1.4《线段垂直平分线与角平分线》同步练习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线，通过基础理解、中档应用、提高综合三层设计，实现从单一性质到动态几何的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|角平分线性质、垂直平分线性质|单选题1（面积计算）、填空题6（周长计算），直接应用概念解决简单问题| |中档层|性质综合应用|单选题3（尺规作图与角平分线结合）、填空题10（最小值问题），需两步推理，培养推理意识| |提高层|动态几何与多知识点综合|单选题5（旋转问题）、解答题17（等腰三角形综合证明），涉及动态分析与跨知识点整合，发展空间观念|

1.4《线段垂直平分线与角平分线》同步练习 一、单选题 L如国，在AC中.C-4,∠AC的平分线B0交1C支于点n若香ABC的面积为25. 则△BCD的面积是() A.6 B.9 C.10 D.15 2.如图，在△ABC中，BC=16,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分 线分别交AC、BC于点F、G,则△AEG的周长为() B A.14 B.15 C.16 D.17 3.如图，在AABC中，分别以A,B为圆心，大于2AB长为半径画弧，两弧交于点M,水作 直线MN交∠ACB的平分线于点D,过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E.若CB=5,BE=3, 则AC的长为() N A.8 B.9 C.10 D.11 4.如图，在RiAABC中，∠C=0°.以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC,AB于 点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于2MW的长为半径画孤，两孤在∠CAB的内部交于 点P,画射线AP与BC交于点D,点E是AB上一点，连接DE.根据以上作图，下列结论错 误的是(). D E A.得出射线AD是∠CAB的角平分线的依据是SAS B.点M和点N关于射线AD对称 C.如果DE⊥AB,则DC=DE D.连接PM,PN,则PM=PW 5.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点 P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于MN两点，则以下结论： M (1)PM=PN恒成立； (2)OM+ON的值不变； (3)四边形PMON的面积不变； (4)MN的长不变. 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.如图，点A,D分别在BE,EC的垂直平分线上，A,E,D三点在同一条直线上，如果 AD=5cm BC=7cm ABCD cm 那么四边形的周长为 E 7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且 ∠ADE=90° 则Es 日C D 8.如图，在四边形ABCD中，ADI‖BC,点E在边BC上，且AB的垂直平分线经过点E,点F 在CD边上，且DF=CF,连接EF,AF,且AF⊥EF,延长AF交BC的延长线于点G,已知 AD=2,BE=3 CE ,则的长为 A 9.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.若AB=8, 1C=6,BC=9,则A ,△APC 周长的最小值是 AC5 10.如图，AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，AB13,BC=6,D为AB上一动点，连接PD, 则PD的最小值为 D 三、解答题 11.如图，C是∠MAW的角平分线上一点，CE L AN,CF⊥AM,垂足分别为E,F.过点C 作CD⊥CE,交AM于点D,在射线EN上取一点B,使∠CBE=∠DAE. M E B N (1)求证：CD=CB; (2)若AB=16.7,AD=7.3,求DF的长. 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，若过点D作DF⊥AB,垂足为E,点E在 AC上，DE=BD,CE=FB B D (1)求证：AD平分∠BAC; (2)请你判断AE,AF,BF之间的数量关系，并说明理由. 13.如图，在△ABC中，直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E,连接BD. (1)若AB=8,△ABD的周长为19，则AC的长为； (2)已知点P在线段DE上，且点P在边AC的垂直平分线上，连接PC,试判断点P是否在边 AB的垂直平分线上，并说明理由. 14.如图，已知，AC=AE,∠CAD=∠EAB,AD⊥DE,AB⊥BC,BC与DE相交于点F,连接 AF ,求证： D SB F E (1)DF=BF; (2)AF是CE的中垂线. 15.已知：如图，在四边形ABCD中，BC=CD,过点C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F且 DF=BE (1)求证：AC平分∠DAB; (2)若AB=8cm,DF=2cm,求AD的长. 16.如图，已知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP于点O,OB垂直平分PN,交 MN 于点F,交P于点R,连接O PN OP M N (1)连接PE,PF,若MN=15,求aPEF的周长； (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 17.如图1，△OAB,△OCD都是等腰三角形，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC和BD相交 于点E,连接OE. 图1 图2 (1)求证：△ACO≌△BDO: (2)若∠AOB=2a,求∠OED的大小； (3)如图2，若∠AOB=60°，F为BD上一点，DF=CE,OF=BE,AC交OB于点G,求证：AC 垂直平分BO. 参考答案 一、单选题 1.D 解：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC, E D B ,BD平分∠ABC, ∴DE=DF, AB 2 即BC3, SABD 2XABXDE AB 2 S.BCD -x BCx DF BC 3, 2 S.BCD 3 又.△ABC的总面积25， S.4C=S.AD+S.CD=25 S.wo+S.oo=25 解得Sscn=15 2.C 解：，DE垂直平分AB,GF垂直平分AC, ∴.AE=BE,AG=CG, ∴.△AEG的周长为AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=16, 故选：C 3.D 解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F,连接AD,BD, D为 N ,CD平分∠ACE,且DE⊥CB, ∴.DE=DF,∠CFD=∠AFD=∠BED=90°， 又CD=CD, .RtACDF≌RtACDE(HL) .'CF=CE=CB+BE=5+3=8, 由作图可得，MN垂直平分线段AB, ∴AD=BD, .RtAADF≌Rt△BDE(HL) ∴.AF=BE=3, ∴.AC=CF+AF=8+3=11, 故选：D 4.A 解：如图，连接PM、PW, B 由尺规作图的操作流程可知，AM=AW,PM=PN,故D正确： 对于A:在△AMP和△ANP中， AM=AN PM=PN AP=AP' AMPANP(SSS) .∠DAC=∠DAB,故A错误； 对于B:由△AMP≌△ANP,结合图形可知，△AMP和△ANP关于射线AD对称， ∴.点M和点N关于射线AD对称，故B正确； 对于C::射线AD是∠CAB的角平分线， 又∠C=90°，DE⊥AB, DC=DE,故C正确. 5.C 解：如图：如图作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, M E ,OP平分∠AOB, ∴PE=PF, 在Rt△PEO和Rt△PFO中， 「PE=PF PO=PO, ,Rt△PEO≌RtAPFO(HL) ∴.OE=OF, ·∠MPN与∠AOB互补， ∴.∠MPN+∠AOB=180°， .∠EPF+∠AOB=360°-∠PEO-∠PFO=180° .∠EPF=∠MPN, ∴.∠EPF-∠EPN=∠MPN-∠EPN, ∴.∠MPE=∠NPF, 在△MPE和△WPF中， ∠MPE=∠NPF PE=PF ∠PEM=∠PFN' ,△MPE≌△NPF(ASA) ∴.ME=FN,PM=PN,故(1)正确； ∴.OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE,即OM+ON的值不变，故(2)正确； :△MPE≌△NPF(ASA)RtaPEO≌RtaPFO(HL) S.POE=S.POF,S.PME=S.PNF .SI边形pMov=SPoE+SPME+SPoF-SPNF=2SPoE,即四边形PMON的面积不变，故(3)正确； ∠AOB为定角， .∠MPN=180°-∠AOB,为定角， .PM=PN, .△PMN的形状确定， PN:的长度变化， ∴.MW的长度变化，故(4)错误； 综上所述，正确的有(1)、(2)、(3)，共3个. 二、填空题 6.17 解：点A,D分别在BE,EC的垂直平分线上， .AE=AB DE=DC .AB+DC=AE+DE AD=5cm .BC=7cm .AB+DC+AD+BC=5+5+7=17(cm) 7.6 解：延长AD交EC的延长线于F,如图所示： E AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD, .·AB⊥BCEF⊥BC ∴.∠ABD=∠FCD 又.∠ADB=∠FDC, ∴.△ABD≌△FCD(ASA) ..CF=AB=2 AD=DF .∠ADE=90° ∴.AE=EF=CE+CF=4+2=6 8.1 解：连接AE,如图， A D B G E C 在B E 点 的垂直平分线上， ∴.AE=BE=3 :AD∥BC .∠DAF=∠G∠D=∠FCG 点F是C0中点， .∴.DF=FC ,.△ADF≌aGCF(AAS) ..AF=FG CG=AD=2 :EF⊥AF ..EF 垂直平分1G ..EG=AE=3 ∴.CE=EG-CG=3-2=1 故答案为：1. 9.14 解：如图，连接BP, P B ,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点， .'PB=PC, .AP+CP=BP+AP, 当APB三点共线时BP+AP有最小值，为AB,即AP+CP最小为AB, ∴.△APC周长的最小值AP+CP+AC=AB+AC=8+6=14. 10.3 解：如图，过点P作PE⊥AB于点E, D :AP为△ABC的角平分线，∠C=90°，PE⊥AB, ∴.PC=PE, SACP= C.PC 2 AC 5 S.uBp I 24B-PE 4B 13, C.AC S4e=2 PC S.Awr PB.AC PB, 2 PC 5 .PB13, 设PC=5k,PB=13k, PC+PB=BC .5k+13k=6, 解得， .PE=PC=5 3, ,D为AB上一动点， 当PD⊥AB时，PD有最小值，此时点D与点E重合， J .PD的最小值为3. 故答案为：3· 三、解答题 11.（1)证明：AC平分∠MAN,CE⊥AN,CF⊥AM, ∴.CF=CE .·CD⊥CE .∠DCE=90° .'CE⊥AN .∠BEC=90° .∴.∠BEC=∠DCE, ∴.CD∥AN ∴.∠FDC=∠DAE :∠CBE=∠DAE ∴.∠CBE=∠FDC 在△CFD和ACEB中， ∠CDF=∠CBE ∠CFD=∠CEB CF=CE ∴.△CFD≌△CEB(AAS) ∴CD=CB (2)解：在Rt△ACF和RtAACE中， 「CF=CE AC=AC, ∴.Rt△ACF≌Rt△ACE(HL) .AF=AE :AD+DF=AB-BE 由(1)可知：△CFD≌△CEB, ..DF=BE .∴.AD+DF=AB-DF .7.3+DF=16.7-DF .DF=4.7 12.（1)证明：.DF⊥AB, ∴.∠AFD=∠BFD=90°， .∴.∠C=∠BFD=90° .CE=FB,DE BD, ,Rt△CDE≌RtAFDB(HL) .'CD=DF, .∠C=∠BFD=90°， ∴.AD平分∠BAC. (2)解：AE+BF=AF,理由如下： 在Rt△ACD与Rt△AFD中，CD=FD,AD=AD, 、RtAACD≌RIAAFD(HL) ∴.AC=AF, ∴.AE+EC=AC=AF, ∴.AE+BF=AF. 13.(1)解：：直线I垂直平分边BC,分别交AC,BC于点D,E, ∴.DB=DC .AC=AD+DC=AD+DB .·△ABD ,19 的周长为， .AB+AD+DB=19 .AB=8 .AD+DB=11 即AC=11: (2)解：点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB, “直线垂直平分边8C,点P在直线'上， P ∴.PB=PC 点P在边4C 的垂直平分线上， ..PA=PC ..PA=PB 六点P在边8的垂直平分线上. 14.（1)证明：∠CAD=∠EAB, .∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD 即∠CAB=∠EAD .AB⊥BCAD⊥DE ∴.∠ABC=∠ADE=90° 又AC=AE, ,△ABC≌AADE(AAS) .AB=AD 又AF=AF, :.Rt△ABF≌RtAADF(HL) .DF=BF (2)证明：由(1)可知，△ABC≌△ADE,Rt△ABF≌RteADF, .BC=DE BF=DF .BC-BF DE-DF 即CF=EF. 又：AC=AE, 六点和点「在的垂直平分线上， A 是CE的中垂线. .AF 15.(1)证明：CE⊥AB,CF⊥AD, .∠CFD=90°∠CEB=90° .∴.△BCE△DCF 和 均为直角三角形， 在RtABCE和RtADCF中， BC=DC BE=DF, ∴.Rt△BCE≌Rt△DCF(HL) ∴.CE=CF :CE⊥ABCF⊥AD ..AC 平分 ∠BAD (2)解：CE⊥AB,CF⊥AD, ',△ACE△ACF 和 均为直角三角形， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， AC=AC CE=CF, ∴.Rt△ACE≌Rt△ACF(HL) ∴.AE=AF AB=8cm DF=BE =2cm .AE AF =6cm .∴.AD=AF-DF=6-2=4cm 16.（1)解：OA垂直平分MP, .ME=PE E B 同理：FN=PF. ∴△PEF 的周长=BP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=I5 (2)证明：PN=PM,OA垂直平分MP,OB垂直平分PN,, .OP-PM PR-IPN 21 2 ∴.PQ=PR ∴.OP ∠AOB 平分 17.(1)证明：：∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD, 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD △AOC≌△BOD(SAS) (2)解：如图，过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥BD于点N则∠OMA=∠ONB=90°， 由(1)△AOC≌△BOD, ∴.∠OAC=∠OBD, ,∠APO=∠BPE ∴.∠A0B=∠AEB=2a,∠AED=180°-2a, 在△OAM和△OBN中， [∠OMA=∠ONB ·.·∠OAM=∠OBN OA=OB :aO1M≌aOBN(AAS) ..OM =ON .EO平分∠AED, ∴.∠OED=90°-a. (3)证明：由(1)△AOC≌aBOD得：∠OCE=∠ODF,∠OAC=LOBD 在△OCE和△ODF中， OC=OD :{∠OCE=∠ODF CE=DF· ∴.△OCE≌aODF(SAS) ∴.OE=OF ..OF=BE, ∴.OE=BE,点E在BO的垂直平分线上； 在△A0B中，∠A0B=60°，OA=OB, .△AOB为等边三角形， ∴.AB=AO,点A在BO的垂直平分线上； 直线AC垂直平分B0.