精品解析：重庆第一 一0中学校2021-2022学年九年级上学期入学数学试卷

重庆第一一0中学校2021－2022学年九年级上学期入学数学试卷 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可． 【详解】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意； B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意； C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意； D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握要先找到对称中心，并能绕着对称中心旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，是解题的关键． 2. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后画出数轴，并在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解：， 解得：， 表示在数轴上，如图所示： 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，求解即可得到答案，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是， 故选：D． 4. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的边相等 D. 三个角分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，对顶角相等，全等三角形的性质与判定逐项分析判断即可． 【详解】A.同位角相等的前提条件是两直线平行，故该选项是假命题，不符合题意； B.对顶角相等，是真命题，符合题意； C.全等三角形的对应边相等，故该选项是假命题，不符合题意； D.三个角分别相等的两个三角形不一定全等，还至少得满足一条边相等，故该命题是假命题，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角相等，全等三角形的性质与判定，熟练以上知识点是解题的关键． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项可得：，再两边都加9，，从而可得答案. 【详解】解： 移项得： 故选A 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解题的关键. 6. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD， ∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°， ∴AF＝2OF＝2， ∴OA＝ ＝＝， ∴AB＝OA＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键． 7. 已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（ ） A. 6 B. ﹣6 C. 1 D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】先将a2b+ab2因式分解转化为ab（a+b），然后再整体代入计算即可． 【详解】解：因为ab＝﹣2，a+b＝3， 所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6． 故选B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式分解因式是解答本题的关键． 8. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，CE平分交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（ ） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得的度数，再根据角平分线算出的度数，再由“三线合一”的性质得的度数，即可求出结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∵CE平分， ∴， ∵，AD是BC上的中线， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 9. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝45°，∠B＝105°，把△ABC沿水平向右方向平移到△DEF的位置，若CF＝3，则下列结论中错误的是（　　） A. AD＝3 B. ∠F＝30° C. AB∥DE D. DC＝4 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：∵把△ABC沿水平向右方向平移到△DEF的位置，AC＝8，∠A＝45°，∠B＝105°，CF＝3， ∴CF＝AD＝3，∠F＝∠ACB＝180°−∠A−∠B＝180°−105°−45°＝30°，DC=AC-AD=8-3=5， ∠A=∠EDF=180°-∠E-∠F=180°-105°-30°=45°， ∴AB∥DE， ∴A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键． 10. 在等腰中，，，D、E分别为边上的中点，连接并延长到F，使得，连接，则长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可． 【详解】解：∵，，E为边上的中点， ∴， 在中， ， ∵D、E分别为边上的中点， ∴， ，即， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴. 11. 如图，菱形ABCD中，∠D＝60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．若EF＝4，则AEF的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证△ABC、△ADC都是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACF=60°，再证△ABE≌△ACF（SAS），得AE=AF，∠BAE=∠CAF，然后证△AEF是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AD=DC，∠B=∠D=60°， ∴△ABC、△ADC都是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACF=60°， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴AE=AF，∠BAE=∠CAF， ∴∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°， 即∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=4， 过点A作AH⊥EF于H，如图所示： 则EH=FH=EF=2， 在Rt△AEH中，由勾股定理得：, ∴S△AEF=EF•AH=×4×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，证明△AEF是等边三角形是突破点． 12. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　） A. 15 B. 14 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a，相加即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得， ∵不等式组至少有五个整数解， ∴； ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且，a为整数， 又∵为整数， ∴a可以取，3，5， ∴所有整数a之和为：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. “x与4的和不小于x的7倍”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列一元一次不等式，读懂题意，根据题意抽象出一元一次不等式是解题的关键． 14. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 15. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】方程两边乘（x-2），把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x=2，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解： 方程两边乘（x-2）得：2x=m+x-2， ∴x=m-2， ∵方程有增根， ∴x-2=0， ∴m-2=2， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键． 16. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的内角和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由外角和除以每一个外角的度数求出边数，再由内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 所以内角和为：． 17. 如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点H，作于点G，先证明，可得，则可得到；设，则，由平行线性质及折叠角性质可得，，在直角三角形中，由勾股定理可得方程，解得，再根据，可得． 【详解】解：设交于点H，作于点G，如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得：或9（9不合题意，舍去）． ∴， 设，则， ∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得，， 解得：， ∴，， ∵， ∴． 18. 重庆新晋网红打卡点光环购物公园一开业便受到市民热捧，连中央电视台都为它宣传．某奶茶店开业当天销售甲、乙、丙三款奶茶的数量之比为3：3：4，甲、乙、丙三款奶茶的单价之比为3：2：4．随着市民追捧热度的下降，端午节当天三款奶茶的销售数量与开业当天相比有所下降，甲奶茶下降的数量占端午节三款奶茶总销量的，甲、乙奶茶下降的销售数量之比为5：7，乙、丙奶茶的销售数量之比为4：11且甲奶茶的单价提高40%，甲奶茶下降的销售额占端午节三款奶茶总销售额的，则端午节期间甲奶茶的销售额与三款奶茶的总销售额之比为 ___． 【答案】． 【解析】 【分析】根据三款奶茶的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即开业当天甲、乙、丙三款奶茶的销售数量为、、，单价为、、，可以表示出甲奶茶下降的销售数量，因问题中设计到甲的销售数量，因此可以设端午节甲奶茶的销售数量为，再根据题意，计算出端午节三款奶茶总销售数量、乙奶茶的销售数量、丙奶茶的销售数量，即可列出等式关系，最后计算端午节甲奶茶的销售额，以及端午节三款奶茶总销售额，即可求解． 【详解】解：由题意可设开业当天甲、乙、丙三款奶茶的销售数量为、、，单价为、、，端午节甲奶茶的销售数量为， 甲奶茶下降的销售数量为， 甲奶茶下降的数量占端午节三款奶茶总销量的， 端午节三款奶茶总销量为， 甲、乙奶茶下降的销售数量之比为， 乙奶茶下降的销售数量为， 乙奶茶的销售数量为， 乙、丙奶茶的销售数量之比为， 丙奶茶的销售数量为， ， 解得， 在端午节时甲奶茶的单价提高， 甲奶茶端午的销售额为， 甲奶茶下降的销售额为， 甲奶茶下降的销售额占端午节三款奶茶总销售额的， 端午节三款奶茶总销售额为， 端午节期间甲奶茶的销售额与三款奶茶的总销售额之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键． 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）用公式法解方程： （2）化简： 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）先求△=，代入公式，求出，即可； （2）先把被除式因式分解，除式通分化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1）用公式法解方程：， △=， ， ∴，； （2）， =， =， =． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法与分式乘除化简计算，掌握一元二次方程的指定解法与分式乘除化简计算技巧是解题关键． 20. 如图，已知平行四边形ABCD． （1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长CB到E使CE＝CD，然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F； （2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，ADBC，则CE＝AB，再证明∠ABF＝∠F得到AB＝AF，然后证明BE＝DF，从而可判断四边形BEDF为平行四边形． 【小问1详解】 如图，DE、BF为所作； 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∵CE＝CD， ∴CE＝AB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵AFBC， ∴∠CBF＝∠F， ∴∠ABF＝∠F， ∴AB＝AF， ∴CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF， ∴BE＝DF， ∵BEDF， ∴四边形BEDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了作线段，作角平分线，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）． （1）将△ABC经过平移得到，若点C的应点的坐标为（2，5），则点A，B的对应点的坐标分别为 ； （2）在如图的坐标系中画出，并画出与关于原点O成中心对称的； （3）在坐标系中画出绕点O逆时针旋转90度后所得，则的坐标为 ． 【答案】（1）见解析，（﹣1，2）、（3，2） （2）见解析 （3）见解析，（﹣5，2） 【解析】 【分析】（1）利用点C和的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点的坐标，再描点即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可． 【小问1详解】 如图，为所作，（﹣1，2）、（3，2）； 故答案为（﹣1，2）、（3，2）； 【小问2详解】 如图，为所作； 【小问3详解】 如图，为所作，（﹣5，2）． 故答案为（﹣5，2）． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 22. 小融同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 4 … 请按要求完成下列各小题： （1）该函数的解析式为 ，a的值为 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）结合函数的图象，解决下列问题： ①写出该函数的一条性质： ； ②如图，在同一坐标系中是一次函数的图象，根据图象回答，当时，自变量x的取值范围为 ． 【答案】（1），（2）详见解析；（3）①当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；②x的取值范围：0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）将x=-3，y=2，x=-2，y=1代入函数求出m、n的值即可求得函数的解析式，将x=2代入所求函数解析式即可求得a； （2）先描出各点，再顺次连接各点即可； （3）①根据图象即可求解（答案不唯一）；②根据图象可知时即为函数的图象在函数y=x－1图象下方部分x的取值范围． 【详解】（1）将x=-3，y=2，x=-2，y=1代入函数可得： ， 整理得：， 解得： ∴函数的解析式为： 将x=2代入可得：， 即； （2）该函数的图象如图所示： （3）①由函数图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大， 故答案为：当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一） ②由（2可知：时，即为函数的图象在函数y=x－1图象下方部分 ∴自变量x的取值范围为：0＜x＜2． 【点睛】本题考查一次函数图象图象及其性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想，正确画出函数图象是解题的关键． 23. 今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张． （1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？ 【答案】（1）弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；（2）购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元 【解析】 【分析】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”列分式方程解答即可； （2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得： ， 解得x=160， 经检验，x=160是原方程的解，且符合题意， ∴0.75x=120， 答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元； （2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，由题意得： 5m+3（300-m）≥1200， 解得m≥150； 设购买休闲椅所需的费用为W元， 则W=160m+120（300-m）， 即W=40m+36000， ∵40＞0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m=150时，W有最小值，W最小=40×150+36000=42000， 300-m=300-150=150； 答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题，属于中考常考题型． 24. 若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除；．故16354能被13整除． （1）115366 （填能或不能）被13整除， 12909 （填能或不能）被13整除； （2）已知一个五位正整数能被13整除，求m的值； （3）已知一个五位正整数既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数． 【答案】（1）不能，能；（2）8；（3）59553或56550或51558 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出算式求解即可； （2）根据题意可得+4x5=1300+24+10m=1326+10m-2，则10m-2能被13整除，即5m-1能被13整除，由0≤m≤9可得5m-1=0或13或26或39，由m为整数可得m的值为8； （3）由题意可得出4（y-x）-2能被13整除，x+y能被3整除，由0≤x≤9，0≤y≤9得-38≤4（y-x）-2≤34，可得4（y-x）-2=-26或-13或0或13或26，由y-x为整数得y-x=-6或7，结合x+y能被3整除可得x，y的值，即可求解． 【详解】解：（1）11536+6×4=11560，1156+0×4=1156，115+6×4=139，13+9×4=49， ∵49不是13的倍数， ∴115366不能被13整除， 1290+9×4=1326，132+6×4=156，15+6×4=39，39÷13=3， ∵39是13的倍数， ∴12909能被13整除， 故答案为：不能，能； （2）由题意知：+4×5=1300+24+10m=1326+10m-2， ∵1326能被13整除， ∴10m-2能被13整除， ∴5m-1能被13整除， ∵0≤m≤9， ∴-1≤5m-1≤44， ∴5m-1=0或13或26或39， ∵m为整数， ∴m的值为8； （3）∵既能被13整除，又能被3整除， ∴+4y能被13整除，5+5+5+x+y=15+ x+y能被3整除， ∴5055+100x+4y=389×13-2+13×8x-4x+4y=13×(389+8x)+4(y-x)-2， ∴4(y-x)-2能被13整除，x+y能被3整除， ∵0≤x≤9，0≤y≤9， ∴-38≤4(y-x)-2≤34， ∴4(y-x)-2=-26或-13或0或13或26， ∵y-x为整数， ∴y-x=-6或7， ∵x+y能被3整除， ∴或 或， ∴这个五位数为59553或56550或51558． 【点睛】本题考查有理数混合运算的应用，不等式的性质，理解题意，根据题意列式计算是解题的关键． 25. 如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处． （1）求F点的坐标； （2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标； （3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标． 【答案】（1）（4，5）；（2）（−，4）；（3）（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）． 【解析】 【分析】（1）先求出点E坐标是（，7），由折叠的性质可得EF＝CE＝，由勾股定理可求BF的长，即可求解； （2）连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根据矩形的对角线互相平分，即可求解； （3）分3种情况：①当DF为菱形的对角线时，②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，分别求解，即可． 【详解】解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3， ∴点E坐标是（，7）， ∵四边形OABC为矩形， ∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝，BE＝BC−CE＝， ∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处， ∴EF＝CE＝， ∴BF＝， ∴AF＝7−2＝5， ∴点F（4，5）； （2）如图2中，连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB， 当四边形PEFD是矩形时，△PDE≌△FDE≌△CED， 设OD=x，则CD=DF=7-x，FM=7-2-x=5-x， 在中，，解得：x=2， ∴D（0，2）， ∵E（，7），DJ＝JE， ∴J（，）， ∵PJ＝JF， ∴P（−，4）； （3）①当DF为菱形的对角线时，M、N分别在AB与OC上， ND=NF， 设N（0，y）， ∴(y-2)2=，解得：， ∴N（0，），FM=DN=-2=, ∴AM=5-=， ∴M（4，）； ②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合， ND=DF=5， ∴MF=5，AM=5+5=10， ∴M（4，10），N（0，7）； ③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合， ND=DF=5， ∴ON=5-2=3， ∴N（0，-3），M（4，0）． 综上所述：M，N的坐标为：（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换，图形与坐标，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想方法，属于中考压轴题． 四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26. 在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）如图1，当时，连接，连接交于点．若平分，． ①求证：； ②求的长． （2）如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①证明：，， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ， ， ； ② （2）解：， 理由：如下图所示，延长至点，使，连接， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①证明，进而得出，得出，，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果； ②根据角平分线的定义可证：，根据直角三角形的两个锐角互余可证：，根据等角对等边可证，根据等腰直角三角形的性质即可求出的长度； （2）延长至点，使，连接，得出，再判断出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：略 ②解：如下图所示，过点作， ，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆第一一0中学校2021－2022学年九年级上学期入学数学试卷 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 4. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 同位角相等 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的边相等 D. 三个角分别相等的两个三角形全等 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（ ） A. 6 B. ﹣6 C. 1 D. ﹣1 8. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，CE平分交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（ ） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 9. 如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝45°，∠B＝105°，把△ABC沿水平向右方向平移到△DEF的位置，若CF＝3，则下列结论中错误的是（　　） A. AD＝3 B. ∠F＝30° C. AB∥DE D. DC＝4 10. 在等腰中，，，D、E分别为边上的中点，连接并延长到F，使得，连接，则长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 11. 如图，菱形ABCD中，∠D＝60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．若EF＝4，则AEF的面积为（　　） A. B. C. D. 12. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　） A. 15 B. 14 C. 8 D. 7 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. “x与4的和不小于x的7倍”用不等式表示为______． 14. 因式分解：=___． 15. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为________． 16. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的内角和是_____． 17. 如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 18. 重庆新晋网红打卡点光环购物公园一开业便受到市民热捧，连中央电视台都为它宣传．某奶茶店开业当天销售甲、乙、丙三款奶茶的数量之比为3：3：4，甲、乙、丙三款奶茶的单价之比为3：2：4．随着市民追捧热度的下降，端午节当天三款奶茶的销售数量与开业当天相比有所下降，甲奶茶下降的数量占端午节三款奶茶总销量的，甲、乙奶茶下降的销售数量之比为5：7，乙、丙奶茶的销售数量之比为4：11且甲奶茶的单价提高40%，甲奶茶下降的销售额占端午节三款奶茶总销售额的，则端午节期间甲奶茶的销售额与三款奶茶的总销售额之比为 ___． 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）用公式法解方程： （2）化简： 20. 如图，已知平行四边形ABCD． （1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）． （1）将△ABC经过平移得到，若点C的应点的坐标为（2，5），则点A，B的对应点的坐标分别为 ； （2）在如图的坐标系中画出，并画出与关于原点O成中心对称的； （3）在坐标系中画出绕点O逆时针旋转90度后所得，则的坐标为 ． 22. 小融同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息： x … 0 1 2 3 … y … 2 1 0 a 4 … 请按要求完成下列各小题： （1）该函数的解析式为 ，a的值为 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）结合函数的图象，解决下列问题： ①写出该函数的一条性质： ； ②如图，在同一坐标系中是一次函数的图象，根据图象回答，当时，自变量x的取值范围为 ． 23. 今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张． （1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？ （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？ 24. 若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除；．故16354能被13整除． （1）115366 （填能或不能）被13整除， 12909 （填能或不能）被13整除； （2）已知一个五位正整数能被13整除，求m的值； （3）已知一个五位正整数既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数． 25. 如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处． （1）求F点的坐标； （2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标； （3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标． 四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26. 在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． （1）如图1，当时，连接，连接交于点．若平分，． ①求证：； ②求的长． （2）如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $