精品解析：2022年山东省泰安市东平县实验中学九年级下学期第三次次模拟考试试题

2021-2022学年九年级模拟检测数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A. –（－2）和|－2| B. 和2 C. －和－2 D. 和－ 【答案】D 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．–（－2）＝2，|－2|＝2，–（－2）＝|－2|，故–（－2）和|－2|不是互为相反数， 故选项错误，不符合题意； B．和2不是互为相反数，故选项错误，不符合题意； C．－和－2不是互为相反数，故选项错误，不符合题意； D．和－是互为相反数，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相反数的定义，了解相反数的定义是解答的关键． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据合并同类项、同底数幂的除法及幂的乘方、完全平方差公式的展开的运算分别计算出各项结果，再进行判断即可得到答案． 【详解】A．2x与3y不能计算，选项说法错误，不符合题意； B．，选项说法错误，不符合题意； C．，选项说法错误，不符合题意； D．，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法及幂的乘方、完全平方差公式的展开的运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 3. 据报道，超过515000000名观众通过中国中央广播电视总台收看了2022年北京冬奥会开幕式，将515000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：515000000=5.15×108． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，抽取七名学生收集废旧电池的数量（单位：分）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中数和众数分别是（ ） A. 4，3 B. 3，3 C. 4，5 D. 3，5 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：3，3，3，4，5，5，6， 最中间的数是4， 则这组数据的中位数是4； ∵3出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3； 故选：A． 【点睛】此题考查了中位数和众数．众数指的是一组数据出现次数最多的数，众数可以不只一个．确定中位数的时候一定要按照由小到大排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个，则为中间两个数字的平均数． 6. 如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的左视图不相同，则取走的正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：若取走标有①的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，比原来少了右侧的一个正方形； 只取走标有②或③或④的小正方体，左视图不变， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 7. 如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线之间，，．则的度数为（ ） A. 45° B. 60° C. D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，证明，求出，利用平角的定义计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 8. 如图，已知A，B、C，D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD=110°，则∠AEB的度数为( ) A. 70° B. 35° C. 40° D. 20° 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD，根据圆内接四边形中对角互补可求出∠BAD，因为AD是直径，则可知∠BAD+∠ADB=∠ABD=90°，则可求出∠ADB，根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠AEB． 【详解】连接BD，如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠BAD=180°， ∵∠BCD=110°， ∴∠BAD=180°-110°=70°， ∵AD是直径， ∴∠BAD+∠ADB=∠ABD=90°， ∴∠ADB =90°-∠BAD=90°-70°=20°， ∵同圆中，同弧所对的圆周角相等， ∴∠AEB=∠ADB， ∴∠AEB=20°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、直径所对圆周为直角、同弧所对圆周角相等的知识，运用圆内接四边形的性质求出∠A是解答本题的关键． 9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴有交点，则Δ≥0，解不等式即可得到m的范围；-1＜0，则抛物线的开口向下，利用题意得到抛物线的对称轴的位置，利用抛物线的性质可得m的范围，综合以上信息即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点， ∴Δ≥0． ∴（2m）2-4×（-1）×（-m2-m+1）≥0． 解得：m≤1． ∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线x=m． ∵当x＜-3时，y随x的增大而增大， ∴m≥-3． ∴-3≤m≤1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，点A，B，C，D都在上，交于点E，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，可得，由三角形相似的性质可得：，求得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴，即，解得 ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别为CD，AD的中点，BF=2，BG=3，，则BC的长度为（ ） A. B. C. 2.5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长AD、BF交于E,过点E作EM⊥BG，根据F是中点得到△CBF≌△DEF，得到BE=2BF=4，根据得到BM=BE=2，ME=2，故MG=1，再根据勾股定理求出EG的长，再得到DE的长即可求解. 【详解】延长AD、BF交于E, ∵F是中点，∴CF=DF,又AD∥BC，∴∠CBF=∠DEF，又∠CFB=∠DFE， ∴△CBF≌△DEF，∴BE=2BF=4， 过点E作EM⊥BG，∵，∴∠BEM=30°， ∴BM=BE=2，ME=2， ∴MG=BG-BM=1， 在Rt△EMG中，EG== ∵G为AD中点，∴DG=AD=DE， ∴DE==， 故BC=， 故选A. 【点睛】此题主要考查平行四边形的线段求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定及勾股定理的运用. 12. 如图，矩形中，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得，所以点应该在以为直径的圆上，即，根据两边之差小于第三边及三点共线问题解决． 【详解】解：矩形， ，， ， ， ， ， ∴点在以为直径的圆上， 如图，设的中点为，连接，，， ， ， ， 当点三点共线时，的值最小， 的最小值． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 某商店销售、、三种型号的饮料，随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元，已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元．问：、两种饮料调价前的单价各为多少？设、两种饮料调价前的单价分别为元，元，则根据题意可列方程为___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的两个等量关系，分别列出方程，组成方程组即可，第一个等量关系为调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元． 【详解】解：设、两种饮料调价前的单价分别为元，元， 根据题意可得， 故答案为：． 14. 如图，某建筑楼顶立有广告牌，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度的斜坡从看台前的处步行15米到达处，此时，测得广告牌底部的仰角为，广告牌顶部的仰角为（身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为 __米（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】过作于，于，构造和，根据已知条件解直角三角形即可得出． 【详解】过作于，于，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， 斜坡的坡度，米， ∴（米，（米， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米， 米， ∴， ∴， ∴米， ∴米， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的运用，做辅助线构造直角三角形是解决本题的关键． 15. 如图，中，，在以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出，，由旋转的性质得到，解求出，进一步求得旋转角为，由，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，点O为的中点，， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转，使点旋转至轴正半轴上的处， ， ， ， 在中，， ， ，即旋转角为， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，坐标与图形等知识点，推导出是解题的关键． 16. 如图，已知抛物线为常数，的顶点为，抛物线与轴交于点，则下列结论：①；②若方程的解是，，且满足，则，；③关于的方程有两个不等的实数根；④，其中，正确的结论有____． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∴． ∵抛物线的开口方向向上， ∴． ∴． ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴． ∴． ∴①的结论正确； ∵方程，即的解是，，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， ∵对称轴为直线，抛物线与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴，， ∴②的结论正确； ∵抛物线为常数，的顶点为， ∴二次函数有最小值n． ∴抛物线与直线没有公共点． ∴方程无解． 即方程没有实数根． ∴③的结论错误； ∵抛物线为常数，的顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴④的结论错误． 综上，正确的结论为：①② ， 故答案为：①②． 【点睛】本题中考查了二次函数的性质，待定系数法，数形结合法，正确利用图象的信息得出二次函数中的系数关系是解题的关键． 17. 如图，正方形中，，点在边上，将沿对折至，延长交边于点，且，连接，下列结论：①；②；③；④：⑤，其中正确结论有___________ 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据对折变换的性质和正方形的性质可证；根据角的和差关系求得；在中，根据勾股定理求出，可证；通过证明，由平行线的判定可得；求出，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，； 根据对折的性质得，，，， ，，， ， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 故②正确； ， 是的中点，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， ， 故③错误； ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ， ， , 故⑤正确． 综上所述，结论正确的是①②④⑤． 18. 如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线于点B3，…，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵AnBn+1∥x轴，∴tan∠AnBn+1Bn=． 当x=1时，=，∴点B1的坐标为（1，）， ∴A1B1=1﹣，A1B2= =﹣1． ∵1+A1B2=，∴点A2的坐标为（，）， 点B2的坐标为（，1）， ∴A2B2=﹣1，A2B3==﹣， ∴点A3的坐标为（，），点B3的坐标为（，）． 同理，可得：点An的坐标为（，）． 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型，通过解直角三角形找出点A2、A3、…、An的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 化简求值，解不等式 （1）先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），当时值为 （2），数轴表示见解析 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ， 且， 且 当时，原式． 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 将不等式的解集表示在数轴上如图， 20. 第24界冬奥会将于2022年2月在北京举行，为推广冰雪运动，发挥冰雪项目的育人功能，教育部近年启动了全国冰雪运动特色学校的遴选工作．某中学通过将冰雪运动“旱地化”的方式积极开展了基础滑冰、旱地滑雪、旱地冰球、旱地冰壶等运动项目，现就“学生冰雪活动兴趣爱好”问题，随机调查了该校三年级2班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）这次统计共抽查了______名学生，请将条形统计图补充完整； （2）如果该校初三年级共有480名学生，估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有多少人？ （3）在被调查的学生中，喜欢旱地滑雪的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校旱地滑雪队，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 【答案】（1）50，将条形统计图补充完整见解析 （2）估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有192人 （3）所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率为 【解析】 【分析】（1）先利用旱地冰球的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢旱地滑雪项目的人数； （2）用480乘以样本中喜欢基础滑冰项目的百分比可估计全校学生中喜欢基础滑冰项目的人数； （3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：在这次调查中，总人数为20÷40%＝50（人）， ∴喜欢旱地滑雪项目的同学有人50−20−10−15＝5（人），补全图形如下： 【小问2详解】 估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有480×＝192（人）； 【小问3详解】 画树状图为： 共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12， ∴所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率为12÷20＝． 【点睛】本题考查了统计图、列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 21. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，-3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交轴于点D，且BC=2CD． （1）求的值并直接写出点B的坐标； （2）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G的坐标． 【答案】（1）k=6，B（2,3） （2）存在，P坐标为或 （3）G点坐标为（1，1.5）或（3，4.5） 【解析】 【分析】（1）将A（m，-3）代入直线解析式，可求出m，即可求出k值； （2）分两种情况讨论：P在x轴上，P在y轴上，利用相似进行求解即可； （3）根据BC=2CD，构造相似三角形，求出C、D两点的坐标，可知,，，即G为OB中点时，三角形GBC的面积为4，另一侧G点坐标关于B点对称，也可求出． 【小问1详解】 解：将A（m，-3）代入直线解析式，得m=-2， ∴A点坐标为（-2，-3）， ∴k=6， ∵A、B两点关于原点对称， ∴B点坐标为（2，3）； 【小问2详解】 存在，理由如下： ①当点P在x轴上时，如图，设点的坐标为（a，0）， 过点B作BE⊥x轴于点E， ∵∠OEB=∠，， ∴， ∴， ∵B（2，3）， ∴OB=， ∴， 解得a=， ∴的坐标为（，0）； ②当点P在y轴上时，如图，过点B作BN⊥y轴于点N，设点的坐标为（0，b）， ∵∠ONB=∠，， ∴， ∴， 即， 解得b=， ∴的坐标为（0，）， 综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）； 【小问3详解】 如图所示，作BM⊥x轴于M，CH⊥x轴于H， 即， ∵BC=2CD， ∴BD=3CD， ∴， ∵BM=3， ∴CH=1， ∴C点坐标为（6,1）， ∴D点坐标为（8,0）， 则,， ∴， 则当G为OB的中点时，三角形GBC的面积为4， 即G点坐标为（1，1.5）， 同理，若G点在B点右侧时，G点坐标为（3，4.5）， 综上所述，G点坐标为（1，1.5）或（3，4.5）． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，掌握分情况讨论，画出合理的辅助线是解题的关键． 22. 夏日炎炎，各种各样的防晒用品陆续走红，胶囊患阳伞因其小巧、便携的特点受到了年轻人的喜爱．小红帽百货商店用2000元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家的出行热情高涨，对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了50%． （1）求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； （2）若第二批胶囊遮阳伞按50元/把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于80%，请问最多可以按几折销售?（用不等式解决问题） 【答案】（1）20 （2）七折 【解析】 【分析】（1）第一批胶囊遮阳伞每把的进价为x元，根据“用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了50%”列方程即可． （2）设打m折，根据“第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于80%”列不等式即可． 【小问1详解】 ）第一批胶囊遮阳伞每把的进价为x元，则第二批该款胶囊遮阳伞进价为（x+5）元， 由题意得： 解得： 经检验：x=20是原方程的解． 答：第一批胶囊遮阳伞每把的进价是20元； 【小问2详解】 设打m折，第二批该款胶囊遮阳伞进价为25元，数量为把 由题意得： 解得： ∴最多可以按七折销售 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 23. 在中，分别是的中点，连接并延长至，且使，连接交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，若是的中点，连接．求证： 【答案】（1）证明：取中点M，连接． 为中点， ． ， ． 为的中点， ， 在和中， ， ． 为中点， ． ． 为的中点， ． ； （2）证明：延长至点，使，连接． 在和中 ． ． 是的中点，即． ，且 由（1）可得， ． 【解析】 【分析】（1）取中点M，连接，先证明，然后根据等腰三角形的性质得到，再由直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）延长至点，使，连接，先证明，再有三角形的中位线定理得到，且，最后等量代换证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知点E、F分别是四边形边上的点，且与相交于点G． （1）如图①，若，，，且，求证：； （2）如图②，若，，，求证：； （3）如图③，若，，当时，直接写出 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定知四边形是矩形，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知，则，从而证明结论成立； （2）首先可知，得，再通过，得，进而解决问题； （3）作于点N，交的延长线于点M，连接，设，可知四边形是矩形，利用证明，得，根据，得，则，在中，利用勾股定理列方程，再利用（1）中基本模型解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作于点N，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（不合题意舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，构造模型、应用模型解决问题是解题的关键． 25. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在，的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线的表达式为， 当时，得：， ∴，， 当时，得：，解得：， ∴，， ∵抛物线交轴于，两点，交轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 过点作轴于点， 设， ∴，，， ∴， ∵抛物线交轴于，两点， 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∵ ， 又∵，即抛物线的图像开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为． 【小问3详解】 存在，理由： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ， ∴， ∴， 如图所示，连接， ①，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴当点的坐标为时，； 过点作，交轴与点， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 过点作，交轴与点， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 此时点在轴上，不符合题意，舍去． 综上所述：当在轴上的点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数求二次函数解析式，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，勾股定理，直角三角形两锐角互余，面积的计算等知识点，其中（3）的分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年九年级模拟检测数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A. –（－2）和|－2| B. 和2 C. －和－2 D. 和－ 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 据报道，超过515000000名观众通过中国中央广播电视总台收看了2022年北京冬奥会开幕式，将515000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，抽取七名学生收集废旧电池的数量（单位：分）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中数和众数分别是（ ） A. 4，3 B. 3，3 C. 4，5 D. 3，5 6. 如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的左视图不相同，则取走的正方体是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线之间，，．则的度数为（ ） A. 45° B. 60° C. D. 75° 8. 如图，已知A，B、C，D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD=110°，则∠AEB的度数为( ) A. 70° B. 35° C. 40° D. 20° 9. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，点A，B，C，D都在上，交于点E，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图，在平行四边形ABCD中，F，G分别为CD，AD的中点，BF=2，BG=3，，则BC的长度为（ ） A. B. C. 2.5 D. 12. 如图，矩形中，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 某商店销售、、三种型号的饮料，随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元，已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元．问：、两种饮料调价前的单价各为多少？设、两种饮料调价前的单价分别为元，元，则根据题意可列方程为___________； 14. 如图，某建筑楼顶立有广告牌，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度的斜坡从看台前的处步行15米到达处，此时，测得广告牌底部的仰角为，广告牌顶部的仰角为（身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为 __米（结果保留根号）． 15. 如图，中，，在以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的处，若，则阴影部分面积为_________． 16. 如图，已知抛物线为常数，的顶点为，抛物线与轴交于点，则下列结论：①；②若方程的解是，，且满足，则，；③关于的方程有两个不等的实数根；④，其中，正确的结论有____． 17. 如图，正方形中，，点在边上，将沿对折至，延长交边于点，且，连接，下列结论：①；②；③；④：⑤，其中正确结论有___________ 18. 如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线于点B3，…，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 化简求值，解不等式 （1）先化简，再求值：，并从中选一个合适的数作为的值代入求值． （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 20. 第24界冬奥会将于2022年2月在北京举行，为推广冰雪运动，发挥冰雪项目的育人功能，教育部近年启动了全国冰雪运动特色学校的遴选工作．某中学通过将冰雪运动“旱地化”的方式积极开展了基础滑冰、旱地滑雪、旱地冰球、旱地冰壶等运动项目，现就“学生冰雪活动兴趣爱好”问题，随机调查了该校三年级2班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图． （1）这次统计共抽查了______名学生，请将条形统计图补充完整； （2）如果该校初三年级共有480名学生，估计全校初三年级学生中喜欢基础滑冰项目有多少人？ （3）在被调查的学生中，喜欢旱地滑雪的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校旱地滑雪队，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 21. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，-3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交轴于点D，且BC=2CD． （1）求的值并直接写出点B的坐标； （2）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点G是直线AB上的动点，连接GB，GC，若三角形GBC的面积为4，求点G的坐标． 22. 夏日炎炎，各种各样的防晒用品陆续走红，胶囊患阳伞因其小巧、便携的特点受到了年轻人的喜爱．小红帽百货商店用2000元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家的出行热情高涨，对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用3750元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多5元，进货数量比第一批多了50%． （1）求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； （2）若第二批胶囊遮阳伞按50元/把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于80%，请问最多可以按几折销售?（用不等式解决问题） 23. 在中，分别是的中点，连接并延长至，且使，连接交于点． （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，若是的中点，连接．求证： 24. 已知点E、F分别是四边形边上的点，且与相交于点G． （1）如图①，若，，，且，求证：； （2）如图②，若，，，求证：； （3）如图③，若，，当时，直接写出 25. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）动点在直线上方的二次函数图像上，连接，，设四边形的面积为，求的最大值； （3）当点为抛物线的顶点时，在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $