精品解析：重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

初26届数学入学定时作业 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（ 　） A. B. C. D. 2. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. 39600 B. 396000 C. 0.00396 D. 0.0000396 3. 为完成下列任务，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某市种植水蜜桃的甜度和含水量 B. 调查某种灯泡的使用寿命 C. 在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D. 对全校所有学生通过问卷进行全面调查 4. 的运算结果在最近的（ ）数之间 A. -5和-6 B. -6和-7 C. -7和-8 D. 不能确定 5. 如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则( ) A. B. C. D. 6. 美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 7. 关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 下列语句中正确的个数是（ ） (1)每个定理都有逆定理 (2)在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30° (3)如果CA=CB,则过点C的直线垂直平分线段AB (4)到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 11. 计算：______． 12. 2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为______． 13. 一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力 方向的夹角的度数为_______________． 14. 在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是_____． 15. 如图，在 中，，，点O为 中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为______，的面积为______． 16. 对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是______；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为______． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、18题，每小题8分，其余每小题10分，共86分） 17. 解不等式组 并写出不等式组的整数解． 18. 综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：四边形是平行四边形， 与交于点，点、是直线 上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 19. 牡丹花是中国传统名花之一，以其华丽的姿态，鲜艳的色彩和深厚的文化内涵，被誉为花中之王．某校将牡丹花的种植纳入劳动实践课，学生们在科研人员的指导下参与种植牡丹花，既学习了牡丹花的知识，又锻炼了劳动技能．该校为了了解哪种品种的牡丹花长势更好，从同一期种植的A，B两种牡丹花中各随机测量了10株幼苗的高度x（单位：），并对数据进行整理、描述和分析（共分为四组：欠佳，中等，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10株A种牡丹花幼苗的高度：． 10株B种牡丹花幼苗的高度属于良好的数据是：． 两种牡丹花幼苗生长高度统计表 类型 平均数 中位数 众数 A种牡丹花 a B种牡丹花 8 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）一般情况下同一期种植的牡丹花幼苗高度越高，牡丹花的整体生长状况就越好，试判断A，B两种牡丹花哪一种整体生长状况更好一些，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）若该校这一期共种植了A种牡丹花200株、B种牡丹花300株，请估计在这些牡丹花中，生长高度为良好及以上的牡丹花共有多少株？ 20. 化简求值：，其中． 21. 列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． （1）分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； （2）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 22. 在矩形中，，，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为，关于x的图象如下，解答下列问题： （1）请直接写出与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）． 23. 如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 （1）求 的距离．（结果保留到个位） （2）若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 24. 如图1，抛物线与轴交于点 ，与直线交于点，过点 作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点 ．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． （1）如图1，连接交于点，若，，求的长度； （2）如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点 恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； （3）如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初26届数学入学定时作业 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用轴对称和和中心对称的定义判断即可解题． 【详解】、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选． 【点睛】题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若一个数用科学记数法表示为，则这个数是（ ） A. 39600 B. 396000 C. 0.00396 D. 0.0000396 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 为完成下列任务，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某市种植水蜜桃的甜度和含水量 B. 调查某种灯泡的使用寿命 C. 在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D. 对全校所有学生通过问卷进行全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是判断全面调查与抽样调查，解题关键是熟练掌握全面调查与抽样调查的区别． 根据全面调查与抽样调查的区别结合选项进行判断即可． 【详解】解：选项，了解某市种植水蜜桃的甜度和含水量，采用全面调查影响销售，适合抽样调查，不符合题意，选项错误； 选项，调查某种灯泡的使用寿命，采用全面调查影响销售，适合抽样调查，不符合题意，选项错误； 选项，在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率，范围较大，适合抽样调查，不符合题意，选项错误； 选项，对全校所有学生通过问卷进行全面调查，适合全面调查，符合题意，选项正确． 故选：． 4. 的运算结果在最近的（ ）数之间 A. -5和-6 B. -6和-7 C. -7和-8 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先进行二次根式的混合运算，得原式=，由可判断出原式≈-6.64，故答案在原式运算结果在-6和-7之间. 【详解】 = = ∵ 所以原式≈6-4×3.16=-6.64 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，再将无理数化为较为精确的近似有限小数进行估算即可.解本题的关键是掌握常见的几个二次根式的近似数. 5. 如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数与形结合的规律，根据棋子发现规律：多一组图形，则多用5个棋子，即第n个图形中，需要棋子个，代入计算即可． 【详解】解：根据分析可得： （个） 所以，第6个图形中棋子的个数为29个， 故选：B． 7. 关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 把代入方程得到一个关于的方程，再结合一元二次方程的定义即可确定的值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 解得：， ， ， 故选：B． 8. 