30.2三角形的内切圆知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.2三角形的内切圆知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（七题型） 知识归纳： 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 题型突破： 题型一：利用切线长定理求值 1.如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ） A. 32° B. 52° C. 64° D. 72° 【答案】B 2.如图，点是外一点，分别切于A，B两点. 若，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，是的直径，，分别与相切于点，点，若，，则的长为(   ) A．1 B．2 C． D． 【答案】B 4.如图，、、是的切线，切点分别为P、C、D．若，，则的长是（　　）    A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 5.如图，， 分别与 相切于点 ，，过圆上点 作 的切线 分别交 ， 于点 ，，若 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 题型二：三角形内切圆中求角度 1．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（　　） A．119° B．120° C．121° D．122° 【答案】A． 2.如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 3．如图，已知点是的内心，若，则__________． 【答案】60 题型三：三角形内切圆中求面积 1.如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 题型四：三角形内切圆中求线段长度 1.如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 【答案】C． 3.如图，是的直径，，分别与相切于点，点，若，，则的长为( ) A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 4.如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 5.已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．    【答案】5 题型五：三角形内切圆中求半径 1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 2.如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 3.如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 4．已知等腰三角形三边长分别是13、13、10，则这个等腰三角形内切圆半径为____ 【答案】 5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____． 【答案】1 题型六：三角形内切圆中求最值 1.如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 2.如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【答案】4πcm2． 3.如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 【答案】 4.如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 题型七：外接圆和内切圆的综合运用 1．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 2．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 3.设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R﹣r＝　 　． 【答案】1.5． 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 　． 【答案】　 5.如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知∠AOC＝120°，则∠OAC＝　 　°，∠B＝　 　°．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC的外接圆的半径为　　cm，内切圆的半径为　 　cm． 【答案】15，60，，1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2三角形的内切圆知识归纳与题型突破（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版九年级上册（七题型） 知识归纳： 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 题型突破： 题型一：利用切线长定理求值 1.如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ） A. 32° B. 52° C. 64° D. 72° 2.如图，点是外一点，分别切于A，B两点. 若，则度数是（ ） A. B. C. D. 3.如图，是的直径，，分别与相切于点，点，若，，则的长为(   ) A．1 B．2 C． D． 4.如图，、、是的切线，切点分别为P、C、D．若，，则的长是（　　）    A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 5.如图，， 分别与 相切于点 ，，过圆上点 作 的切线 分别交 ， 于点 ，，若 ，则 的周长是（   ） A． B． C． D． 题型二：三角形内切圆中求角度 1．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（　　） A．119° B．120° C．121° D．122° 2.如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    3．如图，已知点是的内心，若，则__________． 题型三：三角形内切圆中求面积 1.如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 题型四：三角形内切圆中求线段长度 1.如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（ ） A. B. C. D. 2．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．6 3.如图，是的直径，，分别与相切于点，点，若，，则的长为( ) A. 1 B. 2 C. D. 4.如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（    ）    A． B． C． D． 5.已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则 ．    题型五：三角形内切圆中求半径 1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3.如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知等腰三角形三边长分别是13、13、10，则这个等腰三角形内切圆半径为____ 5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____． 题型六：三角形内切圆中求最值 1.如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2.如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 3.如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 4.如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    题型七：外接圆和内切圆的综合运用 1．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（       ） A． B． C． D． 2．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（     ） A． B． C． D． 3.设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R﹣r＝　 　． 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 　． 5.如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C＝90°．已知∠AOC＝120°，则∠OAC＝　 　°，∠B＝　 　°．已知AC＝4cm，BC＝3cm，则△ABC的外接圆的半径为　　cm，内切圆的半径为　 　cm． 学科网（北京）股份有限公司 $