精品解析：陕西咸阳市永寿县仪井中学2025-2026学年度第二学期八年级数学第二阶段素养达标测试

2026春季八年级数学第二阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟） （范围：第五章完，P1~P151，期中之前（P1~P109）内容占15%左右） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义时分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义即可得． 【详解】解：与的分母分别为和， 分式与的最简公分母是， 故选B． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义，掌握定义是解题关键．确定最简公分母的方法：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各分母数字系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；（2）如果各分母都是多项式，就先将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母为底数的幂的因式都要取最高次幂． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判定，首先要理解因式分解的概念，即把一个多项式转换为几个因式乘积的形式．因此，对于给定的选项，需要判断哪些选项展示的是因式分解，即从多项式形式变为几个多项式乘积的形式． 【详解】A选项：，这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此，A选项不是因式分解． B选项：，这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解． C选项：，这个等式右边是乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解． D选项：，这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解． 故选：D． 4. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了质的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的形式逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选：B． 5. 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的实际应用，根据直角三角形中所对直角边等于斜边一半得到，从而得解． 【详解】解：标记字母如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 即这棵树折断前的高度为． 故选：C 6. 若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 7. 若关于的方程无解，则的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及可得出，，由此可得，，据此可判断①；根据角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理可判断③；根据角平分线的性质即可判断④；连接，根据可判断⑤；根据现有条件无法证明，据此可判断②． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ，， ， ，， ，， ，， ，故①正确； 和的平分线相交于点G， ∴， ∵， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离等于点G到的距离，点G到的距离等于点G到的距离 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，且， ∴点G到各边的距离都为的长， ∵，， ，故⑤正确； 根据现有条件无法得到，故②错误； 综上所述，正确的有①④⑤，共3个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 当______，分式的值为零． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件．用到的知识点为：分式的值为零，则分子为0，同时要考虑分母不为0这个条件． 10. 多项式与多项式的公因式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分别将多项式和多项式进行因式分解，再寻找它们的公因式． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式为． 故答案为：． 11. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 12. 边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 【答案】70 【解析】 【分析】首先根据长方形周长和面积的条件，推导得到与的值，对待求式进行因式分解，再将和的值代入分解后的式子，即可求出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴； 长方形面积为． 则． 13. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意可得顺水速度为，逆水速度为，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间＝以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设江水的流速为， 根据题意得：， ， 解得． 经检验，是原方程的解． 答：江水的流速为． 故答案为：6． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式-3，再用完全平方公式分解． 【详解】解： = = 【点睛】此题考查因式分解，其关键是熟悉分解因式的一般步骤，特别要注意第一步能提公因式的要先提公因式． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的根． 17. 解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为：． 数轴略 18. 利用因式分解进行计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘除法进行计算，注意进行约分． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是遇到除法，变为乘法计算，并注意约分.. 20. 某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】观景台距两座凉亭的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 若分式方程有增根，则m的值是________． 【答案】或； 【解析】 【分析】由分式方程有增根，得到，代入整式方程计算即可求出m的值； 【详解】解：∵， 去分母得：； ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则； 故答案为：或； 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 23. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 【答案】天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：规定时间是天． 24. 已知两个分式，，请根据分式的基本性质，判断与0的大小关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： 由题得：， ∴ ， ， ∴． 【解析】 【分析】先对两个分式进行化简，进而计算即可． 【详解】略 25. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， 原式． 26. 【问题背景】 某品牌坚果有桶装和袋装两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的，且用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件． 【问题解决】 （1）求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； （2）小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15元，每件袋装坚果的利润为9元，全部销售完他希望总利润不少于1500元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2倍还多6件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 【答案】（1）每件桶装坚果的价格为40元，每件袋装坚果的价格为24元 （2）小赵至少需要购买44件桶装坚果 【解析】 【分析】（1）设每件桶装坚果的价格为元，则每件袋装坚果的价格为元，根据用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件建立方程求解即可； （2）设购买桶装坚果m件，则购买袋装坚果件，根据总利润不少于1500元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每件桶装坚果的价格为元，则每件袋装坚果的价格为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：每件桶装坚果的价格为40元，每件袋装坚果的价格为24元． 【小问2详解】 解：设购买桶装坚果m件，则购买袋装坚果件， 由题可得：， 解得， ∵为整数， 的最小值为44， 答：小赵至少需要购买44件桶装坚果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季八年级数学第二阶段素养达标测试 （满分：120分；时间：120分钟） （范围：第五章完，P1~P151，期中之前（P1~P109）内容占15%左右） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列分式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程无解，则的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列五个结论：①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 当______，分式的值为零． 10. 多项式与多项式的公因式是__________． 11. 若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 12. 边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为_______ ． 13. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间与最大航速逆流航行所用时间相等，则江水的流速为_____． 14. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解： 16. 解分式方程：． 17. 解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 18. 利用因式分解进行计算：． 19. 计算：． 20. 某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 若分式方程有增根，则m的值是________． 23. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为多少天? 24. 已知两个分式，，请根据分式的基本性质，判断与0的大小关系，并说明理由． 25. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）先因式分解，再求值：，其中． 26. 【问题背景】 某品牌坚果有桶装和袋装两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的，且用600元购买袋装坚果的数量比用600元购买桶装坚果的数量多10件． 【问题解决】 （1）求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； （2）小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15元，每件袋装坚果的利润为9元，全部销售完他希望总利润不少于1500元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2倍还多6件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $