4.(2026河南郑州一中期中)求值: (1)+-+×=　　　;  (2)已知a>1,b>0,则+-=　　　　.  题组二　指数幂的条件求值问题 5.(2026安徽宿州灵璧中学期中)已知a,b∈R,且2a+3b=2,则4a+8b的最小值是(　　) A.2　　B.4　　C.2　　D.4 6.(2026浙江杭州十四中月考)设a,b,c均为正数,且a-2=b3=c6,则abc的值为(　　) A.3　　B.2　　C.1　　D. 7.(多选题)(2026江苏南通海门实验学校月考)已知+=3(a>0),下列各式正确的是(　　) A.+=7　　 B.+=24　　 C.+=　　 D.+=2 8.(2026浙江G5联盟期中联考)若实数a,b,c满足+=1,1+c·2a+4c·2b=2a+b,则实数c的最小值是　　　　.  9.(2026江苏南京一中月考)(1)已知10m=2,10n=3,求1的值; (2)已知-=1,a为正实数,求(-)(a+a-1-5)的值; (3)已知9k+12k=16k,求的值. 10.(1)设+=4,x=a+3,y=b+3,求(x+y+(x-y的值; (2)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w≠1,=++,求a,b,c的值. 答案 第四章　指数函数与对数函数 4.1　指数 4.1.1　n次方根与分数指数幂 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 基础过关练 1.C　当x<0时,x++=x+|x|+1=x-x+1=1. 2.B　由=()5=32,解得a=4. 由=2得|b|=2,又b<0,所以b=-2,所以==-. 3.C　由1<a<2,得a-2<0, 所以+=1-a+|a-2|=1-a+2-a=3-2a. 4.A　∵有意义,∴-a3b≥0,即a3b≤0,又ab≠0,∴a,b异号, 又∵a<b,∴a<0,b>0,∴==|a|=-a. 5.答案　± 解析　由指数运算可知=,=,所以的四次方根是或-. 6.AD　对于A,===23=8,因此A一定正确; 对于B,a7=a3·a4,所以a3+a4不一定等于a7,因此B不一定正确; 对于C,0.01-0.5==0.1-1=10,因此C一定不正确; 对于D,====(a≥0),因此D一定正确. 7.BCD　对于A,=||=-(y<0),因此A错误;对于B,==(x≠0),因此B正确; 对于C,==(x>0),因此C正确;对于D,==(a>0),因此D正确. 8.答案　16 解析　-(π-5)0-+=-1-+=-1-+16=16. 9.答案　 解析　===. 10.答案　 解析　由已知得==xmyn,所以m=,n=,又n∈N*,n>1,所以n=2,m=,所以m+n=. 11.答案　9 解析　若a-3b=1,则==32a-6b=32(a-3b)=32=9. 12.D　==22=4. 13.D　(·==26m3=128. 14.答案　(1)40　(2)1+ 解析　(1)因为2a=5b=m,所以=2,=5,所以·==10,又+=2,所以m2=10,所以(=·=4m2=40. (2)y=1+=1+=1+=1+. 能力提升练 1.D　由a2 025+b2 025=0,可得a2 025=-b2 025=(-b)2 025, 则=,即a=-b, 即a+b=0,故(a+b)2 025=0,因此D一定正确; 对于A,B,C,若取a=1,b=-1,则(|a|+|b|)2 025=(a-b)2 025=22 025≠0,(a·b)2 025=(-1)2 025=-1≠0,因此A,B,C不一定正确. 2.D　由题意可知“我”“爱”“丰”“中”分别代表四个不同的数字,且均为非负整数, 因为25=32>30,所以“我”代表的数字小于5,又20=1,21=2,22=4,23=8,24=16, 所以30=24+14=24+23+6=24+23+22+21, 因此“我”“爱”“丰”“中”分别代表的数字为4,3,2,1,所以“中”字所对应的数字为1. 3.ABD　对于A,·==,因此A正确; 对于B,·(4y-a)=4ya-a=4xy0=4x,因此B正确; 对于C,-+=-+1=-1-(-1)+1=1,因此C错误; 对于D,2a3·(-5)÷(4)=-10b÷(4)=-,因此D正确. 4.答案　(1)1　(2)2 解析　(1)+-+×=+-+=+-3+=1. (2)因为a>1,b>0, 所以原式=+-=+-(a-1)=a+1-(a-1)=2. 5.D　因为a,b∈R,且2a+3b=2, 所以4a+8b=22a+23b≥2=2=4, 当且仅当22a=23b,即a=,b=时,等号成立.故4a+8b的最小值为4. 6.C　解法一:∵a-2=b3=c6,∴b=c2,=b3,∴a2b3=a2b2b=a2b2c2=1, 又a,b,c均为正数,∴abc=1. 解法二:设a-2=b3=c6=t,则a=,b=,c=, 因此abc=··=t0=1. 7.ACD　对于A,+=-2=9-2=7,因此A正确; 对于B,+=(+)(-1+)=3×6=18,因此B错误; 对于C,由a>0,可知+>0, 因为=+2+=5,所以+=,因此C正确; 对于D,因为+=+, 又=++2=20,所以原式=2,因此D正确. 8.答案　 解析　由1+c·2a+4c·2b=2a+b可得c=. 由+=1可得2b+2+2a=2a+b, ∴c===1-, ∵1=+≥2=4, ∴2a+b≥16,当且仅当=且+=1,即a=3,b=1时取等号. ∴c=1-≥1-=,即实数c的最小值为. 9.解析　(1)原式=1÷10n=÷3=÷3=. (2)因为a+a-1=+2=3, -=-=(-)·[++·]=1×(3+1)=4, (立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 所以(-)(a+a-1-5)=4×(-2)=-8. (3)由9k+12k=16k, 思路探究:将底数分解,化为含3k,4k的二次齐次式,两边同除以42k,转化为含的式子,进而求解 可得32k+3k×4k=42k,即+-1=0, 令t=,则t>0,t2+t-1=0, 解得t=(负值舍去),即=. 10.解析　(1)令=A,=B, 则x=A3+3AB2,y=B3+3A2B,x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3,x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3. 所以+=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2(+)=8. (2)因为ax=70w,x≠0,w≠0,所以=7. 同理可得=,=, 所以··=··, 即(abc=7. 又++=,所以abc=70=2×5×7, 又a,b,c为正整数,且ax=by=cz≠1,x,y,z≠0, 所以a,b,c均不为1, 又因为a≤b≤c,所以a=2,b=5,c=7. 7 学科网（北京）股份有限公司 $