4.2.1 指数函数的概念 同步练 2026-2027学年 高中数学高一上学期人教A版 必修第一册

**基本信息** 本同步练习以指数函数概念为核心，通过基础辨析、情境应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数函数定义及解析式|通过第1题概念辨析、第3题求解析式强化抽象能力| |中档|实际情境应用及性质|结合第5题成本降低、第7题股票盈亏考查模型意识| |提升|综合应用及逻辑推理|通过第13题病毒内存增长、第14题奇偶性证明发展推理能力|

4.2.1　指数函数的概念 1. 下列函数中，属于指数函数的个数为(　 　) ①y＝；②y＝mx(m＞0，且m≠1)；③y＝1x(x∈R)；④y＝－1(x＞1). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. (2024·南京外国语中学高一检测)已知函数y＝，当y＝时，x的值是(　 　) A. 1 B. 2 C. D. － 3. 若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)等于(　 　) A. ()x B. 2x C. D. 4. 如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝都是指数函数，那么ab等于(　 　) A. B. 1 C. 9 D. 8 5. 一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0＜x＜m)的函数，其关系式为(　 　) A. y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m) B. y＝a(1－p%)x(0＜x＜m) C. y＝a(p%)x(0＜x＜m) D. y＝a－(p%)x(0＜x＜m) 6. 设函数f(x)＝a0(1＋r)x，且f(3)＝20，f(4)＝22，则f(5)等于(　 　) A. 24 B. 24.2 C. 26 D. 26.5 7. 某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则该股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055≈1.276 3，0.9515≈0.777 9)(　 　) A. 赚717元 B. 赚145元 C. 亏145元 D. 亏717元 8. (多选)已知指数函数f(x)满足f，则下列结论中，正确的有(　 　) A. f(x)＝5x B. f(x)＝5－x C. f(－1)＝ D. 5f(1)＝f(2) 9. (多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中，正确的有(　 　) A. f(x＋y)＝f(x)f(y) B. f(x－y)＝ C. f＝f(x)－f(y) D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 10. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过三年，剩余物质的质量是原来的 　.  11. 若指数函数f(x)满足f(2)－f(1)＝6，则f(3)＝　 　.  12. 某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0，且a≠1，x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为　 　元.  13. 一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒所占内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长. 14. 已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数. (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝的奇偶性，并加以证明. 15. 已知函数f(x)为实数集上的增函数，且满足f＝3，则f(2)等于(　 　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 已知函数f(x)＝，x∈R. (1)求f(a)＋f(1－a)的值； (2)求f＋f＋f＋…＋f的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1　指数函数的概念 1. 下列函数中，属于指数函数的个数为(　B　) ①y＝；②y＝mx(m＞0，且m≠1)；③y＝1x(x∈R)；④y＝－1(x＞1). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】由指数函数的定义知，只有②符合指数函数的定义，其他均不符合. 2. (2024·南京外国语中学高一检测)已知函数y＝，当y＝时，x的值是(　D　) A. 1 B. 2 C. D. － 【解析】y＝，∴x＝－. 3. 若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)等于(　A　) A. ()x B. 2x C. D. 【解析】由题意，设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，可得a＝，∴f(x)＝()x. 4. 如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝都是指数函数，那么ab等于(　D　) A. B. 1 C. 9 D. 8 【解析】根据题意可得2a＝1，－(b＋3)＝0，解得a＝，b＝－3， 则ab＝＝8. 5. 一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0＜x＜m)的函数，其关系式为(　B　) A. y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m) B. y＝a(1－p%)x(0＜x＜m) C. y＝a(p%)x(0＜x＜m) D. y＝a－(p%)x(0＜x＜m) 【解析】∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a(1－p%)； 2年后，成本为a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，…，∴x年后，成本y＝ a(1－p%)x(0＜x＜m). 6. 设函数f(x)＝a0(1＋r)x，且f(3)＝20，f(4)＝22，则f(5)等于(　B　) A. 24 B. 24.2 C. 26 D. 26.5 【解析】由题意得两式相除可得，故1＋r＝，∴f(5)＝＝f(4)·(1＋r)＝22×＝24.2. 7. 某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则该股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055≈1.276 3，0.9515≈0.777 9)(　D　) A. 赚717元 B. 赚145元 C. 亏145元 D. 亏717元 【解析】由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 83＝9.928 3(万元)， ∵100 000－99 283＝717(元)，∴股民亏717元. 8. (多选)已知指数函数f(x)满足f，则下列结论中，正确的有(　ACD　) A. f(x)＝5x B. f(x)＝5－x C. f(－1)＝ D. 5f(1)＝f(2) 【解析】设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由题意得，， ∴a＝5，∴f(x)＝5x，A正确，B错误；∵f(－1)＝5－1＝，∴C正确；∵5f(1)＝5×51＝25＝52＝f(2)，∴D正确. 9. (多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中，正确的有(　ABD　) A. f(x＋y)＝f(x)f(y) B. f(x－y)＝ C. f＝f(x)－f(y) D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 【解析】对于A，f(x＋y)＝＝ax·ay＝f(x)f(y)，A正确；对于B，f(x－y)＝ax－y＝ax·a－y＝，B正确；对于C，f，f(x)－f(y)＝ax－ay，显然，≠ax－ay，C错误；对于D，n∈Q，f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，D正确. 10. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过三年，剩余物质的质量是原来的 　.  【解析】经过一年，剩余物质的质量约是原来的；经过两年，剩余物质的质量约是原来的；经过三年，剩余物质的质量约是原来的. 11. 若指数函数f(x)满足f(2)－f(1)＝6，则f(3)＝　27　.  【解析】设指数函数f(x)＝ax，由f(2)－f(1)＝6，得a2－a＝6，解得a＝－2(舍去)，或a＝3，则f(3)＝33＝27. 12. 某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0，且a≠1，x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为　40.5　元.  【解析】由题意得得∴y＝128×，∴该商品上架第4天的价格为128×＝40.5(元). 13. 一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒所占内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长. 解：∵这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍，∴x分钟后的病毒所占内存为，得y＝(x∈R＋)，∵病毒所占内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，∴≤220，解得x≤95，∴本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟. 14. 已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数. (1)求f(x)的表达式； (2)判断F(x)＝的奇偶性，并加以证明. 解：(1)由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，可得a＝2，或a＝－3(舍去)， ∴f(x)＝2x. (2)F(x)＝是奇函数. 证明如下：∵F(x)的定义域是R，关于原点对称，且F(x)＝f(x)－＝2x－＝ 2x－，∴F(－x)＝－2x＝－(2x－)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数. 15. 已知函数f(x)为实数集上的增函数，且满足f＝3，则f(2)等于(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】∵f＝3，∴令f(x)－2x＝t，可得f(x)＝2x＋t，f(t)＝3， ∴2t＋t＝3，∴t＝1，即f(x)＝2x＋1，∴f(2)＝5. 16. 已知函数f(x)＝，x∈R. (1)求f(a)＋f(1－a)的值； (2)求f＋f＋f＋…＋f的值. 解：(1)∵f(x)＝，x∈R，∴f(a)＋f(1－a)＝＝1. (2)设S＝f＋f＋f＋…＋f，则S＝f＋…＋f＋f＋f，两式相加得2S＝＋…＋.由(1)得f＋f＝1，f＋f＝1，…，f＋f＝1，∴2S＝2 024，解得S＝1 012. 学科网（北京）股份有限公司 $