第29章三角函数单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学三角函数单元复习卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，全面覆盖三角函数定义、特殊角计算及解直角三角形应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角函数定义、特殊角计算|格点图形结合几何直观，如第1-2题；动态问题考查空间观念，如第9题多解情况| |填空题|6/24|三角函数值计算、解直角三角形|文化情境融入，如第16题正六边形外接圆；物理现象建模，如第15题光的反射问题| |解答题|8/72|解直角三角形应用、几何综合|实际应用体现模型意识，如第18题梯子移动、第24题无人机测量；跨学科融合，如第23题日晷文化与几何计算结合|

第29章三角函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sin4的值是() 5 25 A.2 B.5 C.5 D.√5 2.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则Cos∠ABC的值为() 3V5 2V5 3 A.10 B.5 C.2 3.sin45°+cos45°的值为() A.1 B.2 C.② D.22 5.tanc=1 4如图，在AHBC中，smB=4 2·AB=5,则BC的长为() A.11 B.12 C.13 D.14 5.某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图 ②)，对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为1.8 试卷第1页，共3页 米，∠CAD的度数为l50°，则此时“天幕”的宽度CD是() C----- ① ② A.1.8sinl5°米 B.3.6cos75°米 c.3.6sin75°米 D.1.8tanl5°米 6.如图，CD是等腰直角三角形ABC的角平分线，则tan∠ACD的值为() D B 2 A.5 C. D.2-1 ,三角形 是等腰三角形，且 口B ABC ∠ABC=90°∠A=∠ACB=45° .∠A=∠ADE=45°， .AE DE, 设AD=b,则 E=DE= 36 .BD=a-b. 2 b 在 中，tan∠ACD=,DE -2a-b RtACDE 4C-AE 2 在RisCBD中，tan∠BCD=BD-a-b BC a, :CD平分∠ACB，∠ACB=45°， 试卷第2页，共3页 .∠ACD=∠BCD=22.5°， b=a-b .2a-ba’ 解得 b=(2±2)a, .a>b>0」 :b=(2-2)a .tan☑ACD= b(2-2)a =V2-1 2a-b2a-(2-v2) 故选：D 7。已知。是领角，且关于x的方程-x25si血a+号0有两个相等的实数根，则。的度 数是() A.90° B.60° C.45° D.30° 8.如图，在矩形1CD中，D=,4B=5,以点4为园心，B长为半径国孤交CD 于点E,则阴影部分的面积为() D A.4 B5-牙 9.如图，在△ABC中，AB=AC=12,BC=10,点D为BC中点，点P以每秒1个单位的 速度从B出发沿B→A→C运动.当△PCD为等腰三角形时，t的值为() 试卷第3页，共3页 25 2 A. 6或18 B. 6或18或19 25 19 25 C.6或18或19或6 D.6或18或19或20 10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC=CD,将△ABC绕点C旋转至△EDC, 则下列说法不正确的是() ①AC平分∠BAD;②点A,D,E在同一条直线上： BD=60,则4B+D=54C,④老40-B=CD,则∠ABC=120 ③若 D A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.如图，每个小正方形的边长均为1，则sinB的值为一· B 12.计算：sin245°-tan60°.cos30°= 13 13.若∠A为锐角，且满足sinA+2simA,则∠A的度数为 14.如图，△ABC中，AB=AC,AB的中垂线DE分别与AB、BC交于点E、D.如果 试卷第4页，共3页 BD=4,DC=5,那么∠B的余弦值为 15.在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明 亮的光斑.如图，4=∠2，若am∠40D 4,OB=8,则BC=一 墙 光斑 平面镜 桌子 16.如图，⊙0为正六边形ABCDEF的外接圆，以点F为圆心，FB的长为半径画弧，得 到扇形FBD.若 第形fFBD=2π 的半径为. 0 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠B=∠BAE,AE=5,CD=3,tanZC=1. B E D (1)求BD的长 (2)求sin/B的值. 试卷第5页，共3页 18.如图，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7米.当梯子底端沿OB向外移动 0.8米时，设梯子的底端由点B移动到点D,顶端由点A下滑到点C,此时梯子项端沿墙下 滑多少米？ 0奇C额0 19.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，若∠ADC=45°，BD=2CD, 求tanB和sin∠BAD的值， B 20.广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔.如图，广 州塔BD附近有一大厦AC高150m,状状在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶 C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高.（结果精确到1m,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80.tan37°≈0.75) D 37o 田 45° A 21.如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90° 试卷第6页，共3页 B (1)请画出四边形ACBD的外接圆⊙O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)所作图中， ①连接CD,交AB于点P,若PC2=PAPB,求证CD⊥AB: ②设点O为△ABC的内心，CQ的延长线交⊙O于点E,若AB=10,求QE的长. 22.如图，△ABC为O0的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足为D,且AB=AC. (1)求证：∠BAC=2∠DBC: (2)若AB=10,BD=6,求⊙0的半径. 23.日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上.如图， ⊙0表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA, 0分别交于P.0两点，点C,D是0上两点，CD1B.过°作oE1B于点 OB与O hCD县o0 0 E,交CD于点F,交 D0于点M.已知9 CD=60v3cm OF=30cm ME=20cm 试卷第7页，共3页 (1)求⊙0的半径： (2)求图中阴影部分的面积.（结果保留） 24.“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于 5月23日在巴河之畔举行.一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面15m 的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为42.3°和52.4° :v5 (点MC、B、A在一条直线上).已知河堤斜坡C的长为2m,坡比为 (计算结 果保留整数).（参考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74，tan42.3°≈0.91. sin52.4°≈0.79，cos52.4°≈0.61，tan52.4°≈1.30) D 河堤 一河面 M CB A (1)求无人机距河面的高度PM: (2)求两艘皮划艇之间的距离AB. 试卷第8页，共3页 第29章三角函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D， ∴AD=2，BD=4， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3．的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可； 【详解】∵ sin45°= ，cos45°=， ∴sin45°+ cos45°=+= ， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ． 4．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 5．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 6．如图，是等腰直角三角形的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正切值及角平分线相关知识；作，垂足为，设等腰直角中，，则；根据等腰三角形的性质，设，则，根据角平分线的性质及正切值找到等量关系，即可解答． 【详解】解：作，垂足为，设等腰直角中，，则斜边，且， ∵三角形是等腰三角形，且， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∵平分，， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．已知是锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式为0，先求出的值，再结合是锐角得到的度数． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 代入得：， 化简得：， 整理得：， ∵是锐角，， ∴， ∴． 8．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，于是得到，根据特殊角三角函数，得到，根据扇形面积公式计算即可． 本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，扇形面积公式，熟练掌握三角函数，扇形面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 由矩形， 得， 故， 故， ， 故阴影部分的面积为：， 故选：A． 9．如图，在中，，，点为中点，点以每秒1个单位的速度从出发沿运动．当为等腰三角形时，的值为（   ） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形应用等知识，分点P在上和上讨论，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形的应用求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ①当点P在上时，， ∴为等腰三角形时，只有， ∴， 过D作于Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在上时， ∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，如图，过D作于Q， 则， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴； 综上，t的值为或18或19或， 故选：C． 10．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点C旋转至，则下列说法不正确的是（   ） ①平分；②点A，D，E在同一条直线上； ③若，则；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据得，进而得，即可判断①；由旋转得，根据四边形是的内接四边形得，即可判断②；若，则，由旋转可知：，，作，则，即可判断③；在上截取，连接，可得，推出，根据可得，推出是等边三角形，得，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴平分；故①正确； ∵将绕点C旋转至， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴点A，D，E在同一条直线上；故②正确； 若，则， 由旋转可知：，， ∴，， ∴， 作，如图所示： 则， ∴， ∴；故③错误； 在上截取，连接，如图所示： 可得； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故④正确； 故选：A 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角函数等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键． 二、填空题 11．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为____ ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角三角函数值. 根据，可得，利用特殊角的锐角三角函数值解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．计算：__________． 【答案】 【详解】解： 13．若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 【答案】/30度 【分析】先将已知等式整理为关于的一元二次方程，解方程得到的可能取值，结合为锐角的条件舍去不符合的解，再根据特殊锐角的三角函数值，即可得到的度数． 【详解】解：将原等式移项得：， 方程两边同乘得：， 因式分解得：， 解得或． 因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去． 当时，根据特殊锐角的三角函数值，可得． 14．如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为_________． 【答案】/ 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 16．如图，为正六边形的外接圆，以点F为圆心，的长为半径画弧，得到扇形．若，则的半径为_________． 【答案】2 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，先根据正六边形的性质和等边对等角等知识求出，然后根据扇形面积公式求出，连接，，，过O作于H，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理得出，根据三线合一的性质得出，，然后根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵为正六边形的外接圆， ∴，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 解得， 连接，，，过O作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即的半径为2， 故答案为：2． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，，，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解； （2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 又，， ， ； （2）解：，，， ， ． 18．如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，根据勾股定理求初始顶端高度 ，根据勾股定理求下滑后顶端高度 ，最后用即可． 【详解】由题意可知，墙与地面垂直， ∴ 、都是直角三角形， ∵梯子长度不变， ∴ 在 中， ， 梯子底端外移后，， ∴在 中，： ， ∴顶端下滑的距离为： ． 19．如图所示，在△ABC中，，D为上一点，若，，求和的值． 【答案】，． 【分析】易证，根据，即可求得和AC大小关系，即可求得和的值，过点D作于点M，利用三角函数求得，于是即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， 如图，过点D作于点M， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角函数值在直角三角形中运用以及勾股定理，熟记三角函数的定义是解题的关键． 20．广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔附近有一大厦高，状状在楼底处测得塔顶的仰角为，上到大厦顶处测得塔顶的仰角为，求广州塔的高．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】广州塔的高约为 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，得出，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据题意可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：． 答：广州塔的高约为． 21．如图，在四边形中，． (1)请画出四边形的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中， ①连接，交于点P，若，求证； ②设点Q为的内心，的延长线交于点E，若，求的长． 【答案】(1)图形见解析； (2)①证明见解析；②． 【分析】（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，得到为四边形外接圆的直径，取中点O，以长为半径作圆即可； （2）①根据，结合三角函数，得到，从而得到，即可证明结论； ②连接、、，根据三角形内心的性质，得到，，再根据弧、弦、圆周角的关系得到，从而证明是等腰直角三角形，得到，，再证明，利用等角对等边即可求出得长． 【详解】（1）解：即为所求作； （2）解：①， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②连接、、， 点Q为的内心， ，， ， ， 为直径， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了作四边形内接圆，特殊的三角函数，三角形内心的性质，圆的性质，等腰三角形的额判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握三角形内心的性质和圆的相关性质是解题关键． 22．如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． (2)． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证； （2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据弧相等圆心角相等推出，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 23．日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键； （1）连接，推出，得，即可求解； （2）由（1）可知：,推出，根据为等边三角形，求出，，结合，即可求解； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：, ∵． ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 24．“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $