第29章三角函数单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第29章三角函数单元测试卷，以网格图形、实际测量（如广州塔仰角俯角）为情境，覆盖三角函数定义、解直角三角形及应用，适配单元复习，提升几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|网格中三角函数值（如第1-3题）、锐角三角函数关系（第4题）|结合正方形网格，强化几何直观| |填空题|6题/18分|直角三角形边角关系（第11题）、热气球测量（第16题）|融入生活情境，体现模型意识| |解答题|8题/72分|解直角三角形（第17-19题）、机器狗路径计算（第24题）|综合方向角与三角函数，发展推理能力与应用意识|

第29章三角函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sin4的值是() 5 25 B.5 c.5 D.5 2.如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A,B,C都在格点上，则tan∠BAC= () B 2 5 2W5 A.2 B.3 c.5 D.5 3.如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为() 0 B 1 2V5 5 A.2 B.2 C.5 D.5 4.已知a、B均为锐角，且满足 ina- ,则a+B等于() 试卷第1页，共3页 A.75 B.60° C.45o D.105° 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D,则下列结论中正确的是 () A.sin B=BC AB B.cos B=A4D AB C.tanC=4 AC D.tan B=4D AB 6.如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为30°的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的 水平距离为8m,那么这两棵树在坡面上的距离AB为() 8米 B 30° 165 A.4v3m B.3-m C.4/5m D.16m 7如图，在aBC中，snB=手 5,tanc= ,AB=5,则BC的长为() A A.11 B.12 C.13 D.14 8,如图，在矩形MBCD中，D=1,B=5,以点4为圆心，B长为半径面交CD 于点E,则阴影部分的面积为() 试卷第2页，共3页 E A B5- C.a D. 9如图，在A4BC中，∠4CB=909,4C=8)an4s 2,分别以点4，C为圆心大于 4C长为半径面弧，两弧交于点M,N,M交AC于点D,交AB于点E,连接BD: CE交于点F,则DF的长度是() 2v5 4V2 8V2 A 3 B.3 C.3 D.42 1O.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF.有下列结 论：①∠BAE=30:②射线FE是∠AC的角平分线：③CF= CD:④4F=AB+Cr. 其中正确结论的为( 0 B E A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.②④ 二、填空题（每题3分，共18分） 试卷第3页，共3页 1.在Rt△ABC中，若两直角边a,b满足 2b-101+V12-a=0 ,则三角形中最小的角的 正切值是 (1 12.计算2019 +(3.14-z)°+23-V2+2sin45°-v12 的结果为 13,在R△ABC中，∠C=90,tanA= 3,则sinB= 14.如图，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，以点F为圆心，FB的长为半径画弧，得 到扇形FBD.若 S销形FD=2π .⊙0 ,则的半径为 15.在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明 亮的光斑.如图，1=2，若an∠A0D=4,OB=8,则BC二 光斑 平面镜 桌子 口B 16.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为l50m,这栋楼有多高。 (结果保留根号)· 试卷第4页，共3页 B 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠B=∠BAE,AE=5,CD=3,tan∠C=1. B E D (1)求BD的长 (2)求sin∠B的值. 18.如图，在6BC中，8BC=4,∠A=90e咖8sV分 4 A B (1)求AB: (2)求tanC」 19.如图.在△ABC中，AD⊥BC于点D,若AD=4,BC=6,tanC=2 D (1)求CD的长： (2)求cosB的值. 试卷第5页，共3页 20.计算： (1)sin30°.cos45°-tan45°+tan30°，tan60 1) 22 +(sin60°-1)°-2cos30°-(1-tan60) 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12,∠ABC的平分线交AC于点D,BD=85, 求AC 22.广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔.如图，广 州塔BD附近有一大厦AC高150m,状状在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶 C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高.（结果精确到lm,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) D C .37 田 ∠459 A ⊙ 23.如图，△ABC内接于O0,∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延长线上，且BD=AB,连 接AD, 试卷第6页，共3页 (I)求证：AD是⊙O的切线： (2)当AB=10,AC=16时，求BC的长及⊙0的半径. ABCD 是某机器狗试验场边沿，其中B位于A正东方向 100W3米处D 24.如图，四边形 位于B的正北方向，D位于A的北偏东30°方向，且位于C的西北方向，B位于C的西南 方向. 北 西 →东 南 D 45o 30% 450 y (I)求AD的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力.若机器狗从B 到D用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走B→A→D、B→C→D中哪 条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由.（机器狗走两条线路的速度相同） 试卷第7页，共3页 第29章三角函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 2．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 3．如图，放置在正方形网格中，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助网格图，构造直角三角形，利用勾股定理以及锐角三角函数求解． 【详解】解：如图所示， ∴ ∴， ∴． 4．已知、均为锐角，且满足，则等于（   ） A．75° B．60° C．45° D．105° 【答案】A 【分析】先求出与的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，计算两角和即可. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∵，均为锐角， ∴，， ∴． 5．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∴， ，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C正确， ，故选项D错误． 6．如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意，， ∴. 7．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 8．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，于是得到，根据特殊角三角函数，得到，根据扇形面积公式计算即可． 本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，扇形面积公式，熟练掌握三角函数，扇形面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由矩形， 得， 故， 故， ， 故阴影部分的面积为：， 故选：A． 9．如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 10．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到是否等于； ②根据题目中的条件，可以求得和的正切值，从而可以得到射线是否为的角平分线； ③根据前面的推论，可以得到和的关系，从而可以判断是否成立； ④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到是否成立． 【详解】解：在正方形中，是的中点， ，， ， ， ，故①错误； ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，，， ， ，即射线是的角平分线，故②正确； ，， ，故③错误； 作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ，故④正确， 综上所述，②④正确，正确的个数为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质及正切的定义．根据非负数的性质求出的值，根据根据大角对大边，小角对小边，得到最小的角，利用正切的定义解答即可． 【详解】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 12．计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．在中，，，则______． 【答案】 【分析】根据直角三角形三角函数定义设出直角边长度，利用勾股定理求出斜边，再代入正弦定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 设，则． 由勾股定理得：， ∵等于的对边与斜边的比，的对边是， ∴． 14．如图，为正六边形的外接圆，以点F为圆心，的长为半径画弧，得到扇形．若，则的半径为_________． 【答案】2 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，先根据正六边形的性质和等边对等角等知识求出，然后根据扇形面积公式求出，连接，，，过O作于H，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理得出，根据三线合一的性质得出，，然后根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵为正六边形的外接圆， ∴，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 解得， 连接，，，过O作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即的半径为2， 故答案为：2． 15．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 16．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，，，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解； （2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 又，， ， ； （2）解：，，， ， ． 18．如图，在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接利用正弦函数的定义求得的长，再根据勾股定理即可求解； （2）直接利用正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 【点睛】本题考查了三角函数在解直角三角形中的应用．熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 19．如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 22．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 23．如图，内接于，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：AD是的切线； (2)当时，求的长及的半径． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）作的直径，连接，证明即可得证AD是的切线； （2）证明，得，即可得到， 过点A作于点F，求得，继而得到， 得到，解答即可． 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质，勾股定理，正弦函数，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质和正弦函数是解题的关键． 【详解】（1）证明：作的直径，连接， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 过点A作于点F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆的半径为． 24．如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $