4.2.1 指数函数的概念-同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学指数函数概念新授课同步练，分层设概念应用与模型应用题组，从概念辨析到实际建模，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一（概念及应用）|指数函数定义、解析式、参数范围|选择填空为主，如判断指数函数参数范围（题5），夯实概念理解| |题组二（指数型函数模型）|实际问题中的指数模型应用|含情境解答题，如药物浓度分段函数模型（题9），体现从基础到应用的梯度|

4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 基础过关练 题组一　指数函数的概念及应用 1.(2025山东枣庄期中)若函数f(x)=ax是指数函数,则f=(　　) A.2　　B.3　　C.　　D.4 2.(2026江西南昌一中期中)已知函数f(x)=ax,a>0且a≠1,若f=,则f(2)=(　　) A.　　B.　　C.10　　D.100 3.(2026上海华东师范大学第三附属中学期中)已知a>0,函数y=的图象过点P,Q.若3p+q=16pq,则a=(　　) A.2　　B.4　　C.8　　D.16 4.(2025北京师范大学附属实验中学月考)已知函数f(x)=4x,若f(b)=2f(a),则b-a=　　　　.  5.(2026湖北十堰期中)若函数y=(2a+1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是　　　　.  6.(教材习题改编)已知函数y=f(x),x∈R,且f(0)=2,=,n∈N*,请写出f(x)的一个解析式:　　　　　　　.  题组二　指数型函数模型 7.(2026浙江温州新力量联盟期中)1986年4月26日,国外某地核电站爆炸,核泄漏导致事故所在地被严重污染.主要的核污染物是锶90,它每年的衰减率为2.47%.专家估计,要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年.到2025年4月26日,原有的锶90还剩(参考数据:0.975 339≈0.377 0,0.975 340≈0.367 7)(　　) A.37.70%　　B.62.30%　　C.36.77%　　D.63.23% 8.(2026重庆八中期中)已知f(x)=(x∈N)描述的是一种植物的高度(单位:米)随着时间x(单位:年)变化的规律.若刚栽种时该植物的高度为1米,经过一年,该植物的高度为2米,要让该植物的高度超过3.8米,至少需要(　　) A.2年　　B.3年　　C.4年　　D.5年 9.(2025河南九校联盟期末)某种药物被服用后,在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程,已知在药物释放过程中,血液中的药物浓度y(μg/mL)与时间t(h)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=kat(t≥2,a>0,且a≠1,k,a是常数),如图所示. (1)根据图象写出y关于t的函数表达式; (2)据测算,药物浓度不低于0.25 μg/mL时才有效,求该药物的有效时长. 答案 4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 基础过关练 1.A　∵函数f(x)=ax是指数函数, ∴a-3=1且a>0,a≠1,解得a=8, ∴f(x)=8x,∴f==2. 2.A　由f=得=, 所以f(2)=a2===. 3.B　由函数y=的图象经过点P,Q,可得=,=-, (思路分析:将等式中3p、3q与ap进行分离,进而与另外一个条件3p+q=16pq结合求解) 因此3p=-ap,3q=-aq, 所以3p×3q=-ap×=a2pq, 又3p+q=16pq,所以a2pq=16pq, 因为3p+q>0,所以p≠0,q≠0, 所以a2=16,又因为a>0,所以a=4. 4.答案　 解析　因为f(x)=4x,且f(b)=2f(a),所以4b=2×4a,即22b=21+2a,故2b=1+2a,所以b-a=. 5.答案　∪(0,+∞) 解析　因为函数y=(2a+1)x(x是自变量)是指数函数, 所以2a+1>0,且2a+1≠1,解得a>-,且a≠0. 6.答案　f(x)=2×3x(答案不唯一) 解析　不妨设f(x)=a·bx(b>0且b≠1),(思路探究:由函数值的比是常数,可考虑指数型函数,设出函数解析式,利用待定系数法求解即可) 由=得=, 所以=,又b>0,所以b=3, 又f(0)=2,所以a·30=2,则a=2, 所以f(x)=2×3x. 7.A　设n年后锶90的剩余含量为f(n), 则f(n)=(1-2.47%)n=0.975 3n, 到2025年4月26日,经过了39年,即n=39,故f(39)=0.975 339≈0.377 0, 所以原有的锶90还剩37.70%. 8.C　依题意可得 则解得 ∴f(x)=, 令f(x)=>3.8,化简得3x>57, 由33<57<34,且x∈N得x≥4, ∴要让该植物的高度超过3.8米,至少需要4年. 9.解析　(1)当0≤t≤2时,y与t成正比,且对应图象过点(0,0)和(2,1),所以y=t. 当t≥2时,y=kat(a>0,且a≠1),且对应图象过点(2,1)和(4,0.5), 所以所以 所以y=.所以y= (2)当0≤t<2时,令t≥0.25,得0.5≤t<2;当t≥2时,令≥0.25,得2≤t≤6. 因此当0.5≤t≤6时,药物有效,有效时长为6-0.5=5.5(h). 7 学科网（北京）股份有限公司 $