下列语句中正确的个数是（ ） (1)每个定理都有逆定理 (2)在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30° (3)如果CA=CB,则过点C的直线垂直平分线段AB (4)到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用定理及逆定理的定义，含30°的直角三角形性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：每个定理不一定都有逆定理，(1)说法错误， 在三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么这条边所对的角等于30°，(2)说法错误； 如果CA=CB,则过点C在线段AB的垂直平分线上，但过点C的直线不一定垂直平分线段AB，(3)说法错误； 根据垂直平分线的性质可知，到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点， (4)说法正确 正确的共1个 故选：B 【点睛】本题考查定理及逆定理的定义，含30°的直角三角形性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键. 9. 如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示： 则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质． 10. 若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则n的最小值与最大值的和为6； ②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则； ③若M满足，则这样的整式有个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可． 【详解】解：要使最小， 则，此时多项式为； 要使最大， ∵对于任意的正整数，均有， ∴相邻系数的差取最小值， ∵， 从开始，依次取，，，，， ∴此时多项式为，； ∴的最小值与最大值的和为， 故说法①正确； 对于， 首先，令，将其代入多项式中， 得， ∴． ∴ ． 令，代入多项式中， 得到 ． 当为奇数时，， ∴， ∴； 当为偶数时，， ∴， ∴ ． 最后，计算的值为，故说法②正确； ∵最小为，对于任意的正整数n，均有， ∴最小为，最小为， ∵， ∴最小为，即， ∵（因为系数 ）， ∴， ∴，，， 则当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； 当时， ∵，， ∴， 共个； ∴共有（个）， 故命题③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设“《唐探1900》”表示为A，“《哪吒之魔童闹海》” 表示为B，“《封神》”表示为C，“《重启未来》” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲乙恰好选中同一项目的结果有4种， 两人恰好选中同一部电影的概率是， 故答案为：． 13. 一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．由已知得，即得，再根据平行线的性质得，进而得出，据此计算即可求解． 【详解】解：如图 ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵支持力的方向与斜面垂直， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是_____． 【答案】60% 【解析】 【分析】可设该医疗器械这两年的平均降价率是x，根据题意可得方程（1﹣x）2＝（1﹣20%）×（1﹣80%），解方程即可求解． 【详解】解：设该医疗器械这两年的平均降价率是x，依题意有 （1﹣x）2＝（1﹣20%）×（1﹣80%）， 解得x1＝60%，x2＝140%（舍去）． 故该医疗器械这两年的平均降价率是60%． 故答案为：60%． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 15. 如图，在中，，，点O为中点，以点O为圆心，为半径的交延长线于点E，的中垂线交于点F，交于点G，H，连接，．若，则的长度为______，的面积为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，利用三角函数的定义求得，再利用勾股定理求得的半径，解，求得，据此可求得的长；作于点，记与交于点，连接，利用垂径定理求得，证明，求得，，再证明，求得，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴； 作于点，记与交于点，连接， ∵， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的面积为， 故答案为：． 16. 对于任意一个四位正整数，若满足百位数字比千位数字大2，个位数字比十位数字大2．且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“繁花数”．将“繁花数”的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最大的“繁花数”是______；已知都是“繁花数”，其中，（、、、、，且均为整数），若，且满足是12的倍数，则的值为______． 【答案】 ①. 7968 ②. 3524 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解．根据“繁花数”的定义即可求出最大的“繁花数”；根据求出和，再根据是12的倍数，求出t的值，根据求出s的值即可． 【详解】解：根据“繁花数”的定义可知千位上的数最大为7，则百位上的数为9， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴十位上的数最大只能为6，则个位上的数为8，最大的繁花数是7968； ∵s是“繁花数”，  ∴，， ； ∵t是“繁花数”， ， ∴， ； ∵是12的倍数，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7968，3524． 三、解答题（本大题9个小题，第17题、18题，每小题8分，其余每小题10分，共86分） 17. 解不等式组 并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为整数解为、0、1． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 所以其整数解为、0、1． 18. 综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： （1）如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①______． ∴， ∴， ∴②______． 在和中： ∴， ∴③______，， ∴④______． ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1） 如图，即为所求作角， （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键， （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）证明，即可证得四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，． ∴， ∴， ∴． 在和中：， ∴， ∴，， ∴． ∴四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 19. 牡丹花是中国传统名花之一，以其华丽的姿态，鲜艳的色彩和深厚的文化内涵，被誉为花中之王．某校将牡丹花的种植纳入劳动实践课，学生们在科研人员的指导下参与种植牡丹花，既学习了牡丹花的知识，又锻炼了劳动技能．该校为了了解哪种品种的牡丹花长势更好，从同一期种植的A，B两种牡丹花中各随机测量了10株幼苗的高度x（单位：），并对数据进行整理、描述和分析（共分为四组：欠佳，中等，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10株A种牡丹花幼苗的高度：． 10株B种牡丹花幼苗的高度属于良好的数据是：． 两种牡丹花幼苗生长高度统计表 类型 平均数 中位数 众数 A种牡丹花 a B种牡丹花 8 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）一般情况下同一期种植的牡丹花幼苗高度越高，牡丹花的整体生长状况就越好，试判断A，B两种牡丹花哪一种整体生长状况更好一些，并说明理由；（写出一个理由即可） （3）若该校这一期共种植了A种牡丹花200株、B种牡丹花300株，请估计在这些牡丹花中，生长高度为良好及以上的牡丹花共有多少株？ 【答案】（1）；；40 （2） B种牡丹花整体生长状况更好一些，理由如下： ∵B种牡丹花幼苗的高度的中位数高于A种牡丹花幼苗的高度， ∴B种牡丹花整体生长状况更好一些． （3）280株 【解析】 【分析】本题主要查了中位数，众数，样本估计总体： （1）根据中位数，众数的定义解答，即可； （2）根据B种牡丹花幼苗的高度的中位数高于A种牡丹花幼苗的高度，解答即可； （3）分别为用200和300乘以生长高度为良好及以上所占的百分比，即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：10株A种牡丹花幼苗的高度为出现的次数最多， ∴； 根据题意得： “欠佳”和“中等”的人数共有， ∵10株B种牡丹花幼苗的高度属于良好的数据是：， ∴中位数； ∵， ∴； 故答案为：；；40 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：株， 即生长高度为良好及以上的牡丹花共有280株． 20. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据分式的混合运算法则化简分式，再结合负整数指数幂，零指数幂算出的值，将的值代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． （1）分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； （2）经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】（1）一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 （2）a的值为5 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【小问1详解】 解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． 【小问2详解】 解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 22. 在矩形中，，，点P，Q分别从点B，点D同时出发，点P沿以每秒1个单位长度的速度运动，点Q以某一速度匀速沿运动，点P到达点D时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，的面积记为，的面积记为，关于x的图象如下，解答下列问题： （1）请直接写出与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合你所画的函数图象，直接估计当时x的取值范围：________．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）图象见详解，函数有最大值，最大值为6 （3）或 【解析】 【分析】（1）通过三角形的面积公式即可求解； （2）根据题意画出函数图像，即可求解； （3）由函数图象可求解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，， 当时，，； 当时，，，， 综上所述，． 【小问2详解】 解：函数图像如图所示： 函数的性质：函数有最大值，最大值为6． 【小问3详解】 解：由图象可得：当或时，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 23. 如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 （1）求的距离．（结果保留到个位） （2）若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 【答案】（1）的距离为840米 （2）小明先到达点E 【解析】 【分析】（1）过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，证明四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设，根据相关性质以及勾股定理求出，，，的长根据，求出x的值，进而得出结果； （2）利用他们没人所走的距离除以速度得出时间进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K， 则四边形为矩形， 设， 点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向且， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 米， 米， 点C位于点B东北方向， ， 米， 米， ， 解得：， ， ， 米； 【小问2详解】 由（1）可知米， 小明走到E点所用时间为秒， 小刚走到E点所用时间为秒， ， 小明先到达点E． 【点睛】本题考查了方位角，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的计算，等腰三角形的判定与性质，有理数混合运算的应用，准确作出辅助线，求出相关边长是解题关键． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）抛物线与直线交于点，则，即可求解； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为，得到，将代入求得直线的解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，证明为等腰直角三角形，，，即可求出，，求得，作点关于轴的对称点，由两点之间线段最短得的最小值为，求出即可求解； （3）设原抛物线向右平移e个单位，利用平移的特点得到平移后的抛物线解析式为以及，①连接，作的垂直平分线交于点H，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式得到点H，利用待定系数法求直线的解析式，根据点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，联立平移后的抛物线解析式和直线的解析式求解，即可解题；②作H关于N的对称点，连接，求解过程与①类似． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 如图，过点F作交于点W，设交于点， ∵直线是由直线向下平移3个单位得到的， ∴， ∵，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线为一、三象限的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，此时点D的坐标为； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴，， ∴的周长， ∴的周长最小值为； 【小问3详解】 解：设原抛物线向右平移e个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为，， ①如图2.1，连接，作的垂直平分线交于点H， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 由点D、H的坐标代入得，， 解得， 所以，直线的解析式为， ∵点Q为新抛物线上的一点， 连接交直线于点H， ∴， 解得， 当时，， ∴点Q的坐标为； ②如图2.2，作H关于N的对称点，连接交抛物线于点Q， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：或， 则， 设直线的解析式为， 由点D、的坐标代入得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴解得， ∴点Q的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形的性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 25. 已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． （1）如图1，连接交于点，若，，求的长度； （2）如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； （3）如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在，中，分别求得，同理可得，则； （2）；延长到，使得，连接，证明，得出，，设，导角得出，进而证明，则，过点作，即可得证； （3）过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点，证明四边形是平行四边形，当最小时，则最小，则是等腰直角三角形，设，则，，进而求得，，根据题意得出在以为圆心，的长为半径的圆上运动，当最小时，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵等边， ∴ ∵ ∴， ∵ 在中，， 在中，， 同理可得 ∴； 【小问2详解】 如图，延长到，使得，连接 ∵点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∵等边， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，， 设， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， 中，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，则 又∵， ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴当最小时，则最小， ∴时最小， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴三点共线， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴垂直平分 ∴ ∵当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点， ∴在以为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当最小时，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $