第十四课时-n次方根与分数指数幂-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|n次方根、根式性质、分数指数幂定义|直接应用概念（如选择1-2题考根式性质与指数幂定义）| |中档|有理数指数幂运算性质|多步骤化简（如填空12题幂的乘除与乘方综合）| |提升|指数幂综合应用|问题链求解（如解答15题由已知指数求底数再计算代数式）|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十四课时 n次方根与分数指数幂 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 n次方根 一般地，如果 xⁿ ＝ a（n ＞ 1, n ∈ N*），那么 x 叫做 a 的 n 次方根。当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，此时 a 的 n 次方根记作 ⁿ√a；当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个且互为相反数，记作 ±ⁿ√a，其中 ⁿ√a 叫做 a 的 n 次算术根。负数没有偶次方根。0 的任何次方根都是 0，记作 ⁿ√0 ＝ 0。式子 ⁿ√a 叫做根式（radical），n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 考点二 根式的性质 根式具有以下重要性质：① (ⁿ√a)ⁿ ＝ a（n ∈ N*, n ＞ 1），即根式的 n 次幂等于被开方数；② ⁿ√(aⁿ) ＝ a（n 为奇数），即奇次根式下 a 的 n 次幂等于 a 本身；③ ⁿ√(aⁿ) ＝ |a|（n 为偶数），即偶次根式下 a 的 n 次幂等于 a 的绝对值。性质③特别重要，当 n 为偶数时，ⁿ√(aⁿ) 的结果是非负的，需要加绝对值符号。例如 ⁴√(－2)⁴ ＝ |－2| ＝ 2，³√(－2)³ ＝ －2。在化简根式时，必须注意根指数的奇偶性，正确运用这些性质。 考点三 分数指数幂 为了使幂的运算更加方便，我们将指数的概念从整数推广到分数。规定：①正分数指数幂：a^(m/n) ＝ ⁿ√(aᵐ)（a ＞ 0, m, n ∈ N*, n ＞ 1）；②负分数指数幂：a^(－m/n) ＝ 1/a^(m/n) ＝ 1/ⁿ√(aᵐ)（a ＞ 0, m, n ∈ N*, n ＞ 1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。分数指数幂的引入，使得根式可以表示为幂的形式，从而可以利用幂的运算性质进行化简和计算。需要注意的是，分数指数幂的底数 a 必须大于0，这是为了保证运算的确定性和性质的一般性。 考点四 有理数指数幂的运算性质 引入分数指数幂后，指数的概念从整数推广到了有理数。有理数指数幂具有以下运算性质（a ＞ 0, b ＞ 0, r, s ∈ Q）：① aʳ · aˢ ＝ a^(r＋s)，即同底数幂相乘，底数不变指数相加；② (aʳ)ˢ ＝ a^(rs)，即幂的乘方，底数不变指数相乘；③ (ab)ʳ ＝ aʳ · bʳ，即积的乘方等于乘方的积。这些性质与整数指数幂的运算性质完全一致，体现了数学的统一性。在运算时，通常先将根式化为分数指数幂的形式，再利用这些性质进行化简。 考点五 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 aᵃ（a ＞ 0, α 为无理数）是一个确定的实数。无理数指数幂的意义是通过有理数指数幂的逼近来定义的：用有理数指数幂的值逼近无理数指数幂的值。具体来说，取无理数 α 的不足近似值和过剩近似值，对应的 a 的有理数指数幂的值会逐渐逼近一个确定的实数，这个实数就是 aᵃ。有理数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂。这样，指数的概念就从有理数推广到了实数，为后续学习指数函数奠定了基础。 知识结构思维导图 图1 n次方根与分数指数幂知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式中，正确的是（ ） A．⁴√(－2)⁴ ＝ －2 B．³√(－2)³ ＝ －2 C．⁴√(－2)⁴ ＝ ±2 D．³√(－2)³ ＝ 2 2．将根式 ⁵√(a³) 化为分数指数幂的形式为（ ） A．a^(3/5) B．a^(5/3) C．a^(－3/5) D．a^(－5/3) 3．计算 2^(1/2) × 2^(1/3) 的结果为（ ） A．2^(5/6) B．2^(2/5) C．2^(1/6) D．2^(5/3) 4．化简 (a² · a^(1/3))³（a ＞ 0）的结果为（ ） A．a⁵ B．a⁶ C．a⁷ D．a⁸ 5．计算 (27/8)^(－1/3) 的值为（ ） A．3/2 B．2/3 C．9/4 D．4/9 6．下列各式中，化简结果为 a 的是（ ） A．(a^(1/2))² B．(a²)^(1/2) · a^(－1) C．a^(1/3) · a^(2/3) · a^(－1) D．a^(1/2) · a^(1/2) · a^(－1) 7．计算 ⁴√(16a⁸)（a ＞ 0）的结果为（ ） A．2a² B．4a² C．2a⁴ D．4a⁴ 8．若 a ＞ 0，则 a^(2/3) · a^(1/3) ÷ a^(1/2) ＝ （ ） A．a^(1/2) B．a^(5/6) C．a^(1/6) D．a^(7/6) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．计算：⁴√(－3)⁴ ＝ ____________。 10．将 a^(－2/3)（a ＞ 0）化为根式形式为 ____________。 11．计算：2^(1/2) ÷ 2^(－1/3) ＝ ____________。 12．化简：(a^(3/2) · a^(－1/2))²（a ＞ 0）＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）计算下列各式的值： （1）(1/4)^(－1/2) ＋ (27/8)^(2/3) － 2⁰； （2）⁴√(3² × 3⁴) ÷ 3^(1/2)。 14．（14分）化简下列各式（a ＞ 0, b ＞ 0）： （1）(a^(3/4) · a^(1/4))² ÷ a^(1/2)； （2）(a²b^(1/3))³ · (ab^(－1/2))²。 15．（14分）已知 a ＞ 0，b ＞ 0，且 a^(1/2) ＝ 2，b^(1/3) ＝ 3。 （1）求 a 和 b 的值； （2）求 (ab)^(1/6) 的值； （3）求 a^(3/2) · b^(2/3) 的值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． A 3． A 4． C 5． B 6． A 7． A 8． A 9． 3 10． 1/³√(a²) 11． 2^(5/6) 12． a² ■ 详细解析 ■ 选择题解析 1．【答案】B 【解析】由根式的性质：⁴√(－2)⁴ ＝ |－2| ＝ 2（n为偶数时ⁿ√(aⁿ) ＝ |a|），故A、C错误；³√(－2)³ ＝ －2（n为奇数时ⁿ√(aⁿ) ＝ a），故B正确，D错误。选B。 2．【答案】A 【解析】由分数指数幂的定义，⁵√(a³) ＝ a^(3/5)（m ＝ 3, n ＝ 5），选A。本题关键：ⁿ√(aᵐ) ＝ a^(m/n)。 3．【答案】A 【解析】2^(1/2) × 2^(1/3) ＝ 2^(1/2 ＋ 1/3) ＝ 2^(5/6)（同底数幂相乘，底数不变指数相加），选A。 4．【答案】C 【解析】(a² · a^(1/3))³ ＝ (a^(2 ＋ 1/3))³ ＝ (a^(7/3))³ ＝ a^(7/3 × 3) ＝ a⁷，选C。本题关键：先利用同底数幂相乘（指数相加），再利用幂的乘方（指数相乘）。 5．【答案】B 【解析】(27/8)^(－1/3) ＝ 1/(27/8)^(1/3) ＝ 1/³√(27/8) ＝ 1/(3/2) ＝ 2/3，选B。本题关键：负分数指数幂a^(－r) ＝ 1/aʳ。 6．【答案】A 【解析】选项A：(a^(1/2))² ＝ a^(1/2×2) ＝ a¹ ＝ a，正确；选项B：(a²)^(1/2) · a^(－1) ＝ a · a^(－1) ＝ 1 ≠ a，错误；选项C：a^(1/3) · a^(2/3) · a^(－1) ＝ a^(1/3＋2/3－1) ＝ a⁰ ＝ 1 ≠ a，错误；选项D：a^(1/2) · a^(1/2) · a^(－1) ＝ a^(1/2＋1/2－1) ＝ a⁰ ＝ 1 ≠ a，错误。故选A。 7．【答案】A 【解析】⁴√(16a⁸) ＝ ⁴√16 · ⁴√(a⁸) ＝ 2 · a² ＝ 2a²（⁴√16 ＝ 2，⁴√(a⁸) ＝ a^(8/4) ＝ a²），选A。 8．【答案】A 【解析】a^(2/3) · a^(1/3) ÷ a^(1/2) ＝ a^(2/3 ＋ 1/3 － 1/2) ＝ a^(1 － 1/2) ＝ a^(1/2)，选A。本题关键：同底数幂相乘指数相加，相除指数相减。 ■ 填空题解析 9．【答案】3 【解析】⁴√(－3)⁴ ＝ |－3| ＝ 3（n为偶数时ⁿ√(aⁿ) ＝ |a|）。 10．【答案】1/³√(a²) 【解析】a^(－2/3) ＝ 1/a^(2/3) ＝ 1/³√(a²)（负分数指数幂a^(－r) ＝ 1/aʳ，a^(m/n) ＝ ⁿ√(aᵐ)）。 11．【答案】2^(5/6) 【解析】2^(1/2) ÷ 2^(－1/3) ＝ 2^(1/2 － (－1/3)) ＝ 2^(1/2 ＋ 1/3) ＝ 2^(5/6)（同底数幂相除，指数相减）。 12．【答案】a² 【解析】(a^(3/2) · a^(－1/2))² ＝ (a^(3/2 － 1/2))² ＝ (a¹)² ＝ a²。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）13/4；（2）3 【解析】（1）(1/4)^(－1/2) ＋ (27/8)^(2/3) － 2⁰ ＝ (4)^(1/2) ＋ (³√(27/8))² － 1 ＝ 2 ＋ (3/2)² － 1 ＝ 2 ＋ 9/4 － 1 ＝ 1 ＋ 9/4 ＝ 13/4 （2）⁴√(3² × 3⁴) ÷ 3^(1/2) ＝ ⁴√(3⁶) ÷ 3^(1/2) ＝ 3^(6/4) ÷ 3^(1/2) ＝ 3^(3/2) ÷ 3^(1/2) ＝ 3^(3/2 － 1/2) ＝ 3¹ ＝ 3 本题关键：将根式化为分数指数幂，利用运算性质化简。 14．【答案】（1）a^(3/2)；（2）a⁸ 【解析】（1）(a^(3/4) · a^(1/4))² ÷ a^(1/2) ＝ (a^(3/4 ＋ 1/4))² ÷ a^(1/2) ＝ (a¹)² ÷ a^(1/2) ＝ a² ÷ a^(1/2) ＝ a^(2 － 1/2) ＝ a^(3/2) （2）(a²b^(1/3))³ · (ab^(－1/2))² ＝ a⁶b¹ · a²b^(－1) ＝ a⁸b⁰ ＝ a⁸ 本题关键：利用幂的运算性质（aʳ·aˢ ＝ a^(r＋s)，(aʳ)ˢ ＝ a^(rs)，(ab)ʳ ＝ aʳ·bʳ）化简。 15．【答案】（1）a ＝ 4，b ＝ 27；（2）(ab)^(1/6) ＝ ³√2 × √3；（3）a^(3/2) · b^(2/3) ＝ 72 【解析】（1）由a^(1/2) ＝ 2，得a ＝ 2² ＝ 4。 由b^(1/3) ＝ 3，得b ＝ 3³ ＝ 27。 （2）(ab)^(1/6) ＝ (4 × 27)^(1/6) ＝ 108^(1/6)。 因108 ＝ 4 × 27 ＝ 2² × 3³，故108^(1/6) ＝ (2² × 3³)^(1/6) ＝ 2^(1/3) × 3^(1/2) ＝ ³√2 × √3。 化简：³√2 × √3 ＝ 2^(1/3) × 3^(1/2)。 （3）a^(3/2) · b^(2/3) ＝ 4^(3/2) × 27^(2/3) ＝ (4^(1/2))³ × (27^(1/3))² ＝ 2³ × 3² ＝ 8 × 9 ＝ 72 本题关键：由分数指数幂求底数，再利用运算性质求值。 高一数学必修一 · 第十四课时 n次方根与分数指数幂 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $