奥数培优 第8讲 乘法原理（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教版】小学四年级上册奥数培优讲义·第8讲 乘法原理 教学目标与学情分析 三维教学目标 · 知识与技能： · 深刻理解乘法原理的定义，掌握“分步计数”的核心逻辑。 · 熟练运用乘法原理解决搭配、路线、组数、染色、约数个数、分物六大类经典题型。 · 牢记并运用质因数分解求约数个数的通用公式。 · 过程与方法： · 学会将复杂任务拆解为若干缺一不可的独立步骤。 · 提升有序分类、数形结合及转化建模的数学思维。 · 情感态度与价值观： · 结合生活场景（穿搭、出行、密码等）感受数学的实用价值。 · 养成“有序思考、不重不漏”的严谨解题习惯。 教学重难点 · 重点： · 判定标准：完成一件事需分多步，每一步缺一不可，总方案数 = 各步方法数相乘。 · 特殊限制：处理首位不为0、相邻区域不同色等限制条件的分步计数。 · 数论应用：分解质因数求自然数约数个数的公式推导与应用。 · 难点： · 原理区分：准确区分乘法原理（分步）与加法原理（分类）。 模型构建：解决“吃糖分割”等抽象计数问题中的隔板模型转化。 前言 本讲聚焦奥数核心计数方法 —— 乘法原理，立足四年级课本搭配知识点拓展延伸，拆解生活、数字、图形、数论类计数真题。讲义分为三大板块： 经典范例：分层拆解 6 类必考题型，梳理分步解题标准步骤； 巩固提升：配套分层课堂习题，夯实分步拆解基本功； 综合拓展：融合限制条件、转化型拔高题型，积累竞赛解题思路。 华罗庚说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。希望同学们通过本讲学习，做到有序计数、不重不漏，建立完整分步建模思维！ 一、 知识梳理 1. 乘法原理定义 完成一件事，需要分成 个先后顺序、缺一不可的独立步骤： 做第 1 步有 种不同的方法； 做第 2 步有 种不同的方法； …… 做第 步有 种不同的方法。 那么完成这件事共有： 2. 核心判定关键点 必须同时满足以下两点才能使用乘法原理： 步骤性：做事有先后顺序，必须分几步才能完成，一步都不能少。 独立性：无特殊限制时每一步选择互不干扰；若存在相邻、首位限制，后一步可选数量会随前一步改变，但依旧属于分步乘法。（在有限制条件时，后一步受前一步影响，需分类讨论，本讲主要涉及基础分步）。 【口诀】步步相关，缺一不可 3. 六大必考题型分类 基础搭配型：穿搭、路线选择。 数字组数型：含首位不能为 0 的限制。 区域染色型：相邻区域颜色不同。 数论应用型：质因数分解求约数个数。 分步选取型：人员、物品的组合选取。 抽象计数型：隔板法转化模型（吃糖问题）。 4. 拓展公式：约数个数定理 若自然数 的标准质因数分解为： （其中 为质数， 为对应指数） 则 A 的全部不同正约数总个数为： 二、 精讲精练（六大模型详解） 【模型一】基础穿搭搭配★ 核心逻辑：完成一套搭配需要“上衣”且“下装”，分步相乘。 【经典范例 1】 【题目】马戏团小丑有红、黄、蓝 3 顶帽子，黑、白 2 双鞋子。出场需要 1 顶帽子 + 1 双鞋，一共多少种不同搭配？ 【解题思路】 【配图：帽子鞋子树形搭配示意图】可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。 搭配分两步完成 —— 先选帽子，再选鞋子，两步缺一不可。 【解析】 第一步（选帽子）：共 3 种选择（红、黄、蓝）； 第二步（选鞋子）：共 2 种选择（黑、白）； 总搭配：（种）。 答：一共有 6 种不同搭配。 🚀 随堂口算变式 【题目】4 件上衣，5 条裤子，一套穿搭一件上衣配一条裤子，共多少搭配？ (答案：4 5 = 20 种) 【模型二】多段路线计数★ 核心逻辑：从起点到终点，必须经过中间点，分步相乘。 【经典范例 2】 【题目】从甲到乙 2 条路，乙到丙 3 条路，丙到丁 2 条路；从甲途经乙、丙到丁，一共多少种走法？ 【解题思路】 【配图：甲乙丙丁四段路线简易示意图】行程分为甲→乙、乙→丙、丙→丁三步，必须走完这三步才能到达终点。 【解析】 1. 甲→乙：2 种； 1. 乙→丙：3 种； 1. 丙→丁：2 种； 1. 总走法： （种）。 答：共有 12 种不同路线。 【模型三】有限制数字组数★ 核心逻辑：特殊位置优先法。 【经典范例 3】 【题目】用数字 0、1、2、3、4、5（数字可重复），能组成多少个三位数？ 【解题思路】三位数分百位、十位、个位三步。注意：百位不能为 0，存在特殊限制，优先算受限的第一位。 【解析】 ⚠️ 注意：本例题明确“数字可重复”，因此十位、个位均可从6个数字中任选。若题目改为“数字不可重复”，则十位、个位的可选数量会依次减少，需特别留意区分。 1. 百位：只能选 1、2、3、4、5，共 5 种选择； 1. 十位：0-5 任意选，共 6 种选择； 1. 个位：0-5 任意选，共 6 种选择； 1. 总个数： （个）。 答：可组成 180 个符合要求的三位数。 ⚠️ 【易错提醒】 组数类题目务必优先处理首位（最高位）等有数字限制的数位，最后处理无限制数位！ 【模型四】区域染色计数★★ 核心逻辑：按顺序分步涂色，每一步排除相邻已用颜色。 【经典范例 4】 【题目】A、B、C、D、E 五个相邻区域【配图：A/B/C/D/E 五区域相邻染色简图】，用红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色涂色，相邻区域颜色不能相同，一共有多少涂色方案？ 【解题思路】按 A→B→C→D→E 顺序分步涂色。 【解析】 1. 涂 A：5 种颜色任选，5 种； 1. 涂 B：与 A 相邻，排除 A 颜色，剩 4 种； 1. 涂 C：与 A、B 相邻，排除 2 色，剩 3 种； 1. 涂 D：与 A、C 相邻（D与B不相邻），排除 2 色，剩 3 种； 1. 涂 E：与 A、C、D 相邻（E与B不相邻），排除 3 色，剩 2 种； 1. 总方案： （种）。 答：共 360 种不同染色方法。 【模型五】约数个数定理★★★（数论） 核心逻辑：质因数分解 指数加 1 连乘。 【经典范例 5】 【题目】求 360 一共有多少个不同正约数？ 【解题思路】先标准分解质因数，再套用约数个数公式。 【解析】 1. 分解质因数： 1. 各指数分别为：3、2、1 1. 指数分别 + 1：4、3、2 1. 总约数： （个） 答：360 共有 24 个不同约数。 🚀 拓展小练 【题目】求 60 的约数个数： 个。 【模型六】隔板转化模型★★★★（拔高） 核心逻辑：将“分堆”问题转化为“空隙插板”问题。 【经典范例 6】 【题目】一共有 10 块糖，每天至少吃 1 块，吃完为止，一共有多少种不同吃法？ 【解题思路】 1. 将 10 块糖排成一排，糖与糖之间共有 个空隙。 1. “吃完为止”意味着可以在任意空隙处“切断”（代表分天吃）。 1. 每个空隙都有两种选择：“切一刀（分割）”或“不切（不分割）”。 【解析】 1. 糖间空隙总数：9 个； 1. 每个空隙 2 种选择（画线分割、不分割）； 1. 总吃法： （种）。 答：一共有 512 种不同吃法。 三、 巩固提升练习 1. 搭配问题★：5 顶不同帽子、2 件上衣、3 条裤子，取 1 帽 + 1 衣 + 1 裤成套，共多少种装束？ 2. 密码问题★★：自制密码本用3位数字组成的密码（数字可重复，如000、001、…、999）代表不同汉字，0~9共10个数字可供选择，最多可以表示多少个不同的汉字？ 3. 染色问题★★：“IMO” 3 个字母分别涂不同颜色，现有 5 种彩笔，能写出多少种配色 “IMO”？ 4. 棋盘问题★★★：【配图：5×5 方格棋盘示意图】，5×5方格内放两枚棋子，要求不同行、不同列，求放法总数。 5. 评选问题★★★：6 个班级评选学习先进、体育先进（不能同一个班），多少种评选结果？ 6. 选人问题★★★：甲组 6 人、乙组 8 人、丙组 9 人，每组各选 1 人参会，多少种选法？ 7. 综合染色★★★★：【配图：本讲义配套 ABCDE 分区几何染色图】，五个区域A、B、C、D、E中，A与B、C、D相邻；B与A、C相邻；C与A、B、D、E相邻；D与A、C、E相邻；E与C、D相邻。现有4种不同颜色给这五个区域涂色，相邻区域颜色不能相同，一共有多少种不同的涂色方案？ 四、 巩固提升参考答案 1. 30种。分步：帽子 5、上衣 2、裤子 3， （种）。 2. 1000个。每一位 0-9 共 10 种， （个）。 3. 60种。第一位 5 种、第二位 4 种、第三位 3 种， （种）。 4. 400种。 提示：第一枚棋子有25种放法，去掉这枚棋子所在的行和列，还有16个空格，所以第二枚棋子有16种放法。 5. 30种。学习先进 6 种，体育先进剩 5 种， （种）。 6. 432种。 （种）。 7. 96种. 五、 课后实践探究任务 【生活实践】 整理自己的文具，假设有 3 支笔、4 块橡皮、2 把尺子，每种各选一件搭配成“考试套装”，请用乘法原理计算总搭配数量，并验证是否正确。 【探究思考】 辨析：什么时候用乘法原理、什么时候用加法原理？请举一个生活中的例子来区分（提示：分类用加法，分步用乘法）。 数论挑战：用分解质因数法算出 60 全部约数个数，并一一列举验证你的计算结果。 学科网（北京）股份有限公司 $