2026年九年级数学秋季开学学情自测卷（浙江专用，新教材浙教版）

**基本信息** 2026年九年级开学数学学情自测卷，以浙教版八年级下册及九年级上册前三章为范围，通过窗棂图案（传统文化）、绑腿跑活动（校园生活）等情境，设计选择、填空、解答题，含新定义“等腰五边形”探究题，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、二次根式、统计量|以窗棂图案考查几何直观，体现文化传承| |填空题|6/18|概率、多边形内角和、圆的旋转|正多边形边数计算考查推理能力，结合图形变换| |解答题|8/72|二次函数应用、圆的证明、新定义探究|24题“等腰五边形”融合菱形性质，培养创新意识；21题荔枝销售问题体现模型意识，用数学语言解决实际问题|

■■■ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 23 23 23 123 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 X 4 5 5 5 5 5 破。 6 6 6 6 6 5.正确填涂 78 78 45678 678 45678 123456789 78 12345678 78 缺考标记 9 789 9 9 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C]D] 2「A1B1[C1[D1 6[A1B1[C1D1 10[A][B][C][D] 艾阙 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][BJ[C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题 （每小题3分，共18分) 11 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题： 警 17.(8分) 妇 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 珠 B A 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E A ◇ 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) (图) (图2) (图3) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：浙教版2024八年级下册全部+九年级上册前三章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．下列有关三角形的事件中，是不可能事件的是（     ） A．两个等边三角形全等 B．三角形两边之差大于第三边 C．等腰三角形是等边三角形 D．任意两个三角形的内角和相等 6．如图，的周长为36，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．24 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 9．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 12．某运动场馆的平面轮廓为正多边形，经测量，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为______． 13．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 14．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 15．如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，连接、，若，，，则四边形的面积为_______________． 16．如图，正方形的边长为4，E是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，折痕为．交于点，连接，则的最大值为______________． 三.解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）计算与解方程： (1)计算： (2)解方程： 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 19．（8分）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 20．（8分）如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 21．（8分）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 22．（10分）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 24．（12分）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D B B B B A A D 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11． 12． 8 13． 14． 15． 16． 三.解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分） 【详解】（1） 解： ， ，（2分） ， ， ；（2分） （2）， 解： （2分） 则 或 解得 ，．（2分） 18．（8分） 【答案】(1)解：如图，即为所求； ；（3分） (2)如图，即为所求； ；（3分） 线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积．（2分） 19．（8分） 【详解】（1）解：∵将15名学生的身高（单位：）数据由小到大排列第8个数据为中位数， ∴； ∵数据166出现3次，是出现次数最多的数据， ∴， 故答案为：167，166；（2分） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ，（2分） ∵，方差越小，学生获胜机率越大． ∴胜机率大的是甲组， 故答案为：甲组；（1分） （3）解：由已知15名学生的身高和甲组，乙组的身高，可得丙组学生的身高为：168，169，169，171，173， 列表如下： 168 169 169 171 173 168 - 169,168 169,168 171,168 173,168 169 168,169 - 169,169 171,169 173,169 169 168,169 169,169 - 171,169 173,169 171 168,171 169,171 169,171 - 173,171 173 168,173 169,173 169,173 171,173 - 一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到两名引导员身高相同有2种可能的结果，（2分） ∴P（恰好抽到两名引导员身高相同）．（1分） 20．（8分） 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线分别交、的延长线于点、， ∴，（2分） ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（2分） （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，（2分） 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故．（2分） 21．（8分） 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ，（2分） 整理得；（1分） （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：，（2分） 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴，（2分） ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克．（1分） 22．（10分） 【详解】（1）证明：平分， ， ， ，（2分） 为的直径， ， ， ；（2分） （2）解：过点作于，如图，（1分） ，， ， ，（2分） 在中，，， 则，（1分） ， ， ， ．（2分） 23．（10分） 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；．（2分） （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或，（1分） 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或．（2分） ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线，（1分） 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大，（2分） 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：．（2分） 24．（12分） 【详解】（1）证明：已知四边形是菱形，，，又，，即， 五边形满足等腰五边形全部定义条件， 五边形是等腰五边形．（2分） （2）证明：连接、， 在和中： ， ，（2分） ，， 为等腰三角形， ， ， ， 即．（1分） （3）解：矩形，， 设剪掉的全等直角三角形直角边长为，斜边为，满足3条边相等： 情况1:令 ， ，（舍去，无法剪出三角形）； 情况2: ， ，（舍去）；（1分） 情况3: 如图所示，三边相等， 令 ， ， ，； 斜边为；（2分） 情况4：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况5：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为；（2分） 情况6：如图所示，三边相等， ， ， 解得，斜边为；（2分） 此时直角三角形三边为，，或，，或，，或，，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题： 17．（8分）         请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：浙教版2024八年级下册全部+九年级上册前三章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 4．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．下列有关三角形的事件中，是不可能事件的是（     ） A．两个等边三角形全等 B．三角形两边之差大于第三边 C．等腰三角形是等边三角形 D．任意两个三角形的内角和相等 6．如图，的周长为36，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．24 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 9．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 12．某运动场馆的平面轮廓为正多边形，经测量，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为______． 13．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 14．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 15．如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，连接、，若，，，则四边形的面积为_______________． 16．如图，正方形的边长为4，E是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，折痕为．交于点，连接，则的最大值为______________． 三.解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）计算与解方程： (1)计算： (2)解方程： 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 19．（8分）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 20．（8分）如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 21．（8分）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 22．（10分）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 24．（12分）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学 : : (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：浙教版2024八年级下册全部+九年级上册前三章 第一部分（选择题共30分） .: : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的.将唯一正确的答案填涂在答题卡上 1.窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，是轴 对称图形但不是中心对称图形的是( . : 2.下列各式中，属于最简二次根式的是( A.-V6 B.V0.5 C. D.⑧ 3.某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4,8.3,8.9,8.5,8.7,8.1,8.6,8.4,8.5,8.6.去 掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据.在这两组数据的统计量中，会发生变化的是() : A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 O 4.己知x1、x2是一元二次方程3x2+2x-6=0的两根，则(x1+1)(x2+1)的值是（) : A.-3 B.- c.- D. 5.下列有关三角形的事件中，是不可能事件的是( 北 的 A.两个等边三角形全等 B.三角形两边之差大于第三边 C.等腰三角形是等边三角形 D.任意两个三角形的内角和相等 : 6.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点，BD=12,则△DOE的周长 : : 为() O 试题第1页（共6页） .: : 6学科网·上好课 A.14 B.15 C.16 D.24 7.若关于x的函数y=(a-4)x2-x是二次函数，则a的取值范围() A.a≠0 B.a≠4 C.a<4 D.a>4 8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD1AB,连接BC,若LDCB=30°，⊙O的半径为6，则BC的长为() D A.6 B.6v3 C.3 D.3V3 9.在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形A'BC'D.当点B落在线段BC 的延长线上时，A'B'与CD相交于点H,则线段BH的长为() C B B A A.5 89 C.4 0.号 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a<0;②c>0: ③b2-4ac>0;④3a+b=0,其中，正确的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分（非选择题共90分） 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分. 11.在7张完全相同的卡片上分别写上数字1,1,2,2,3,4,5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为 奇数的卡片的概率为 12.某运动场馆的平面轮廓为正多边形，经测量，其内角和比外角和大720°，则该正多边形的边数为 13.如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转45°得到半圆0'，点B的对应点为B'.若AB=6, 则阴影部分的面积为 (结果保留π). B 14.己知函数y=ax2+bx(a≠0)的图象和函数y=t的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx- t=0的解是 y=ax+bx y=t -0.50 x=1 15.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连接AF、CE,若LB=60°，AB=4,AD=4, 则四边形AECF的面积为 0 16.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边上一动点，将正方形折叠，使得点B落在CD边上的点N处， 点A落在M处，折痕为EF.BD交MN于点Q,连接QC,则S△QDc的最大值为 试题第3页（共6页） O 三.解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.(8分)计算与解方程： (1)计算：√27-V3×(3+3) (2)解方程：3(x+4)=(x+4)(x+1) 18.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(-1,4),C(0,2) 年 外 B 张 A C 河 样 (1)请作出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1,并写出B1的坐标_； (2)平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(-5，-2)，画出平移后对应的△A2B2C2,并求出线段BC在平移 过程中扫过的面积： 19.(8分)为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力.某校七年级将在操场上 举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于 起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进).为做准备，七(1)班选拔了15名学生参加训练，并 将15名学生的身高（单位：cm)数据统计如下：162,163,163,165,166,166,166,167,167,168， 169,169,171,173,176, 性 (1)15名学生的身高数据如下表： ::.:0 平均 中位 众 数 数 数 167.4 根据信息填空：m=」 (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越 小，则该组学生获胜概率越大.据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是：（填“甲组”或“乙组”）： 甲组学生 163 166 166 167 167 试题第4页（共6页） : : 的身高 乙组学生 162 163 165 166 176 的身高 3)根据安排，剩下的同学组成丙组. 从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求 恰好抽到两名引导员身高相同的概率， 20.(8分)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上.直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H, 且AG=CH. E D % C ·: H (1)求证：四边形BHDG是平行四边形； : (2)若四边形BHDG是菱形，且AB=4,BC=8,求CH的长 O 21.(8分)荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便.某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克 售出时，每天能售出40千克.市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克.设 降价x元 斟 (1)设销售利润为y元，请写出y关于x的函数关系式： (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到480元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 22.(10分)如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD1BC交BC于点D,直径AE平分∠BAD交BC于点F,连接BE. .: : E (1)证明：∠AEB=∠AFD: (2)若AB=10,BF=5,求AF的长， 23.（10分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为AL,-4a). (1)请用含a的式子表示b,c; : 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=2ax+2a于点N,若点M、N重合，规定MN=0: ①若a=1,MW=16,求t的值： ②当点P从点B(a,0)运动到点C(4a,0)的过程中（不包含点B与点C),MN的长存在最大值，求a的取值 范围. 24.（12分)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究. 新定义：如图1，在凸五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,则称这样的五边形为“等腰五边 形” D B D (图) (图2) (图3) (备用图)》 (1)【概念理解】：如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且CE=CF,连接EF.求证：五 边形ABEFD是“等腰五边形”； (2)【性质证明】：如图1，在等腰五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,∠B=∠E.求证：∠C=∠D: (3)【特例探究】：如图3，在矩形纸片ABCD中，AB=9,BC=6,剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后 的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等.请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长 试题第6页（共6页） 2026年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 2．下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，此项不是最简二次根式； C、，此项不是最简二次根式； D、，此项不是最简二次根式． 3．某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】D 【分析】先将原数据排序，去掉一个最高分和一个最低分得到新数据，再分别计算两组数据的各统计量，判断发生变化的统计量即可． 【详解】解：∵原数据总和为，原平均数为，新数据总和为，新平均数为， ∴平均数不变，排除A． ∵原数据中都出现次，都是众数，新数据中仍都出现次，众数不变， ∴众数不变，排除B． 将原数据从小到大排序得：， 去掉最低分和最高分，得到新数据排序为：， ∵原数据中位数为第、个数的平均数，即，新数据中位数为第、个数的平均数，即， ∴中位数不变，排除C． ∵去掉一个最低分和一个最高分后，新数据波动变小， ∴方差发生变化． 4．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 5．下列有关三角形的事件中，是不可能事件的是（     ） A．两个等边三角形全等 B．三角形两边之差大于第三边 C．等腰三角形是等边三角形 D．任意两个三角形的内角和相等 【答案】B 【分析】先明确不可能事件的定义，即一定条件下一定不发生的事件，再结合三角形相关性质逐一判断各选项，即可得到答案． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 选项A，边长相等的两个等边三角形全等，边长不等的两个等边三角形不全等，因此“两个等边三角形全等”是随机事件，不符合要求； 选项B，根据三角形三边关系，三角形任意两边之差一定小于第三边，不可能大于第三边，因此“三角形两边之差大于第三边”是一定不发生的事件，是不可能事件，符合要求； 选项C，腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，因此“等腰三角形是等边三角形”是随机事件，不符合要求； 选项D，任意三角形的内角和都是，因此“任意两个三角形的内角和相等”是必然事件，不符合要求． 6．如图，的周长为36，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．24 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：平行四边形的周长为36， ， ，， ∴，， ， ， ， 的周长为． 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 8．如图，为的直径，弦，连接，若，的半径为6，则的长为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，利用垂径定理的性质求得，再利用等边三角形的判定求出答案． 【详解】如图所示，连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵的半径为6， ∴． 9．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先证明，再证明，设，则根据勾股定理，得，解答即可； 【详解】解：连接， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，，， ，，，， ∵在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的长为. 10．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11．在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 12．某运动场馆的平面轮廓为正多边形，经测量，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题根据多边形内角和公式与多边形外角和定理，设正多边形边数为，列一元一次方程即可求解. 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得该多边形内角和为， 根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为， 由题意列方程得： 解得. 13．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 15．如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，连接、，若，，，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再证△是等边三角形，得，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，， 、分别是、的中点， ，， ． 又， 四边形是平行四边形， ，， △是等边三角形， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 16．如图，正方形的边长为4，E是边上一动点，将正方形折叠，使得点落在边上的点处，点落在处，折痕为．交于点，连接，则的最大值为______________． 【答案】 【分析】过N作于G，交于O，连接并延长交于H，根据正方形的性质、矩形的判定与性质，勾股定理可得出，，结合对称的性质可证明，得出，，根据余角的性质得出，证明，得出，，则，过Q作于K，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，由三角形面积公式求出，则当最大时，最大，结合，，得出当最小时，最大，在中，，故当Q、H重合时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：过N作于G，交于O，连接并延长交于H， ∵正方形的边长为4， ∴，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵对称， ∴，，， 又， ∴， ∴，， 又，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴，即， 过Q作于K， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 又， ∴当最大时，最大， 又， ∴当最小时，最大， 在中，， ∴当Q、H重合时，最小，最小值为4，此时， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 三.解答题（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（8分）计算与解方程： (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类项即可得到结果； （2）移项后提取公因式分解因式，即可求出方程的解． 【详解】（1） 解： ， ， ， ， ； （2）， 解： 则 或 解得 ，． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)请作出关于点成中心对称的，并写出的坐标 ； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并求出线段在平移过程中扫过的面积； 【答案】(1)解：如图，即为所求； ； (2)如图，即为所求； ； 线段在平移过程中扫过的面积为 【分析】（1）根据中心对称的性质，分别作出、、的对应点、、，再依次连接，即可得到，根据图形可得到的坐标； （2）根据题意可得到点的平移规律，再根据平移规律得到各个点的对应点，再依次连接可得到，线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积，利用割补法求出线段在平移过程中扫过的面积． 【详解】（1）略 （2）解：线段在平移过程中扫过的面积四边形的面积． 19．（8分）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【答案】(1)167，166 (2)甲组 (3) 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，方差的确定或计算，用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计量的确定方法或计算公式，以及用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的确定方法即可得到m，n的值； （2）利用方差公式分别求出甲，乙两组的方差，再比较即可得到两组学生中，获胜机率大的组； （3）先确定丙组5人的身高，再利用列表法或画树状图法即可求出恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【详解】（1）解：∵将15名学生的身高（单位：）数据由小到大排列第8个数据为中位数， ∴； ∵数据166出现3次，是出现次数最多的数据， ∴， 故答案为：167，166； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，方差越小，学生获胜机率越大． ∴胜机率大的是甲组， 故答案为：甲组； （3）解：由已知15名学生的身高和甲组，乙组的身高，可得丙组学生的身高为：168，169，169，171，173， 列表如下： 168 169 169 171 173 168 - 169,168 169,168 171,168 173,168 169 168,169 - 169,169 171,169 173,169 169 168,169 169,169 - 171,169 173,169 171 168,171 169,171 169,171 - 173,171 173 168,173 169,173 169,173 171,173 - 一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到两名引导员身高相同有2种可能的结果， ∴P（恰好抽到两名引导员身高相同）． 20．（8分）如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线分别交、的延长线于点、， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行且相等，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形； （2）根据菱形四边相等，在直角三角形中用勾股定理列方程求出，再等量代换得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故． 21．（8分）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 22．（10分）如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 24．（12分）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究． 新定义：如图1，在凸五边形中，，，，则称这样的五边形为“等腰五边形”． (1)【概念理解】：如图2，在菱形中，点、分别在边、上，且，连接．求证：五边形是“等腰五边形”； (2)【性质证明】：如图1，在等腰五边形中，，，．求证：； (3)【特例探究】：如图3，在矩形纸片中，，，剪裁掉两个全等的小三角形，使裁剪后的纸片为“等腰五边形”，且该“等腰五边形”中至少有3条边相等．请直接写出裁剪掉的小三角形的各边长． 【答案】(1)证明：已知四边形是菱形，，，又，，即， 五边形满足等腰五边形全部定义条件， 五边形是等腰五边形． (2)证明：连接、， 在和中： ， ， ，， 为等腰三角形， ， ， ， 即． (3)，，或，，或，，或，，． 【分析】（1）只需证明3个条件：、、，利用菱形四边相等、的条件做线段等量代换，再证角相等； （2）已知，，，连接、构造全等三角形；先证，得到、，再由等腰底角相等，两角相加即可推出 ； （3）矩形长，宽，要剪出等腰五边形，只能在矩形一组对角处各剪去一个全等直角三角形；结合“至少3条边相等”分类讨论边长等量关系，筛选符合凸五边形、边长正数的方案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：矩形，， 设剪掉的全等直角三角形直角边长为，斜边为，满足3条边相等： 情况1:令 ， ，（舍去，无法剪出三角形）； 情况2: ， ，（舍去）； 情况3: 如图所示，三边相等， 令 ， ， ，； 斜边为； 情况4：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况5：如图所示，四边相等， ， ， 解得，斜边为； 情况6：如图所示，三边相等， ， ， 解得，斜边为； 此时直角三角形三边为，，或，，或，，或，，． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $