第27讲 正多边形与圆（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第27讲 正多边形与圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正多边形和圆有关的角度计算 题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题 题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系 题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系 题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题 题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 题型7 正多边形和圆中的证明 题型8 正多边形和圆中的最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正多边形、中心、半径、边心距、中心角、等分圆周、尺规作图。 1. 理解正多边形与圆的关系，知道正多边形可以看成是圆的内接或外切正n边形。 2. 掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，能进行相关计算。 3. 能用量角器或尺规将圆分成n等份，作出正n边形（如正四边形、正六边形）。 4. 体会“等分圆周”的转化思想，感受正多边形与圆的密切联系以及图形的对称美。 学习重点:正多边形的相关概念（中心、半径、边心距、中心角）及其计算。 学习难点:理解正多边形的半径、边心距、边长、中心角之间的关系，能构造直角三角形（由半径、边心距、半边长组成）进行求解，以及用量角器或尺规作正多边形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆内接正多边形 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 【易错提醒】 圆内接正多边形顶点都在圆上，中心角等于边数分之三百六十度。易错：混淆边心距、半径、边长，计算时搞错对应直角三角形三边 即时即练1．如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且，为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，，的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，，是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 2．如图，边长为2的正是的内接三角形，则阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，连接并延长交于点，通过解求出圆的半径，以及圆与内接正多边形的性质求出圆心角的度数，再由阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：连接、，连接并延长交于点，如下图，   等边是的内接三角形， ，， ∴， ∴， ， 图中阴影部分的面积． 3．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且． (1)猜想的形状，并说明理由． (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论； （2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由扇形面积公式求出扇形的面积，再求出的面积，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：为等边三角形． 理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ． ． 是等边三角形． （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵点是的内心， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，正三角形的判定，三角形内心，解直角三角形，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 题型1 正多边形和圆有关的角度计算问题 【例1】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正五边形内接于， ∴， ∵P为上一点， ∴， 故选：B． 【例2】如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数． 先由正多边形的边数求出圆心角的度数，再结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，. ∵正五边形 内接于⊙O， ∴ ， ． 故选： B． 【技巧归纳】 先求中心角、内角、外角，借助半径等分圆心角，利用等腰三角形、圆周角性质，列式求解相关夹角大小 【变式1-1】如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系． 连接，，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ． 【答案】/126度 【分析】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，， ∵正五边形内接， ∴ ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 题型2 正多边形和圆有关周长、面积问题 【例3】如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 【例4】正六边形的周长为6，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，涉及了勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，再求出的面积为，进而即可求解正六边形面积． 【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选：B． 【技巧归纳】 把正多边形拆成多个全等等腰三角形，求出边长再算周长；利用边心距、边长，套用公式计算整体面积 【变式2-1】如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 阴影部分的周长为， 故答案为：． 【变式2-2】“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故答案为：． 题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系 【例5】如图，正六边形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求正多边形的中心角，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 除以边数即可． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， 故选：D． 【例6】如图，已知正五边形ABCDE内接于，连接OB，OE，BE，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正五边形的中心角，来确定的度数，然后利用等腰三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图，连接OA， 正五边形内接于， ， ． ， ． 故选：C 【点睛】此题考查正多边形的中心角求解以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形底角相等的性质是解题的关键． 【技巧归纳】 作边心距构造直角三角形，中心角平分一半为锐角，用三角函数建立半径、边长一半、边心距三者等量关系求解 【变式3-1】俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正六边形的中心角等于； 故答案为：． 【变式3-2】如图，正方形内接于，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角等知识点，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角公式即可直接得出答案． 【详解】解：正方形内接于， 既是圆的圆心又是正方形的中心， ， 故答案为：． 题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系 【例7】若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的计算，正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接，作， ∵正六边形的边长为4，， ∴． ∴正六边形的边心距是． 故选：D． 【例8】如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形，等边三角形，三角函数，圆弧．熟练掌握正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，正弦定义，的正弦值，弧长公式，是解决问题的关键．连接，可得是等边三角形，再利用三角函数即可求解． 【详解】连接 ∵正六边形内接于， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴的长， 故选：D． 【技巧归纳】 过中心作边的垂线拆分直角三角形，斜边为外接圆半径，两条直角边分别是边心距、边长一半，借助勾股或三角函数互相求解 【变式4-1】圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，为的内接正三角形， 过O作，连接，则， 为圆内接正三角形， ， ， ， ，即， 边心距与半径的比是， 故答案为：． 【变式4-2】如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为4，那么小正六边形的边心距是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，根据题意可求出正六边形的边长为4，设正六边形的中心为，连接，过点作于点，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ， 又， ， 即正六边形的边长为4， 设正六边形的中心为，连接，过点作于点， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题 【例9】如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 【例10】如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形． 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【技巧归纳】 先等分圆得到对应顶点，依次连接顶点画出正多边形；利用圆规截取等弧，借助特殊圆心角完成等分作图 【变式5-1】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，正五边形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握知识点的应用． （）连接，交于点，连接，根据正五边形的性质可得直线把五边形分成面积相等的两部分； （）连接交于点连接，得直线把分成面积相等的两部分． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求； ； （2）解：如图2，直线即为所求； 理由：连接交于点， ∵的外接圆的圆心是点，是的中点， ∴垂直平分， ∴是的中点， ∴直线把分成面积相等的两部分． 【变式5-2】（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 【答案】（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形； （2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可； ②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）如图，六边形即为所求； 理由：连接， 由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形为的正六边形； （2）①如图，即为所求； 理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即； ②如图，即为所求； 理由：由（2）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键． 题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 【例11】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【例12】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正多边形的性质是解题关键，利用正多边形的性质结合勾股定理计算，找到规律即可得解． 【详解】解：在中，，， ， 点的坐标为， 第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 每4个一循环，则， 第2024次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 故选：． 【技巧归纳】 利用圆半径与中心角，结合三角函数算出顶点横纵坐标，再借助坐标公式求解边长、角度与动点相关问题 【变式6-1】在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形的性质及解直角三角形，过点 作轴，垂足为，通过正六边形的性质和解直角三角形求出点的横坐标，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为 ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵在第二象限 ∴           故答案为：. 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 【答案】 【分析】首先确定点的坐标，再根据旋转推导出4次一个循环，再计算经过第2024次旋转后点的坐标即可；本题考查了正多边形的性质，规律型问题，旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点重合，轴， ∴， ∴， ∴; ∵每次旋转，， ∴4次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 题型7 正多边形和圆中的证明 【例13】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 【例14】如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 【技巧归纳】 利用等弧对等弦、等圆心角，证明多边形各边相等、各内角相等，结合圆的性质完成正多边形相关推理论证 【变式7-1】如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． (1)求证：是的切线； (2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)该硬币（）的直径为 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据正多边形的性质可得中心角，进而得出得出则，即可得证； （2）连接，证明四边形是正方形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是内接正九边形的一条边， ∴中心角， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴该硬币（）的直径为． 【变式7-2】如图，正五边形内接于中，连结，，，交于点． (1)若半径为5，求弧的长； (2)求证：； (3)求证：点为的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）由五边形是正五边形，得到，，，，，，根据菱形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到； （3）根据菱形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，得到点为的黄金分割点． 【详解】（1）解： 五边形是正五边形， ，，，，，， 四边形是菱形， ， 同理可求：， ， ， 弧的长； （2）证明：四边形是菱形， ， ， 同理， ， ， ，， ， ， ； （3）证明：四边形是菱形， ， ， ， 同理， △△， ，即， ， 解得（舍去负值）． 点为的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了正多边形的判定及性质和圆，相似三角形的判定及性质，黄金分割，菱形的判定及性质，多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 题型8 正多边形和圆中的最值问题 【例15】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D． 【例16】如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【技巧归纳】借助圆上点到定点距离最值规律，结合正多边形顶点位置，分析最远、最近位置，利用半径、边长列式求解最值。 【变式8-1】如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d． （1） ． （2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ． 【答案】 4 / 【分析】（1）连接，可得是等边三角形，即可； （2）当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接，根据勾股定理求出的长，即可；根据题意得当点M在线段上时，d最大，即可． 【详解】解：（1）连接， 在正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：4 （2）如图1，当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接． ∴，，， ∴， ∴， 即此时M到的距离为． 如图2，当点M在线段上时，d最大，． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键． 【变式8-2】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 2．（2026·辽宁锦州·二模）如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的性质求出扇形的圆心角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴扇形的面积是， 故选：C． 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 4．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 5．（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 二、填空题 6．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知是内接正十边形的一条边，是内接正十五边形的一条边，那么是内接正_____边形的边． 【答案】 或/30或6 【分析】根据正多边形中心角公式分别求出和所对的圆心角，分两种情况讨论点的位置，得到所对的圆心角，进而计算得到以为边的正多边形的边数． 【详解】解：是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边， ，， ①当点在劣弧上时， ， 则以为边的正多边形的边数为； ②当点在劣弧外时， ， 则以为边的正多边形的边数为； 综上所述，是内接正边形或正边形的边． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，正五边形内接于中，P是劣弧上一点，则的度数为______． 【答案】 /36度 【分析】连接，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 8．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 9．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 10．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题的关键． 先根据正方形性质和勾股定理求出，，再根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵是边长为4的正方形的外接圆 ，，， ∴在中，，即， ． ． 12．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 13．（24-25九年级上·陕西延安·期末）如图，正六边形内接于，与相切于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，切线的性质，由正六边形的性质可得是等边三角形，即得，由切线的性质可得，再根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设交于H，可证明垂直平分，则，再由切线的性质得到，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）证明是等边三角形，则可求出的长，进而求出的长，求出，则可求出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 15．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论； （3）求出，，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第27讲正多边形与圆 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1正多边形和圆有关的角度计算 题型2正多边形和圆有关的周长、面积问题 题型3正多边形的边长、半径与中心角的关系 题型4正多边形的边长、半径与边心距的关系 题型5正多边形和圆有关的尺规作图问题 题型6正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 题型7正多边形和圆中的证明 题型8正多边形和圆中的最值问题 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解正多边形与圆的关系，知道正多边形可以看成是圆的内接或外切正n 正多边形、中心、半边形。 径、边心距、中心2.掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，能进行相关计算。 角、等分圆周、尺规3.能用量角器或尺规将圆分成n等份，作出正n边形（如正四边形、正六边 作图。 形)。 4.体会“等分圆周”的转化思想，感受正多边形与圆的密切联系以及图形的 对称美。 学习重点：正多边形的相关概念（中心、半径、边心距、中心角）及其计算。 学习难点：理解正多边形的半径、边心距、边长、中心角之间的关系，能构造直角三角形（由半径、 边心距、半边长组成)进行求解，以及用量角器或尺规作正多边形。 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知1识|框|架 中心角与内角混淆 高频易错点 各边相等各角相等的多边形 边心距与半径概念混清 正多边形的定义 顶点在圆上 与圆的关系 正多边形中心角计算 圆是正多边形的外接圆 半径边心距边长关系 高频考点 外接圆圆心 正多边形的中心 面积计算 正多边形的外接圆 外接圆半径 正多边形的半径 用量角器画中心角 正多边形与圆 等分圆周法 正多边形的画法 正多边形相邻顶点所对圆心角 中心角 常用：正方形、正六边形尺规作图法 中心角=360度/边数 边长与半径关系 内切圆圆心也是正多边形中心 正多边形的内切圆 边心距与半径关系 正多边形的相关计算 中心到边距离 内切圆半径 1/2乘周长乘边心距面积公式 也称边心距 知1识1精|讲 知识点01圆内接正多边形 正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正边形的中心；当 边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相 似比的平方. 5任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形：(2)各角相等的圆的外切多边形 是圆的外切正多边形. 正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为R、中心角为am、边长为a、边心距为ra,则利用等腰三角形OAB,通过解 直角三角形OAH,可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正边形的周长及面积. 2/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 圆内接正多边形顶点都在圆上，中心角等于边数分之三百六十度。易错：混淆边心距、半 径、边长，计算时搞错对应直角三角形三边 即时即练1.如图，AB和AC分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若AB=1,则下列 说法不正确的是() B y A.该圆的半径是1 B.弦AC的长是V2 C.BC的长为3 D.1是lc的2倍 2.如图，边长为2的正△ABC是⊙O的内接三角形，则阴影部分的面积为 A 0 B 3.窗花是我们节日装饰的元素之一.如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧 所对应的弦构成一个正六边形，点O为正六边形的中心，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，且 AC=4 B 3/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)猜想△ABO的形状，并说明理由 (2)求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 03 题型突破 题型1正多边形和圆有关的角度计算问题 【例1】如图，正五边形ABCDE内接于OO,P为AB上一点，连接PA,PE,则LAPE的度数为() B A.18° B.36 C.54 D.72° 【例2】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F是劣弧DE上一点（点F不与点D,E重合），连接BF, DF,则∠BFD=() A B D A.36° B.72° C.90° D.108 【技巧归纳】 先求中心角、内角、外角，借助半径等分圆心角，利用等腰三角形、圆周角性质，列式求解 相关夹角大小 【变式1-1】如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，点P在AB上，连结CP,CE,则LCPE的度数为 4/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D E ,正五边形 内接于， B ABCDE ⊙0 .∠EOC= 360° ×2=144° 5 .∠CPE=∠EOC=」 ×144°=72° 故答案为：72°」 【变式1-2】如图，正五边形ABCDE内接⊙O,点F是AB的中点，连接BD,CF交于点G,则 ∠BGC的度数是 E 0 题型2正多边形和圆有关周长、面积问题 【例3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，己知⊙0的周长是12π，则该正六边形的边长是() F E Q A.3 B.35 C.6 D.65 5/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例4】正六边形的周长为6，则它的面积为() A.9V5 86 C.3 D.35 【技巧归纳】 把正多边形拆成多个全等等腰三角形，求出边长再算周长；利用边心距、边长，套用公式计 算整体面积 【变式21】如图，正五边形ABCDE的边长为5，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的周 长为 (结果保留π) 【变式2-2】“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用.已知半径为20cm的正六边形的 窗洞如图所示，那么它的面积是 题型3正多边形的边长、半径与中心角的关系 【例5】如图，正六边形的中心角的度数为() A.30° B.40° C.50 D.60 【例6】如图，已知正五边形ABCDE内接于OO,连接OB,OE,BE,则∠OBE的度数为() E A.12° B.15o C.18 D.20° 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 作边心距构造直角三角形，中心角平分一半为锐角，用三角函数建立半径、边长一半、边心 距三者等量关系求解 【变式31】俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年. 如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是 【变式32】如图，正方形内接于⊙M,则∠AMB的度数是 M B 题型4正多边形的边长、半径与边心距的关系 【例】若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为() A.2 B.22 C.3 D.2W3 【例8】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长 分别为() A dM B A. 2’元 B.35’元 C. 352π 2’3 D.33'2m 【技巧归纳】 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过中心作边的垂线拆分直角三角形，斜边为外接圆半径，两条直角边分别是边心距、边长一 半，借助勾股或三角函数互相求解 【变式41】圆内接正三角形的边心距与半径的比是 【变式42】如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形 空隙.如果直角三角形最短边的长为4，那么小正六边形的边心距是 题型5正多边形和圆有关的尺规作图问题 【例】如图，已知⊙0，请用尺规做O0的内接正四边形ABCD.(保留作图痕迹，不写做法) 【例10】如图，己知⊙0和⊙0上的一点A, 【实践与操作】 (1)作⊙O的内接正六边形ABCDEF(不写作法，保留作图痕迹)· 【应用与证明】 (2)连结BF,CE,判断四边形BCEF的形状，并加以证明. 【技巧归纳】 先等分圆得到对应顶点，依次连接顶点画出正多边形；利用圆规截取等弧，借助特殊圆心角 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 完成等分作图 【变式51】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示 画图结果) •0 D D 图1 图2 (I)如图1，五边形ABCDE是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (②)如图2，△ABC的外接圆的圆心是点O,D是AC的中点，画一条直线把△ABC分成面积相等的两部分： 【变式52】(1)如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出⊙O的内接正六边形ABCDEF,保留作图 痕迹 (2)如图2、图3是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.其中点A、点D为格点， ⊙0经过点A、点D,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务. ①如图2，过点O作AD的垂线，交⊙O于E,F； ②如图3，点B在⊙O上，过点B作弦BC∥AD B 0 图1 图2 图3 题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 【例11】如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点D,E在x轴上，顶点F在y轴上，若正 六边形的中心点p的坐标为 (2,V5)则点B的坐标为（) 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(2,23)） B.(23,3 c.(25,2 D.(3,25) 【例12】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴， 交y轴于点P.将AOAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为( A.(5,-1) B.(-1,-V5) C.(-V3,-1) D.(L3) 【技巧归纳】 利用圆半径与中心角，结合三角函数算出顶点横纵坐标，再借助坐标公式求解边长、角度与 动点相关问题 【变式61】在平面直角坐标系中，正六边形ABCDOE按如图所示的方式放置，若点A的坐标为(0,4)， 则点E的坐标为 D 【变式62】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴， 交'轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为 10118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y B F 0 E 题型7正多边形和圆中的证明 【例13】如图，正方形ABCD内接于⊙O,E是AD的中点，连接BE,CE, (1)求∠E的度数. (2)求证：BE=CE (3)若AB=2,则点E到BC的距离为· 【例14】如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为AD上的一点，连接BM,CM. (I)若BM=CM,求证：M为AD的中点， (2)若正方形的面积为4，请直接写出⊙0的半径. 【技巧归纳】 利用等弧对等弦、等圆心角，证明多边形各边相等、各内角相等，结合圆的性质完成正多边 形相关推理论证 【变式7-1】如图，是中国人民银行1992年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 币”，霖霖移动该硬币（⊙O)与直角三角形(DEF)形成如图所示位置.其中，AB是⊙O内接正九边 形的一条边，DF经过点B和圆心O,点C是DE与⊙O的交点，∠AOC=∠E=90°，∠F=50°， D 角 YIJIAO (I)求证：DE是OO的切线； (2)若EF切OO于点G,且霖霖测得DE≈25mm,EF≈2lmm,求该硬币(OO)的直径为多长（精确到 0.1mm ) 【变式7-2】如图，正五边形ABCDE内接于OO中，连结AC,AD,CE,CE交AD于点F. (1)若半径为5，求弧CD的长： (2)求证：AE=AF; 3)求证：F点为AD的黄金分割点. 题型8正多边形和圆中的最值问题 【例15】如图，⊙0的圆心0与正方形的中心重合，已知⊙0的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意 一点到正方形边上任意一点距离的最小值为() A.0.5 B.1 C.4-22 D.2-√2 【例16】如图，已知边长为2的正△ABC顶点A的坐标为(0,6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方， 点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为() 12118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4-5 C.4 D.6-25 【技巧归纳】借助圆上点到定点距离最值规律，结合正多边形顶点位置， 分析最远、最近位 置，利用半径、边长列式求解最值。 【变式81】如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4,O为AD的中点，以O为圆心，V5为半径作O0, M为⊙0上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d. F B (1)OA= (2)当△BCM面积最小时，点M到BC的距离为. d的最大值为 【变式82】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放.。 AMB D (1)∠a= (2)已知点M在边AB上，则S△McD的最大值为 13118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.(2026辽宁沈阳二模)下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心0旋转90°后，能与原 图形完全重合的是() 0 0 0 2.(2026辽宁锦州二模)如图，从边长为3的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），则该扇形的 面积是() A A 32 B.元 C.3π D.6元 3.(2026四川内江中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，P为BC上的一点（点P不与点C重 合)，则∠CPD的度数为() D A.36° B.45° C.60° D.72° 4.(2026山西朔州模拟预测)如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影 部分的面积() 14118 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.543-9m B.27√5+4元 C.27V5-4π D.54V5+9m 5.(2026广东广州二模)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，顶点C,F在x轴 上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为() C A.(4,0) B.(25,2 c.(2,25) D.（-2W5,-2 二、填空题 6.(25-26九年级下·上海阶段检测)己知AB是⊙0内接正十边形的一条边，AC是⊙0内接正十五边形 的一条边，那么BC是⊙O内接正边形的边. 7.(2026陕西西安·三模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O中，P是劣弧BE上一点，则∠DPC的度数 为 E ,正五边形 内接于 ABCDE ⊙0 15118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DOC= 360° =72°， ZDPC2ZD0C=2×72°=369 8.(2026广东广州：三模)如图，正五边形ABCDE的边长为10，点B、E在OA上，则BE的长是 D B 9.(2026陕西咸阳·一模)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周 率，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形ABCDEF,连接AC,若该 正六边形的半径为2，则AC的长为 10.(2026浙江绍兴·二模)如图，在⊙0中，弦AB,AC分别是⊙0的内接正三角形和内接正方形的一 条边，连接BC,BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是 三、解答题 11.(25-26九年级上·吉林期末)如图，⊙0是边长为4的正方形ABCD的外接圆.求图中阴影部分的扇 形面积. 16118 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D 12.(24-25九年级上甘肃张掖阶段检测)如图，正六边形ABCDEF内接于O0,过点O作OM⊥BC于 点M,半径r=4,求边心距OM的长. 13.(24-25九年级上陕西延安期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，PA与O0相切于点A,求 ∠PAB的度数. D 0 A 14.(24-25九年级上：广东广州阶段检测)大圆O和小圆O为同心圆，正六边形ABCDEF为大圆O的内 接正六边形，连接AC,CE.连接OB与AC交于点K,同时小圆O与CA相切于点K. E A (1)求证：CE是小圆O的切线， 2)若OK=V3,求阴影部分的面积.（结果用π表示） 15.(25-26九年级上山东济宁·期中)如图，有一个亭子，它的地基是半径为6m的正六边形. 17118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 m (1)求该地基的周长： (②)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用R表示，写出正六边形的面积S与R之间的函数关系式. 18/18