专题14三角形内切圆及正多边形与圆暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题14三角形内切圆及正多边形与圆暑假预习讲义 1. 明晰内切圆核心内容：掌握三角形内切圆、内心定义，清楚内心是三条角平分线交点，该点到三角形三边距离等于内切圆半径；区分内心与外心，熟练简单三角形内切圆半径计算。 2. 吃透切线长综合运用：结合切线长定理，推导三角形顶点到内切圆切点的线段长度，用于边长相关计算。 3. 掌握正多边形与圆关联概念：理解圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角等概念，明确圆可等分后作出正多边形。 4. 熟练相关公式计算：会求正多边形中心角、边长、边心距，依托勾股定理搭建直角三角形，完成半径、边心距、边长互算。 5. 实操作图能力：学会等分圆周，画出圆内接正四边形、正六边形这类常见正多边形。 6. 图形综合运算：求解正多边形与圆组合图形的阴影面积，选用割补、和差法转化计算。 7. 规避高频易错点：切勿混淆内心、外心；计算中心角时分清边数，公式不要和圆心角公式混用。 8. 领悟数学思想：借助数形结合、转化思想，将正多边形问题拆解为直角三角形求解，完善圆的几何知识体系。 预习必备 知识梳理 1.基础概念 2.内心核心性质 3.内切圆半径计算公式 4.正多边形与圆的基础概念 5.正多边形的有关计算 6.正多边形的性质 常考题型 精讲精练 1三角形内心有关应用. 2.三角形内切圆半径边角关系 3.三角形内切圆与外接圆综合 4.求正多边形的中心角 5.由正多边形的中心角求边数 6.正多边形和圆的综合 7.尺规作图--正多边形 强化题型 解答题6题 三角形内切圆与正多边形和圆是圆章节后半段核心内容，预习时重点区分内心、外心两类交点，熟记内切圆半径、正多边形中心角计算公式。 本节知识常结合勾股定理、几何作图综合出题，是圆相关解答题的高频命题板块，预习需结合图形理解概念，梳理公式推导逻辑。 知识点01：基础概念 1.三角形内切圆定义 与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.三角形内心定义 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点。 3.圆的外切三角形 三边都与同一个圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。 知识点02：内心核心性质 1.内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r； 2.内心永远在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）； 3.内心平分三角形的三个内角。 4.区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等） 外接圆圆心（外心）vs 内切圆圆心（内心）对比表格 四知识点03：内切圆半径计算公式 1.通用面积公式（任意三角形适用） 2.直角三角形简化公式 直角边a、b，斜边c： 知识点04:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点05:正多边形的有关计算 知识点06:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点07：正多边形的作图方法 1.等分圆周法（通用） ① 画圆；② 计算中心角，用量角器依次截取等弧；③ 顺次连接分点，得到正多边形。 2.特殊正多边形简便画法 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径，连接端点； 正六边形：以半径长在圆周依次截取 6 个等分点，顺次连接。 题型1三角形内心有关应用. 【典例】三角形的内心是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心，根据三角形的内心的定义，它是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵三角形的内心是三角形内切圆的圆心，且内切圆与三边相切， ∴内心到三边的距离相等，这要求它是三条角平分线的交点． ∴三角形的内心是三条角平分线的交点． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 【跟踪专练3】如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 题型2.三角形内切圆半径边角关系 【典例】的周长为，面积为，则内切圆半径为_______． 【答案】/0.8 【分析】如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径． 【详解】解：如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键． 连接， 推导出，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【跟踪专练3】如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 【典例】如图，是的内切圆，若，则的度数为___．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 【跟踪专练3】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 题型4.求正多边形的中心角 【典例】正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【答案】 120 90 60 【分析】根据正边形中心角的公式，代入对应正多边形的边数即可求解． 【详解】解：正三角形边数，中心角为． 正方形边数，中心角为． 正六边形边数，中心角为． 【跟踪专练1】如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角，再根据旋转的性质，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵这是正五边形卡通贴纸 ∴， ∴ 则将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合． 【跟踪专练2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 【跟踪专练3】如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置组成，且，将阀门绕其中心旋转，当正六边形的顶点恰好与重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（   ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正六边形中心角公式求出，再根据、得出平分，从而得到最小旋转角． 【详解】解：如图，连接， 该图形为正六边形， ， ，， 垂直平分，平分， ， 阀门至少旋转了度． 题型5.由正多边形的中心角求边数 【典例】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】10 【分析】用除以单个中心角的度数即可得到正多边形的边数． 【详解】解：根据正多边形中心角与边数的关系，得： 该正多边形的边数为：． 【跟踪专练1】大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 【跟踪专练2】如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 【跟踪专练3】如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 题型6.正多边形和圆的综合 【典例】在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】 （答案不唯一，均正确） 【分析】要在正十二边形中顺次连接顶点构成正边形，必须是的不小于的正约数，据此解答即可． 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 【跟踪专练1】如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 /36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 【跟踪专练3】如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 题型7.尺规作图--正多边形 【典例】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【跟踪专练1】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 【跟踪专练2】按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 解答题 1．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 3．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1)证明见解析； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明； （2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图： ， ， ， ， ∵圆的半径为2， ∴点在圆上， ， ∴与相切； （2）解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图： 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 作的内切圆，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰直角三角形， ， 设圆的半径为， ， ， 解得：， ， ∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 4．如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 5．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 【答案】(1)扇叶最外端P与地面的距离为 (2)点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为 【分析】（1）过点P作，垂足为F，则，那么，再解即可； （2）解求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得O，D，C三点共线． 如图，过点P作，垂足为F． 由题意，得， ∴． ∵⊙O的直径为， ∴． 在中，， ∴． ∴扇叶最外端P与地面的距离为． （2）解：依据题意构图如上，此时点P运动到点Q的位置． 在中，，， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点P运行到直线的左侧且该直线经过点C时，的长度为． 33．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;（3）作图见解析;（4）作图见解析 【分析】本题要求使用圆规和无刻度的直尺画出圆的内接正多边形，包括正三角形、正方形、正六边形和正八边 形．作图的思路是：把圆分成等份，顺次连接各顶点，就得到正边形． 【详解】（1）解：选择圆上任意一点作为正三角形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 两点，这两点即为正三角形的另外两个顶点，连接这三个点即可得到正三角形．如图所示，（画法不唯一）正三角形为所求． （2）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，这两条直径将圆周分成四等份，连接这四个点 即可得到正方形． 如图所示，正方形为所求． （3）解：选择圆上任意一点作为正六边形的一个顶点，以这个顶点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与圆交于 一点，重复这个过程，直到找到六个顶点，连接这 六个点即可得到正六边形．如图所示，正六边形为所求． （4）解：画出圆的两条互相垂直的直径，它们的交点即为圆心，以圆心为圆心，以圆的半径为半径画圆，与这两条直径交于四点，以这四点为圆心，以圆的半径 为半径画弧，与圆交于另外四点，连接这八个点即可得到正八边形． 如图所示，正八边形为所求． 【点睛】本题考查了作圆内接正多边形，解题的关键在于理解正多边形顶点在圆周上均匀分布的特性，并利用圆规和直尺进行作图． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14三角形内切圆及正多边形与圆暑假预习讲义 1. 明晰内切圆核心内容：掌握三角形内切圆、内心定义，清楚内心是三条角平分线交点，该点到三角形三边距离等于内切圆半径；区分内心与外心，熟练简单三角形内切圆半径计算。 2. 吃透切线长综合运用：结合切线长定理，推导三角形顶点到内切圆切点的线段长度，用于边长相关计算。 3. 掌握正多边形与圆关联概念：理解圆内接正多边形、外接圆、边心距、中心角等概念，明确圆可等分后作出正多边形。 4. 熟练相关公式计算：会求正多边形中心角、边长、边心距，依托勾股定理搭建直角三角形，完成半径、边心距、边长互算。 5. 实操作图能力：学会等分圆周，画出圆内接正四边形、正六边形这类常见正多边形。 6. 图形综合运算：求解正多边形与圆组合图形的阴影面积，选用割补、和差法转化计算。 7. 规避高频易错点：切勿混淆内心、外心；计算中心角时分清边数，公式不要和圆心角公式混用。 8. 领悟数学思想：借助数形结合、转化思想，将正多边形问题拆解为直角三角形求解，完善圆的几何知识体系。 预习必备 知识梳理 1.基础概念 2.内心核心性质 3.内切圆半径计算公式 4.正多边形与圆的基础概念 5.正多边形的有关计算 6.正多边形的性质 常考题型 精讲精练 1三角形内心有关应用. 2.三角形内切圆半径边角关系 3.三角形内切圆与外接圆综合 4.求正多边形的中心角 5.由正多边形的中心角求边数 6.正多边形和圆的综合 7.尺规作图--正多边形 强化题型 解答题6题 三角形内切圆与正多边形和圆是圆章节后半段核心内容，预习时重点区分内心、外心两类交点，熟记内切圆半径、正多边形中心角计算公式。 本节知识常结合勾股定理、几何作图综合出题，是圆相关解答题的高频命题板块，预习需结合图形理解概念，梳理公式推导逻辑。 知识点01：基础概念 1.三角形内切圆定义 与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.三角形内心定义 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点。 3.圆的外切三角形 三边都与同一个圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。 知识点02：内心核心性质 1.内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r； 2.内心永远在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）； 3.内心平分三角形的三个内角。 4.区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等） 外接圆圆心（外心）vs 内切圆圆心（内心）对比表格 四知识点03：内切圆半径计算公式 1.通用面积公式（任意三角形适用） 2.直角三角形简化公式 直角边a、b，斜边c： 知识点04:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点05:正多边形的有关计算 知识点06:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点07：正多边形的作图方法 1.等分圆周法（通用） ① 画圆；② 计算中心角，用量角器依次截取等弧；③ 顺次连接分点，得到正多边形。 2.特殊正多边形简便画法 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径，连接端点； 正六边形：以半径长在圆周依次截取 6 个等分点，顺次连接。 题型1三角形内心有关应用. 【典例】三角形的内心是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【跟踪专练1】如图，点为的内心，，则的度数是______． 【跟踪专练2】如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【跟踪专练3】如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 题型2.三角形内切圆半径边角关系 【典例】的周长为，面积为，则内切圆半径为_______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【跟踪专练2】如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【跟踪专练3】如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 【典例】如图，是的内切圆，若，则的度数为___．    【跟踪专练1】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【跟踪专练2】如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【跟踪专练3】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型4.求正多边形的中心角 【典例】正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【跟踪专练1】如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是________（写出个符合题意的数值即可）． 【跟踪专练2】如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【跟踪专练3】如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置组成，且，将阀门绕其中心旋转，当正六边形的顶点恰好与重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（   ）度． A． B． C． D． 题型5.由正多边形的中心角求边数 【典例】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______． 【跟踪专练1】大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【跟踪专练2】如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【跟踪专练3】如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 题型6.正多边形和圆的综合 【典例】在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【跟踪专练1】如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【跟踪专练3】如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 题型7.尺规作图--正多边形 【典例】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【跟踪专练1】如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【跟踪专练2】按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 3．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 4．如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 5．风车，是一种不需要燃料、以风作为能源的动力机械．古代的风车是从船帆发展起来的，它具有6—8副像帆船那样的篷，分布在一根垂直轴的四周，风吹时像走马灯似的绕轴转动，叫走马灯式的风车．如图1为一大风车（运转后最外端的轨迹为圆），其直径为，该风车圆心上均匀地安装了8个扇叶，其示意图如图2，立杆垂直于地面，且圆周最低点D距离地面为． (1)若扇叶与立杆夹角，求扇叶最外端P与地面的距离． (2)在风车逆时针旋转的过程中，过点P作线段的垂线，当点P运行到的左侧且该垂线经过点C时，求的长度． 33．在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正方形 (3)正六边形 (4)正八边形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $