精品解析：浙江省杭州市西湖区西溪中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 令 ，若 ，则 A. B. C. D. 5. 如图，直线与交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值11，有最小值3 B. 有最大值11，有最小值2 C. 有最大值3，有最小值2 D. 有最大值3，有最小值1 9. 已知函数（为常数，且，），函数的图象和函数的图象关于直线对称． ①函数的图象上的点的纵坐标都小于2． ②若当（为大于0的实数）时，的最大值为，则在此取值范围内，的最小值必为． 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 10. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，直线，在Rt△ABC中，点C在直线上，若∠1=54°，∠2=24°，则∠B的度数为___________. 12. 已知a＝﹣2，则+a＝_____． 13. 已知4个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是_______，_______． 14. 一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是____． 15. 如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片叠合在一起，重叠部分为四边形，且，则四边形ABCD的面积为______． 16. 如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝______，矩形ABCD的面积＝______． 三、解答题（本题有7小题，共66分） 17. 的周长为12，，设． （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）若是等腰三角形，求它的三边长． 18. 关于，的方程组，若，则的取值范围是多少？ 19. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 20. 设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）． （1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式． （2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围． （3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式． 21. 如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点． (1)求证：四边形AECG是平行四边形； (2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长． 22. 在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数的图象都经过点A和点B，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求m的值和一次函数的表达式． （2）当时，直接写出x的取值范围． （3）把函数的图象向下平移n（）个单位后，与函数的图象交于点和，当时，求此时n及的值． 23. 在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点． （1）如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，延长交于点，连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】考查了三角形的三边关系．首先把每三根组合的所有情况列举出来，再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行分析． 【详解】解：其中每三根组合，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5； 其中能组成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三组． 故选：C． 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质逐一进行计算即可. 【详解】A. 与不能合并，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，正确， 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加减法的运算法则以及二次根式的性质是解题的关键. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 4. 令 ，若 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件，得出，即可得出. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为D. 【点睛】此题主要考查不等式的性质，熟练掌握即可解题. 5. 如图，直线与交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到直线在直线上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知不等式的解集为． 6. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】 ①当为锐角三角形时可以画图， 高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， ∴三角形的顶角为150°， 或.故选D. 点睛：等腰三角形定义和性质 定义:两边相等的三角形是等腰三角形. 性质:①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两底角相等; ③等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合.(简称为"三线合一"). 7. 如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，根据平行线分线段成比例和三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 8. 已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值11，有最小值3 B. 有最大值11，有最小值2 C. 有最大值3，有最小值2 D. 有最大值3，有最小值1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴和自变量的取值范围，确定最大值和最小值即可； 【详解】解：， 对称轴为：， ∵，抛物线开口朝上，图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， 离对称轴最远，函数值最大：， 对称轴包含在自变量的范围内， ∴当时，函数值最小：， 综上，函数有最大值11，有最小值2； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的最值．解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 9. 已知函数（为常数，且，），函数的图象和函数的图象关于直线对称． ①函数的图象上的点的纵坐标都小于2． ②若当（为大于0的实数）时，的最大值为，则在此取值范围内，的最小值必为． 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质以及轴对称的性质判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且k＞0，x＞0）， ∴函数图象在第一象限，如图， ∴函数y的最小值大于0， ∵函数的图象和函数的图象关于直线y=1对称， ∴的最大值小于2， ∴函数的图象上的点的纵坐标都小于2．故①正确； 当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，的最大值为a，则其对应点为（m，a）， 那么，点（m，a）关于直线y=1的对称点为（m，2-a）， ∴在此取值范围内，的最小值必为2-a，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，坐标与图形变化-对称，数形结合是解题的关键． 10. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，证明是等边三角形，证得，由折叠可得，由可求出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， 是中点， ，，， ， ， ， 由折叠可得， 设， ∴， ， ，即 ， ， ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，直线，在Rt△ABC中，点C在直线上，若∠1=54°，∠2=24°，则∠B的度数为___________. 【答案】60° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形外角的性质求出∠A的大小，继而根据直角三角形两锐角的关系即可求得答案. 【详解】∵a//b， ∴∠3=∠1=54°， ∵∠3=∠2+∠A， ∴∠A=∠3-∠2=54°-24°=30°， ∵∠ACB=90°， ∴∠B=90°-∠A=60°， 故答案为60°. 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关知识是是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 12. 已知a＝﹣2，则+a＝_____． 【答案】0． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】当a＝﹣2时， 原式＝|a|+a ＝﹣a+a ＝0； 故答案为0 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 13. 已知4个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用算术平均数求法，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案． 【详解】解：由算术平均数定义可知：； 将这组数据按从小到大排列为； 由于有奇数个数，取最中间的数， ∴其中位数为． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键． 14. 一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得V，然后根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：V， ∴， ∴在每个象限内，I随R的增大而减小， ∴当A时，则有：Ω；当A时，则有：Ω； ∴选用灯泡电阻R的取值范围是； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 15. 如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片叠合在一起，重叠部分为四边形，且，则四边形ABCD的面积为______． 【答案】4.5 【解析】 【详解】根据题意判定四边形是平行四边形．过点作于点，过点作于点，利用面积法求得与的数量关系，从而求得该平行四边形的面积． 【解答】解：依题意得：，则四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ． 又， ， 四边形的面积为． 16. 如图是一张矩形纸片ABCD，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；点G在AB边上，把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处．若HF＝1，BF＝8，则BD＝______，矩形ABCD的面积＝______． 【答案】 ①. 29 ②. 420 【解析】 【分析】由折叠的性质得HD=AD，FD=CD，设AD=x，则HD=x，得AB=CD=x+1，BD=x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=90°， 由折叠的性质得：HD=AD，FD=CD， 设AD=x，则HD=x， ∴AB=CD=FD=HD+HF=x+1， ∴BD=FD+BF=x+9， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2=（x+9）2， 解得：x=20或x=-4（舍去）， ∴AD=20，AB=21，BD=x+9=29， ∴矩形ABCD的面积=AD•AB=20×21=420， 故答案为：29，420． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 三、解答题（本题有7小题，共66分） 17. 的周长为12，，设． （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）若是等腰三角形，求它的三边长． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形周长计算公式进行计算即可； （2）分AC为底和腰两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 ∵， 又 ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 ①若AC为底，则BC=AB， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴不存在 ②若AC为腰，则AC=BC=2AB， ∵ ∴ ∴ ∴ 此时存在， ∴的三边长分别为 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的三边关系是解决问题的关键． 18. 关于，的方程组，若，则的取值范围是多少？ 【答案】3＜k＜5. 【解析】 【分析】将两个方程相减，整理可得x-y=k-1，结合得出关于k的不等式组，解不等式组即可. 【详解】解： ①-②，得 2x-2y=2k-2 即 x-y=k-1 ∵ ∴2＜k-1＜4 解，得 3＜k＜5. 故答案为3＜k＜5. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组. 解答本题的关键是把原方程组变形，用k表示x-y的值，再根据x-y的取值范围得到关于k 的一元一次方程组，解不等式组即可求出k的取值范围. 19. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1）且 （2）0或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式以及一元二次方程的定义列不等式组求解即可； （2）先根据题意得出，然后代入解方程得出，，然后分相同的根为1和3两种情况求m的值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴,解得：且． 【小问2详解】 解：∵且，k是符合条件的最大整数， ∴， ∴，解得，． 当相同的根为1时，有，解得； 当相同的根为3时，有，解得． 故m的值为0或． 20. 设一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数，且k≠0）． （1）若函数y1的图象经过点(﹣1，5)，求函数y1的表达式． （2）已知点P(x1，m)和Q(﹣3，n)在函数y1的图象上，若m＞n，求x1的取值范围． （3）若一次函数y2＝ax+b（a≠0）的图象与y1的图象始终经过同一定点，探究实数a，b满足的关系式． 【答案】（1）；（2）当k＜0时，x1＜﹣3；当k＞0时，x1＞﹣3；（3）2a+b＝0． 【解析】 【分析】（1）将点（﹣1，5）代入y1＝kx﹣2k，求得k值，即可得出函数解析式； （2）根据一次函数的性质，由k值判断函数自变量的大小，即可得出结论； （3）根据一次函数y1＝kx﹣2k得y1＝k（x﹣2），可得函数图象经过的定点为（2，0），再将定点坐标代入y2＝ax+b即可求出实数a，b满足的关系式． 【详解】解：（1）∵函数y1的图象经过点（﹣1，5）， ∴5＝﹣k﹣2k， 解得k＝， 函数y1的表达式； （2）当k＜0时，若m＞n，则x1＜﹣3； 当k＞0时，若m＞n，则x1＞﹣3； （3）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2）， ∴函数y1的图象经过定点（2，0）， 当y2＝ax+b经过（2，0）时，0＝2a+b，即2a+b＝0． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与性质并能准确理解题意进行解答是解题的关键． 21. 如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点． (1)求证：四边形AECG是平行四边形； (2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)EF长为cm． 【解析】 【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可； （2）在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出； 【详解】(1)证明：在矩形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA． 由题意，得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠BCA． ∴∠GAH＝∠ECF， ∴AG∥CE． 又∵AE∥CG， ∴四边形AECG是平行四边形． (2)在Rt△ABC中， ∵AB＝4，BC＝3， ∴AC＝5． ∵CF＝CB＝3， ∴AF＝2． 在Rt△AEF中， 设EF＝x，则AE＝4﹣x． 根据勾股定理，得AE2＝AF2+EF2， 即(4﹣x)2＝22+x2． 解得x＝，即线段EF长为cm． 【点睛】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 22. 在直角坐标系中，设反比例函数与一次函数的图象都经过点A和点B，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求m的值和一次函数的表达式． （2）当时，直接写出x的取值范围． （3）把函数的图象向下平移n（）个单位后，与函数的图象交于点和，当时，求此时n及的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）； 【解析】 【分析】（1）由B的坐标代入，求得反比例函数的解析式，进而求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式； （2）根据图像即可求得； （3）根据反比例函数图像上点的坐标特征，求得，由y=2x+2-n过点（-l，-4)，即可求得n=4，根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求得． 【小问1详解】 解：∵过点，把代入反比例函数得： ∴， ∴， ∴ 把点代入反比例函数得： ∴， ∴， ∴， 把、的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 观察图像，当时，的取值范围或； 【小问3详解】 依题意得：把点代入得，， ∴函数的图像向下平移个单位后得到，且过点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴． ∴． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数的解析式，掌握函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与平移变换，是解题的关键． 23. 在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点． （1）如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，延长交于点，连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明：四边形是正方形， ， 平分， ， ，， ， ； ②； （2）， 理由：取的中点，连接，， 四边形是正方形， ，， 为的中点， 为的中位线， ，， 在中，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质证出，由角平分线的性质得出，则可得出结论；②过点作于点，由等腰直角三角形的性质及角平分线的性质可得出结论； （2）取的中点，连接，，由三角形中位线定理得出，，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 ①略； ②过点作于点， ，， ， ， ， ， 平分，，， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $