精品解析：陕西咸阳市永寿县仪井中学2025-2026学年度第二学期八年级数学第一阶段素养达标测试

2026春季八年级数学第一阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二章第2节完，P1~P66） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 命题“如果，那么”的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3. “a的2倍与7的和小于”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等，以下给出的条件适合的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于40元（利润售价进价），则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 8. 如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，则_____________（用“”“”或“”填空）． 10. 用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设______； 11. 如图1，是某公园里采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，图2是该八角形空窗的示意图，则它的任意一个内角为______度． 12. 如图，等边△的顶点，顶点在轴上．则点的坐标是 __． 13. 若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为___________． 14. 如图，在中，平分，于点，交于点，若，则_______． 三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形的边数． 17. 如图，在中，，，，，求的长． 18. 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 20. 解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 22. 如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 23. 如图，是某种帐篷支加架屋顶的侧面，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱 BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，侧得BE＝1米，求AB的长． 24. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 25. 某城市义务绿化小队决定进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知“女贞”树苗的单价为每棵6元，“小叶黄杨”树苗的单价为每棵2元． （1）若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则最少可以购买“女贞”树苗多少棵？ （2）若购买树苗的预算不超过3010元，则最多可以购买“女贞”树苗多少棵？ 26. 【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 （1）若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 （2）如图2，若点C不与点D重合，请证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季八年级数学第一阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟；范围：第二章第2节完，P1~P66） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】用不等号连接，表示不等关系的式子叫做不等式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用不等号连接，是不等式； ∴不等式有①③④，共有个． 2. 命题“如果，那么”的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 3. “a的2倍与7的和小于”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：“a的2倍与7的和小于”用不等式表示为． 4. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即学校与工厂之间的距离等于， 故选：D． 5. 如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等，以下给出的条件适合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握是解题的关键． 根据直角三角形全等的判定方法即可确定答案． 【详解】解：添加， 理由如下：， 在和中， ， ， 故选D． 6. 如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于40元（利润售价进价），则最多可打（ ） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 【答案】B 【解析】 【分析】设折数为x，结合利润售价进价的关系列出不等式求解即可． 【详解】解：设该自行车打折， 由题意得，， 解得， ∴最多可打七折． 8. 如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，连接，两边，分别交、于点E、F，连接，过点F作于点H，在线段上截取，连接．现给出以下三个结论：①；②是等腰直角三角形；③当时，，上述结论中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证得，推出，，即可判断①②；由，，得到，进而推出，求得，，由，得到，，从而得到，即可判断③． 【详解】解：∵在中，，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故①②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若，则_____________（用“”“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质变形即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10. 用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设______； 【答案】与相交 【解析】 【分析】本题考查了用反证法证明命题．用反证法证明命题的第一步就是设原结论不成立，原结论是，则要设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 【详解】解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 故答案为：直线与直线相交．  11. 如图1，是某公园里采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，图2是该八角形空窗的示意图，则它的任意一个内角为______度． 【答案】135 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角，根据多边形外角和先计算出每个外角的度数，然后计算内角即可解． 【详解】解：正八边形的每个外角为， ∴它的任意一个内角为， 故答案为：． 12. 如图，等边△的顶点，顶点在轴上．则点的坐标是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，等边三角形的性质，根据等边三角形性质得，由此可得点的坐标． 【详解】解：△为等边三角形，点， . 点在轴上， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 13. 若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为___________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解不等式得到，求出最小整数解是，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴不等式的最小整数解是， ∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，于点，交于点，若，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 【详解】解：是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：4． 三、解答题（共12小题，计78分。解答应写出过程） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 16. 已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形的边数． 【答案】这个正多边形的边数是10． 【解析】 【分析】设这个正多边形的边数为，由正多边形的内角和为，外角和为，根据这个正多边形的内角和是其外角和的4倍，建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，根据题意得：． 解得． 答：这个正多边形的边数是10． 17. 如图，在中，，，，，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 是的外角， ， ． 18. 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示： 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】略 19. 如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 【详解】略． 20. 解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】x≥﹣2；解集表示见解析. 【解析】 【分析】先去分母和去括号得到6﹣3x≥4﹣4x，然后移项后合并得到x≥﹣2，再利用数轴表示解集． 【详解】解：去分母得3（2﹣x）≥4（1﹣x）， 去括号得6﹣3x≥4﹣4x， 移项得4x﹣3x≥4﹣6， 合并得x≥﹣2， 在数轴上表示为： ． 【考点】1.解一元一次不等式；2.在数轴上表示不等式的解集． 21. 如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 22. 如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1）证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：由（1）得， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，是某种帐篷支加架屋顶的侧面，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱 BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，侧得BE＝1米，求AB的长． 【答案】4米 【解析】 【详解】试题分析：先根据三角形的内角和可得∠ADE＝60°，即可求得∠BDE＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质即可求得结果. ∵∠AED＝90°，∠A＝30° ∴∠ADE＝60° ∵∠ADB＝90° ∴∠BDE＝30° ∴BD＝2BE＝2 ∵∠ADB＝90°，∠A＝30° ∴AB＝2BD＝4 答：AB的长为4米． 考点：本题考查的是三角形的内角和，含30°的直角三角形的性质 点评：解答本题的关键是熟练掌握含30°的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半. 24. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段； （2）6 【解析】 【分析】（1）由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； （2）由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边三角形， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键． 25. 某城市义务绿化小队决定进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知“女贞”树苗的单价为每棵6元，“小叶黄杨”树苗的单价为每棵2元． （1）若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则最少可以购买“女贞”树苗多少棵？ （2）若购买树苗的预算不超过3010元，则最多可以购买“女贞”树苗多少棵？ 【答案】（1）250棵 （2）252棵 【解析】 【分析】（1）设购买“女贞”树苗a棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．根据“购买‘女贞’树苗的数量不少于‘小叶黄杨’树苗数量的”列不等式求解即可； （2）设购买“女贞”树苗b棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．根据“购买树苗的预算不超过3010元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买“女贞”树苗a棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：， 解得． ∴最少可以购买“女贞”树苗250棵； 【小问2详解】 解：设购买“女贞”树苗b棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可列不等式， 解得：， ∴最多可以购买“女贞”树苗252棵． 26. 【问题呈现】 如图，在中，，点在边上，且，是线段上的一个动点（不与点重合，且），在线段上截取，连接． 【问题发现】 （1）若点与点重合，请根据题意补全图1，线段与有怎样的数量关系？ 【拓展延伸】 （2）如图2，若点C不与点D重合，请证明． 【答案】（1）解：如图，线段与的数量关系：． 理由：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴、是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）按题中条件补全图形，证明是等边三角形，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）如图，在上截取，连接，推出，证明、是等边三角形，推出，证明，得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $